সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের বিস্তার a হয়, তবে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a
∴ দৈর্ঘ্য = 2a

∴ আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √{a² + (2a)²}
= √{a² + 4a²}
= √5a²
= a√5

প্রশ্ন: যদি A = 45° হয় তবে (1 - tan²A)/(1 + tan²A) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = 45°

এখন,
(1 - tan²A)/(1 + tan²A)
= {1 - (tan45°)²}/{1 + (tan45°)²}
= {1 - (1)²}/{1 + (1)²}
= (1 - 1)/(1 + 1)
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
ধরি,
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ ৩ মিটার রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (x + ৩ + ৩) = (x + ৬) মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(x + ৬)^২ = ২৫৬ 
⇒ (x + ৬)^২ = (১৬)^২
⇒ x + ৬ = ১৬ 
⇒ x = ১৬ - ৬ 
∴ x = ১০ 

রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার 
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৫৬ - ১০০) বর্গমিটার 
= ১৫৬ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: 4 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত একক? 

সমাধান: 
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 a
=  4√3

∴ ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি =  4√3 + 4√3
= 8√3 একক । 

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি? 

সমাধান: 
sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ = sin(5π/6)  [এখানে n = 5]

এখন, 
sin (5π/6)
= sin {(5 × 180°)/6}
= sin 150°
= sin (180° - 30°)
= sin30°
= 1/2
∴ sin (5π/6) = 1/2

প্রশ্ন: 24 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
উচ্চতা, h = 24 সে.মি. 
এবং ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি. 

আমরা জানি, 
কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি. 
= √(24² + 7²) সে.মি. 
= √625 সে.মি. 
= 25 সে.মি. ।

প্রশ্ন: cosθ = 1/√2 হলে θ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cosθ = 1/√2 
⇒ cosθ = cos45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 8 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 8 সে.মি.
কোণকের আয়তন, v = 96π ঘন সে.মি.
ধরি, 
ব্যাসার্ধ = r 

প্রশ্নমতে, 
v = (1/3)πr²h
বা, r² = 3v/πh
বা, r² = (3 × 96π)/(π × 8)
বা, r² = 36
বা, r² = 6²
∴ r = 6

∴ হেলনো তলের দৈর্ঘ্য = √{(8)² + (6)²}
= √(64 + 36)
= √(100)
= 10 সে.মি. ।

প্রশ্ন: যদি 1 + sinθ = mcosθ হয়, তবে tanθ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1 + sinθ = mcosθ
বা, (1 + sinθ)/cosθ = m 
বা, (1/cosθ) + (sinθ/cosθ) = m 
∴ secθ + tanθ = m ...............(i) 

আমরা জানি, 
(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1  
বা, m(secθ - tanθ) = 1
∴ secθ - tanθ = 1/m .................(ii)

(i) নং - (ii) নং হতে পাই ⇒
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = m - 1/m
বা, secθ + tanθ - secθ + tanθ = (m² - 1)/m
বা, 2tanθ = (m² - 1)/m
∴ tanθ = (m² - 1)/2m

প্রশ্ন: প্রতি বর্গমিটার ৮.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ হয় ৫১০ টাকা। রুমটির প্রস্থ ৭.৫ মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত মিটার? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
মেঝের ক্ষেত্রফল = (মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ)
= (৫১০/৮.৫) বর্গমিটার 
= ৬০ বর্গমিটার 

আবার, 
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, দৈর্ঘ্য × ৭.৫ = ৬০
বা, দৈর্ঘ্য = ৬০/৭.৫
∴ দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার । 

প্রশ্ন: sin60°.cos30° + cos60°.sin30° = কত?

সমাধান: 
sin60°.cos30° + cos60°.sin30°
= (√3/2 × √3/2) + (1/2 × 1/2)
= 3/4 + 1/4
= (3 + 1)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৫ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ১১২ মিটার হলে ঘরটির প্রস্থ কত মিটার? 

সমাধান: 
মনে করি,
ঘরটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ প্রস্থ = ক × (২/৫) মিটার = ২ক/৫ মিটার 
∴ পরিসীমা = ২ {ক + (২ক/৫)} = ২ {(৫ক + ২ক)/৫} = ২ × (৭ক/৫) = ১৪ক/৫ মিটার 

প্রশ্নমতে, 
১৪ক/৫ = ১১২
বা, ১৪ক = ১১২ × ৫
বা, ১৪ক = ৫৬০
বা, ক = ৫৬০/১৪
∴ ক = ৪০ মিটার 

∴ ঘরটির প্রস্থ = (২ × ৪০)/৫ মিটার
= ১৬ মিটার ।

প্রশ্ন: cotA = b/a হলে (asinA - bcosA)/(asinA + bcosA) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cotA = b/a 
⇒ cosA/sinA = b/a 
⇒ sinA/cosA = a/b 
⇒ asinA/bcosA = (a/b)(a/b)  [∴ উভয়পক্ষকে a/b দ্বারা গুণ করে] 
⇒ asinA/bcosA = a²/b²
∴ (asinA - bcosA)/(asinA + bcosA) = (a² - b²)/(a² + b²)

প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে, একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান: 

ধরি,
গাছটির উচ্চতা, AB = h মিটার 
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 10 মিটার 
C বিন্দুতে উন্নতি কোণ = 60° 

এখন, 
ΔABC এ 
tan∠ACB = AB/BC 
⇒ tan60° = h/10 
⇒ √3 = h/10
⇒ h = 10√3
⇒ h = 10 × 1.7320
∴ h = 17.32 

∴ গাছটির উচ্চতা = 17.32 মিটার ।

প্রশ্ন: A = π/2 ও B = π/6 হলে sin(A + B) = কত? 

সমাধান: 
 sin(A + B) = sin(π/2 + π/6) 
= sin (2π/3) 
= sin120° 
= sin (90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. ও উচ্চতা 28 সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি. 
উচ্চতা, h = 28 সে.মি. 

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr (r + h)
= 2π × 14(14 + 28)
= 1176π বর্গ সে.মি. । 

প্রশ্ন: যদি tan (m - 30°) = 1/√3 হয়, তবে cos m = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
tan (m - 30°) = 1/√3
বা, tan (m - 30°) = tan 30°
বা, m - 30° = 30°
∴ m = 60°

এখন, 
∴ cos m 
= cos 60° 
= 1/2

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১২২৫ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ১.৫০ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১২২৫ বর্গমিটার 
∴ বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১২২৫ মিটার 
= ৩৫ মিটার 

∴ বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (৩৫ × ৪) মিটার 
= ১৪০ মিটার 

এখন, 
১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ১.৫ টাকা 
∴ ১৪০ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (১৪০ × ১.৫) টাকা 
= ২১০ টাকা ।

প্রশ্ন: যদি tanA + sinA = m এবং tanA - sinA = n হয়, তাহলে (m² - n²)/4 = কত? 

সমাধান: 
(m² - n²)/4
= {(tanA + sinA)² - (tanA - sinA)²}/4
= (4tanA . sinA)/4    [∴ (a + b)² - (a - b)² = 4ab]
= √(tan²A . sin²A)
= √{tan²A (1 - cos²A)}
= √(tan²A - tan²A . cos²A)
= √(tan²A - (sin²A/cos²A) . cos²A)
= √(tan²A - sin²A)
= √{(tanA + sinA)(tanA - sinA)}
= √mn

প্রশ্ন: 1/{tanA√(1 - sin²A)} = ? 

সমাধান: 
tanA√(1 - sin²A)
= tanA√(cos²A)
= (sinA/cosA) × cosA
=  sinA 

অতএব,
 1/{tanA√(1 - sin²A)}  = 1/sinA
= cosecA

প্রশ্ন: যদি sinθ = 4/5 হয় তবে ‍cotθ এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sinθ = 4/5
⇒ (sinθ)² = (4/5)²  [বর্গ করে] 
⇒ sin²θ = 16/25
⇒ 1 - cos²θ = 16/25
⇒ 1 - (16/25) = cos²θ
⇒ (25 - 16)/25 = cos²θ
⇒ 9/25 = cos²θ
⇒ (3/5)² = cos²θ
∴ cosθ = 3/5

আমরা জানি,
cotθ = cosθ/sinθ
= (3/5)/(4/5)
= (3/5) × (5/4)
= 3/4