৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণের 2/7 অংশ। কোণটির পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনে করি, একটি কোণ x সুতরাং তার পূরক কোণ = (90 - x)


প্রশ্নমতে, x = 2(90 - x)/7
⇒ 7x = 180 - 2x
⇒ 9x = 180
⇒ x = 20

সুতরাং, কোণটি 20° কোণটির পূরক কোণ = (90° - 20°)
= 70°

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ১৭ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ = ১৭ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ৫ সে.মি.

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (৭ × ৫)
= ৮৫ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬৪৮ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্যের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ৬৪৮ = ক × ২ক
⇒ ২ক^২ = ৬৪৮
⇒ ক^২ = ৩২৪
∴ ক = ১৮ মিটার

অতএব, প্রস্থ = ১৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = (১৮ × ২) মিটার
= ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান। বস্তুটির আয়তন ৩৪৩ ঘন সে. মি. হলে তার একটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
যেহেতু, ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান।

ধরি,
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে. মি.
ঘনকের আয়তন, a^৩ = ৩৪৩
⇒ ক^৩ = ৭^৩
⇒ ক = ৭

∴ ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = a^২
= ৭^২
= ৪৯ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: ৫২° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
৫২° কোণের বিপ্রতীপ কোণ হল সেই কোণ যা দুটি সরল রেখার মধ্যে তৈরি হয়, যখন তারা একে অপরকে ছেদ করে। বিপ্রতীপ কোণগুলি সমমান হয়ে থাকে।

অতএব, ৫২° কোণের বিপ্রতীপ কোণও হবে ৫২°।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৯০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = ৯০ সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ = বাহু/২√৩
= ৯০/২√৩
= ৪৫/√৩
= (১৫ × √৩ × √৩)/√৩
= ১৫√৩

প্রশ্ন: কোনো কুয়ার গভীরতা 32 মিটার এবং ব্যাসার্ধ 2 মিটার হলে ঐ কুয়ার আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কুয়ার গভীরতা, h = 32 মিটার
কুয়ার ব্যাসার্ধ, r = 2 মিটার

আমরা জানি,
কুয়ার আয়তন = πr²h
= (π · 2² · 32) ঘনমিটার
= 128π ঘনমিটার

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = (৩ × ৪৫°) = ১৩৫°
বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 5.0 ইঞ্চি এবং আয়তন 225π ঘন ইঞ্চি হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h = 225π
⇒ π(5²)h = 225π
⇒ 25πh = 225π
⇒ h = 225π/25π
⇒ h = 9

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল =  (9 + 10 + 12 + 14 + 15)
= 60

পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 540°× (9/60)
= 81°

প্রশ্ন: 92° এর সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।

এখন,
92° এর সম্পূরক কোণ = (180 - 92)°
= 88°

সুতরাং, তার অর্ধেক = 88°/2
= 44°

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ ছয়টি কোণের সমষ্টি-

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = (২ × ৬ - ৪) সমকোণ
= ১২ - ৪ সমকোণ
= ৮ সমকোণ

অতএব, ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = ৮ সমকোণ।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৪০ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ = ৪০ সে. মি.
এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (কর্ণ × h) বর্গ সে.মি

প্রশ্নমতে,
৪০ × h = ২৪০
⇒ h = ২৪০/৪০
⇒ h = ৬

∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য ৬ সে.মি.

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
অপশনে উল্লিখিত প্রত্যেকটি অপশনের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর সাথে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৬ > ৮
৬ + ৮ > ১০
৩ + ৪ = ৭ [দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়, সুতরাং ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়]
১২ + ৬ > ১৫

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি ১৬ মিটার এবং উচ্চতা ৯ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (১৬ × ৯)
= ১৪৪ বর্গমিটার

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,
ক^২ = ১৪৪
⇒ ক = √১৪৪
∴ ক = ১২

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গ সে.মি. এবং এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে.মি. হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ৩৬০ বর্গ সে.মি.
এবং এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৩০ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × একটি কর্ণ অপর কর্ণ
⇒ ৩৬০ = (১/২) × ৩০ × অপর কর্ণ
⇒ অপর কর্ণ = ৩৬০/১৫
⇒ অপর কর্ণ = ২৪

সুতরাং, অপর কর্ণ = ২৪ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ ক সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ = ক + ৬
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ = ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৬ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৬° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০ - ৯৬°
⇒ ২ক = ৮৪°
⇒ ক = ৪২°

∴ সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ = ৪২° + ৬°
= ৪৮°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৩ : ৪ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গসে.মি. হলে, ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৩ক এবং ৪ক

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৩ক × ৪ক = ১৫০
⇒ ১২ক^২/২ = ১৫০
⇒ ৬ক^২ = ১৫০
⇒ ক^২ = ২৫
⇒ ক = ৫

তাহলে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে ৩ × ৫ = ১৫ সে.মি. এবং ৪ × ৫ = ২০ সে.মি.
∴ ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য ১৫ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 56 সে.মি., তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = 56 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 28 সে.মি.

আমরা জানি,
 বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক
= (22/7) × 28² বর্গ সে.মি.
= 2464 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে ৪১ সে.মি. এবং ৪০ সে.মি হলে ভূমির পরিমাণ কত?

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে আমরা জানি,
অতিভূজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
∴ ৪১^২= ভূমি^২ + ৪০^২
⇒ ভূমি^২ = ১৬৮১ - ১৬০০
⇒ ভূমি = √৮১
∴ ভূমি = ৯ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৭ মিটার ও ১১ মিটার এবং তাদের উচ্চতা ৭ মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (১৭ + ১১) × ৭
= (১/২) × ২৮ × ৭
= (১/২) × ১৯৬
= ৯৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) (বাহু)^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(বাহু)^২ = ১৬√৩
⇒ (১/৪)(বাহু)^২ = ১৬
⇒ (বাহু)^২ = ১৬ × ৪
⇒ (বাহু)^২ = ৬৪
⇒ বাহু = √৬৪
⇒ বাহু = ৮

সুতরাং, ত্রিভুজের পরিসীমা = (৮ + ৮ + ৮) সে.মি.
= ২৪ সে.মি.

প্রশ্ন: 10 একক ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুটি কর্ণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 10
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
= 10√3

সুতরাং, ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি = (10√3 + 10√3)
= 20√3 একক

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৯০ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২ক সে.মি. ৩ক সে.মি. এবং ৫ক সে.মি.

শর্তমতে,
২ক + ৩ক + ৫ক = ৯০
⇒ ১০ক = ৯০
⇒ ক = ৯

সুতরাং, বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = (৫ × ৯) সে.মি.
= ৪৫ সে.মি.