শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৩০ থেকে যত কম, ৪৫০ থেকে তত বেশি। সংখ্যাটি কত?

 সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
৬৩০ - ক = ক - ৪৫০
⇒ ৬৩০ + ৪৫০ = ক + ক
⇒ ২ক = ১০৮০
⇒ ক = ১০৮০/২
∴ ক = ৫৪০

∴ সংখ্যাটি = ৫৪০

প্রশ্ন: যদি a + b = 15 এবং a² + b² = 117 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + b = 15 এবং a² + b² = 117

আমরা জানি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 2ab = (a + b)² - (a² + b²)
⇒ 2ab = 15² - 117
⇒ 2ab = 225 - 117
⇒ 2ab = 108
⇒ ab = 108/2
∴ ab = 54

প্রশ্ন: 4a² + 5a - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
4a² + 5a - 9
= 4a² - 4a + 9a - 9
= 4a(a - 1) + 9(a - 1)
= (a - 1)(4a + 9)

প্রশ্ন: একটি দোকানের গত বছরের মাসিক বিক্রয় ও এ বছরের মাসিক বিক্রয়ের অনুপাত ৫ : ৪। গত বছরের তুলনায় এ বছরের মাসিক বিক্রয় শতকরা কত হ্রাস পেয়েছে?

সমাধান:
গত বছরের বিক্রয় ও এ বছরের বিক্রয়ের অনুপাত ৫ : ৪
ধরি, গত বছরের বিক্রয় = ৫ক টাকা
এবং এই বছরের বিক্রয়= ৪ক টাকা
বিক্রয় হ্রাস পেয়েছে = (৫ক - ৪ক) টাকা = ১ক টাকা

∴ বিক্রয় শতকরা হ্রাস পেয়েছে = {(১ক/৫ক) × 100}%
= ২০%

প্রশ্ন: a + b = 15 এবং a - b = 5 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, a² + b² = (1/2){(a + b)² + (a - b)²}
⇒ a² + b² = (1/2)(15² + 5²)
⇒ a² + b² = (1/2)(225 + 25)
⇒ a² + b² = (1/2)(250)
∴ a² + b² = 125

প্রশ্ন: ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড়ের অর্ধেকের মান কত?

সমাধান:
৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৬১
৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৭৯

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = (৬১ + ৭৯)/২
 = ১৪০/২ = ৭০

∴ অর্ধেকের মান = ৭০/২ = ৩৫

প্রশ্ন: (5^{4x - 6} . b^{3x + 1})/(5^{x + 3}) = b^{3x + 1} এবং b > 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5^{4x - 6} . b^{3x + 1})/(5^{x + 3}) = b^{3x + 1}
⇒ 5^{4x - 6}/5^{x + 3} = b^{3x + 1}/b^{3x + 1}
⇒ 5^{4x - 6} = 5^{x + 3}
⇒ 4x - 6 = x + 3
⇒ 4x - x = 3 + 6
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

প্রশ্ন: জুয়েল ১৫ টাকায় ৩ টি ডিম কিনে ২৪ টাকায় ৪ টি ডিম বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
৩ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ১৫ টাকা
১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ১৫/৩ = ৫ টাকা

আবার, ৪ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ২৪ টাকা
১ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ২৪/৪ = ৬ টাকা

∴ লাভ = ৬ - ৫ = ১ টাকা
৫ টাকায় লাভ হয় = ১ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় ১/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয়= (১/৫) × ১০০ টাকা
= ২০ টাকা বা ২০%

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ধরি, সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = a
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী, a² + a² = 10²
বা, 2a² = 100
বা, a² = 100/2
বা, a² = 50

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × a × a
= (1/2) × a²
= (1/2) × 50
= 25 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: secx/(cotx + tanx) = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: কতগুলো ঘণ্টা একসাথে বাজার পর ৫ সেকেন্ড, ১০ সেকেন্ড, ১৫ সেকেন্ড এবং ২০ সেকেন্ড পর পর বাজতে থাকলো। ঘণ্টাগুলো কতক্ষণ পর আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৫, ১০, ১৫, এবং ২০ এর ল.সা.গু যত, ঘণ্টাগুলো ততক্ষণ পরে আবার একত্রে বাজবে।
৫, ১০, ১৫, ২০ এর ল.সা.গু = ৬০

ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে ৬০ সেকেন্ড পর।
= ৬০/৬০ মিনিট
= ১ মিনিট

প্রশ্ন: (3x + y, 5) = (10, x + 2y) হলে, x + y এর মান কত?

সমাধান:
ক্রমিক জোড়ের সমতানুসারে পাই,
3x + y = 10 ...... (1)
x + 2y = 5 ...... (2)

{(1) নং × 2} - (2) নং ⇒
 ⇒ 6x + 2y - (x + 2y) = 20 - 5 
⇒ 5x = 15
⇒ x = 15/5
⇒ x = 3

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
⇒ 3 + 2y = 5
⇒ 2y = 5 - 3
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1

∴ নির্ণেয় মান: x + y = 3 + 1
∴ x + y = 4

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ৩০ সে.মি. এবং উচ্চতা ১৫ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান
:আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
এখানে, ভূমি = ৩০ সে.মি. এবং উচ্চতা = ১৫ সে.মি.
∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ১৫ = ৪৫০ বর্গ সে.মি.

∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো ৪৫০ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ১০০০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, আসল, P = ১০০০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P{১ + (r/১০০)ⁿ টাকা
= ১০০০০{১ + (১০/১০০)^২ টাকা
= ১০০০০(১১০/১০০)^২ টাকা
= ১০০০০ × (১১০/১০০) × (১১০/১০০) টাকা
= ১২১০০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = (১২১০০ - ১০০০০) টাকা = ২১০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ২০০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ পার হতে ৩০ সেকেন্ড সময় নেয়। ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৭২ কি.মি হলে, ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ট্রেনের গতিবেগ = ৭২ কি.মি./ঘণ্টা
= ৭২ × ১০০০/৩৬০০
= ২০ মি./সে.

ট্রেন দ্বারা মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = বেগ × সময়
= ২০ × ৩০
= ৬০০ মিটার

ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব) - (ব্রিজের দৈর্ঘ্য)
= ৬০০ - ২০০
= ৪০০ মিটার

প্রশ্ন: ৪ জন পুরুষ বা ৬ জন স্ত্রীলোক একটি কাজ ২৪ দিনে শেষ করতে পারলে ৮ জন পুরুষ ও ১২ জন স্ত্রীলোক একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
৬ জন স্ত্রীলোক = ৪ জন পুরুষ
১ জন স্ত্রীলোক = ৪/৬ জন পুরুষ = ২/৩ জন পুরুষ
১২ জন স্ত্রীলোক = (২ × ১২)/৩ জন পুরুষ
= ৮ জন পুরুষ

৮ জন পুরুষ ও ১২ জন স্ত্রীলোক = (৮ + ৮) জন পুরুষ
= ১৬ জন পুরুষ

৪ জন পুরুষ কাজটি করে ২৪ দিনে
১ জন পুরুষ কাজটি করে ২৪ × ৪ দিনে
১৬ জন পুরুষ কাজটি করে (২৪ × ৪)/১৬ দিনে
= ৯৬/১৬ দিনে
= ৬ দিনে

প্রশ্ন: নিচের কোন পরিমাপটি সঠিক?

সমাধান:
১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
১০ মিলিয়ন = ১ কোটি
১০০ মিলিয়ন = ১০ কোটি
১০০০ মিলিয়ন = ১০০ কোটি

প্রশ্ন: আগস্ট মাসে চিনির দাম ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় একটি পরিবার চিনি কেনা এমনভাবে কমালো যাতে চিনি কেনার খরচ আগের মতোই থাকে। পরিবারটি চিনি কেনার পরিমাণ শতকরা কত কমিয়েছে?

সমাধান:
২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা

বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ পরিবারটি চিনি কেনা কমিয়েছে (১০০ - ৮০) = ২০%

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 135° হলে, ∠ACD এর মান কত?

সমাধান:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।


∆ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে,
∠ABC+ ∠BAC = ∠ACD
এখানে, ∠ABC+ ∠BAC = 135°
∴ ∠ACD = 135°

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৬০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ১৮০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৩৬০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ১৮০

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬০০ = ১৮০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৩৬০০/১৮০
∴ গ.সা.গু = ২০

প্রশ্ন: x² - 6x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 6x + 9 = 0
এখানে, a =1, b = - 6, c = 9

সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
 = (- 6)² - 4 × 1 × 9
= 36 - 36
= 0
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: একটি পণ্যের মূল্য ২০% কমে যাওয়ায় ৮,০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ৪ কুইন্টাল পণ্য বেশি পাওয়া যায়। ১৫ কেজি পণ্যের বর্তমান মূল্য কত?

সমাধান:
১০০ টাকায় কমে = ২০ টাকা
∴ ১ টাকায় কমে = ২০/১০০ টাকা
∴ ৮,০০০ টাকায় কমে = (২০ × ৮,০০০)/১০০ টাকা
= ১,৬০০ টাকা

আমরা জানি ১ কুইন্টাল = ১০০ কেজি
∴ ৪ কুইন্টাল = ৪০০ কেজি

৪০০ কেজি পণ্যের দাম = ১,৬০০ টাকা
∴ ১ কেজি পণ্যের দাম = ১,৬০০/৪০০ টাকা = ৪ টাকা
∴ ১৫ কেজি পণ্যের দাম = (১,৬০০ × ১৫)/৪০০ টাকা 
= ৬০ টাকা

প্রশ্ন: ৪০ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণের অনুপাত ৫ : ৩। ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার পানি মেশালে অনুপাত ৫ : ৭ হবে?

সমাধান:
মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত = ৫ : ৩
অনুপাত দ্বয়ের সমষ্টি = ৫ + ৩ = ৮

মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৪০ এর ৫/৮ = ২৫ লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৪০ এর ৩/৮ = ১৫ লিটার

ধরি, পানি মিশাতে হবে = ক লিটার

প্রশ্নমতে, ২৫/(১৫ + ক) = ৫/৭
বা, ২৫ × ৭ = (১৫ + ক) × ৫
বা, ১৭৫ = ৭৫ + ৫ক
বা, ১৭৫ - ৭৫ = ৫ক
বা, ১০০ = ৫ক
বা, ক = ২০
∴ ক = ২০ লিটার

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 24 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি, প্রথম পদ = a
দেওয়া আছে, 5ম পদ = 24
⇒ a + (5 - 1) × d = 24
⇒ a + 4d = 24

এখন, 5টি পদের যোগফল = 100
⇒ (5/2){2a + (5 - 1) × d} = 100
⇒ (5/2){2a + 4d} = 100
⇒ 2a + 4d = 40
⇒ a + (a + 4d) = 40
⇒ a + 24 = 40
⇒ a = 16

∴ প্রথম পদ = 16

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ 21 মিটার। চাকাটি 924 মিটার পথ অতিক্রম করতে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, চাকার ব্যাসার্ধ r = 21 মিটার
∴ চাকার পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 21
= 132 মিটার
ফলে চাকাটি একবার ঘুরলে 132 মিটার যায়।

∴ 924 মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে = 924/132 = 7 বার

প্রশ্ন: log₃√12 + log₃√(3/4) = কত?

সমাধান:
log₃√12 + log₃√(3/4)
= log₃(12)^1/2 + log₃(3/4)^1/2
= (1/2) × log₃12 + (1/2) × log₃(3/4)
= (1/2) × {log₃12 + log₃(3/4)}
= (1/2) × log₃(12 × 3/4)
= (1/2) × log₃9
= (1/2) × log₃3²
= (1/2) × 2 log₃3
= log₃3
= 1

প্রশ্ন: একটি নৌকার বেগ ঘণ্টায় ১৫ কি.মি. এবং স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ৫ কি.মি.। নৌকাটি ৬০ কি.মি. দূরে যাবে এবং একই পথে ফিরে আসবে। যাতায়াতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে কার্যকরী বেগ ঘণ্টায় (১৫ + ৫) = ২০ কি.মি.
স্রোতের প্রতিকূলে কার্যকরী বেগ ঘণ্টায় (১৫ - ৫) = ১০ কি.মি.

স্রোতের অনুকূলে ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৬০/২০ = ৩ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৬০/১০ = ৬ ঘণ্টা

∴ মোট সময় লাগে = (৩ + ৬) ঘণ্টা = ৯ ঘণ্টা

প্রশ্ন: যদি একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২০ মিনিট করে সময় বেশি দেখায়, তাহলে কতদিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দিবে?

সমাধান:
যদি কোন ঘড়ি সময় বেশি দেখাতে থাকে তাহলে তাকে সঠিক সময় দিতে হলে ১২ ঘণ্টা বা ৭২০ মিনিট সময় বেশি দেখাতে হবে।

এখন,
ঘড়িটি ২০ মিনিট বেশি দেখায় ১ দিনে
∴ ঘড়িটি ৭২০ মিনিট বেশি দেখাবে (১ × ৭২০)/২০ দিনে
= ৩৬ দিনে

∴ ৩৬ দিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দিবে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গ সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ সেমি।
প্রশ্নমতে,
πr² = 616
⇒ (22/7) × r² = 616
⇒ r² = (616 × 7) / 22
⇒ r² = 28 × 7
⇒ r² = 196

বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (ব্যাসার্ধ)²
= r²
= 196 বর্গ সেমি।

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল 196 বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: (3²)^{x - 1} = 81 হলে x = কত?

সমাধান:
(3²)^{x - 1} = 81
⇒ 3^{2(x - 1)} = 3⁴
⇒ 3^{2x - 2} = 3⁴
⇒ 2x - 2 = 4
⇒ 2x = 4 + 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 6/2
∴ x = 3

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। ১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৭ গুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনে করি, বর্তমানে পুত্রের বয়স = ক বছর।
তাহলে, বর্তমানে পিতার বয়স = (৬০ - ক) বছর।

১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = (ক - ১০) বছর।
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = (৬০ - ক - ১০)
= (৫০ - ক) বছর।

প্রশ্নমতে,
৫০ - ক = ৭(ক - ১০)  
⇒ ৫০ - ক = ৭ক - ৭০  
⇒ ৫০ + ৭০ = ৭ক + ক  
⇒ ১২০ = ৮ক  
⇒ ক = ১২০/৮  
⇒ ক = ১৫

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ১৫ বছর।
পিতার বর্তমান বয়স = ৬০ - ১৫ = ৪৫ বছর।

সুতরাং, বর্তমানে পুত্রের বয়স ১৫ বছর এবং পিতার বয়স ৪৫ বছর।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০° (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

• ২৭০° কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করল। যদি ৬০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
ইংরেজিতে পাশ করেছে = ৮০%
বাংলায় পাশ করেছে = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (বাংলা বা ইংরেজি) = (ইংরেজিতে পাশ) + (বাংলায় পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৮০ + ৭০ - ৬০)%
= (১৫০ - ৬০)%
= ৯০%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৯০)%
= ১০%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: একই সুদে ৫০০ টাকার ২ বছরের সুদ এবং ৮০০ টাকার ৩ বছরের সুদ একত্রে ৩৪০ টাকা হলে সুদের হার কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সরল সুদ, I = Pnr/১০০
যেখানে,
P = আসল,
n = সময় এবং
r = সুদের হার।

১ম ক্ষেত্রে:
P = ৫০০ টাকা, n = ২ বছর
সুদ, I₁ = (৫০০ × ২ × r) / ১০০
= ১০r টাকা

২য় ক্ষেত্রে:
P = ৮০০ টাকা, n = ৩ বছর
সুদ, I₂ = (৮০০ × ৩ × r) / ১০০
= ২৪r টাকা

প্রশ্নমতে,
I₁ + I₂ = ৩৪০
⇒ ১০r + ২৪r = ৩৪০
⇒ ৩৪r = ৩৪০
⇒ r = ৩৪০/৩৪
∴ r = ১০

∴ সুদের হার ১০%।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুইটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
এখানে, সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = a = 12 সে.মি. এবং b = 12 সে.মি.
অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 30°

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) absinθ
⇒ ক্ষেত্রফল = (1/2) × 12 × 12 × sin 30°
= (1/2) × 144 × 1/2  [sin 30° = 1/2]
= 72 × 1/2
= 36

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার বেতনের ১/৪ অংশ ভাড়া বাবদ এবং ১/৩ অংশ খাদ্য বাবদ খরচ করেন। যদি তার কাছে অবশিষ্ট ১০,০০০ টাকা থাকে, তবে তার মোট বেতনের পরিমাণ কত ছিল?

সমাধান:
ভাড়া ও খাদ্য বাবদ মোট খরচ হয় = ১/৪ + ১/৩ অংশ
= (৩ + ৪)/১২ অংশ
= ৭/১২ অংশ

মনে করি, সম্পূর্ণ বেতন = ১ অংশ
∴ অবশিষ্ট আছে = ১ - ৭/১২ অংশ
= (১২ - ৭)/১২ অংশ
= ৫/১২ অংশ

প্রশ্নমতে,
৫/১২ অংশ = ১০,০০০ টাকা
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ১০,০০০ × ১২/৫ টাকা
= ২০,০০০ × ১২ টাকা
= ২৪,০০০ টাকা

∴ তাঁর সম্পূর্ণ বেতনের পরিমাণ ছিল ২৪,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: কোনো একটি শ্রেণিতে ১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ বছর। ৫ শিক্ষার্থী নতুন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় হলো ১৩ বছর। নতুন ৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি কত বছর?

সমাধান:
১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ বছর
∴ ১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (১৪ × ১৫) বছর = ২১০ বছর

২০ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৩ বছর
∴ ২০ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (১৩ × ২০) বছর = ২৬০ বছর

∴ ৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (২৬০ - ২১০) বছর
= ৫০ বছর

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
ক্রমিক সংখ্যার গড় নির্ণয়ের সূত্র:
গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/২

এখানে, প্রথম পদ = ১, শেষ পদ = ১০০

অতএব, গড় = (১ + ১০০)/২
= ১০১/২
= ৫০.৫

∴ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় হল ৫০.৫

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার।
অতএব, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার।

আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
⇒ ২ক² = ১২৮
⇒ ক² = ১২৮/২
⇒ ক² = ৬৪
⇒ ক = √৬৪
⇒ ক = ৮ মিটার

∴ প্রস্থ = ৮ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১৬ + ৮) মিটার
= ২ × ২৪ মিটার
= ৪৮ মিটার

প্রশ্ন: x² - 4x + 1 = 0 হলে (x - 1/x)⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x² - 4x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 4x
⇒ x²/x + 1/x = 4x/x
∴  x + 1/x = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . 1/x
⇒ (x - 1/x)² = (4)² - 4
⇒ (x - 1/x)² = 16 - 4
⇒ (x - 1/x)² = 12
⇒ {(x - 1/x)²}² = 12²
∴ (x - 1/x)⁴ = 144

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 90 এবং পঞ্চম পদটি 810 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r
∴ তৃতীয় পদ, T₃ = ar² = 90 ...... (1)
আবার, পঞ্চম পদ, T₅ = ar⁴ = 810 ...... (2)
(2) ÷ (1) নং হতে পাই,
(ar⁴/ar²) = 810/90
⇒ r² = 9
⇒ r = √9
∴ r = 3

(1) নং সমীকরণে r-এর মান বসিয়ে পাই,
a × (3)² = 90
⇒ 9a = 90
⇒ a = 90/9
∴ a = 10

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 10

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5) হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - log₁₀(10) = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀{5(5x + 1)/10} = log₁₀(x + 5)
⇒ (5x + 1)/2 = x + 5
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴  x = 3

প্রশ্ন: বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে একটি বৃত্তে কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।
এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।

তাই ২ × ৩ × ৫ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১০৮০ × ৩০ পূর্ণবর্গ হবে।
∴ সংখ্যাটি ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ^১৮০° হলে, একটি অপরটির সম্পূরক কোণ হয়।

প্রদত্ত কোণটির পরিমাপ = ৬৫°

∴ ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬৫° = ১১৫°

∴ সম্পূরক কোণটির পরিমাপ হলো ১১৫°

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |x + 3| ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কী?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ x + 3 ≤ 5
⇒ - 5 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 5 - 3
⇒ - 8 ≤ x ≤ 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: - 8 ≤ x ≤ 2