Math Master

আয়তাকার ব্লকটির আয়তন = (6 × 12 × 15) cm³ = 1080 cm³
ঘনকের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য 
=6 cm, 12 cm, 15 cm এর গ.সা.গু 
= 3 cm.
ঘনকটির আয়তন = (3 × 3 × 3) cm³ = 27 cm³
ঘনকের সংখ্যা = 1080/27 = 40.

মনেকরি,
   প্রস্থ = 2x মিঃ
∴ দৈর্ঘ্য = 2x এর 3/2 = 3x মিঃ

∴ পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
                = 2(2x + 3x)
                 = 10x মিঃ

∴ দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত = 3x : 10x
                                              = 3 : 10

আমরা জানি, অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 3πr²
শর্তানুসারে,  3πr² = 36π
              ⇒ r² = 12 = 4×3
              ⇒ r = 2√3

দৈর্ঘ্য : প্রস্থ = 3.3 : 2
⇒  দৈর্ঘ্য : 8 = 3.3 : 2
⇒  দৈর্ঘ্য/8 = 3.3/2
⇒ 2 × দৈর্ঘ্য = 26.4
⇒ দৈর্ঘ্য = 26.4/2 = 13.2 ≈ 13 মিটার (প্রায়)

ধরি,  উচ্চতা = h
তাহলে, sin45° = h/42
বা, 1/√2 = h/42
∴ h = 42/√2 = 21√2 

ব্যাসার্ধ r = 6 সে. মি., উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 6/2
= 3
∴ অনুপাত = 3:1

sec (x − 30°) = 2
⇒  sec (x - 30°) = sec 60°
⇒  x - 30° = 60°
⇒  x = 90°
∴ tan 90° = অসংজ্ঞায়িত 

মনেকরি, 
     রাস্তাবাদে বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ক মিটার 
     রাস্তাবাদে বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার 
      রাস্তাসহ  বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য (ক + ৪) মিটার
     রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (ক + ৪)^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, 
   (ক + ৪)^২ = ২৫৬
    বা, ক + ৪ = √২৫৬
    বা,  ক + ৪ = ১৬
    বা, ক = ১৬ - ৪ 
       ∴  ক = ১২

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (ক + ৪)^২- ক^২ 
                          = (১২ + ৪)^২ - ১২^২
                          = ১৬^২ - ১২^২
                          = ২৫৬ - ১৪৪
                          = ১১২ বর্গমিটার

cot (x-30º) = √3 = cot 30º
⇒ x-30º= 30º [As we know, cot 60º = 1/√3]
⇒ x = 60º
Now, cosx = cos60º = 1/2

প্রতিটি পিলার জায়গা নেয় (২০ + ০.৮) = ২০.৮ মিটার
তাহলে, ৪৭২ মিটারে বসানো যাবে (৫২০/২০.৮) + ১ টি
                                                 = (২৫ + ১)টি 
                                                 = ২৬টি।
দুইপাশে বসবে ৫২টি।

ধরি, 
দেয়ালের প্রস্থ x মিটার 
দেয়ালের উচ্চতা  5x মিটার 
 দেয়ালের দৈর্ঘ্য হবে = (8 × 5x) মিটার
                               = 40x মিটার

 প্রশ্নমতে, 
            x × 5x × 40x = 12.8 
            x³ = 12.8/ 200 
            x³ = 0.064 
            x³ = (0.4)³
            x = 0.4
 অতএব 
        দেয়ালের প্রস্থ = 0.4 মিটার 
                              = (0.4 × 100)  সে.মি 
                              = 40 সে.মি

-------------------
লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নে "দেয়ালটির প্রস্থ কত সে.মি" এর স্থলে "দেয়ালটির আয়তন কত সে.মি" দেওয়া ছিলো।
প্রশ্নে ভুল থাকায় উত্তর বাতিল করা হয়েছে।

ধরি মিনারের উচ্চতা = h
শর্তমতে
tan60 = h/40
√3 = h/40
h = 40√3

দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:9
১ম বর্গের ক্ষেত্রফল = 16 বর্গ একক
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল = 9 বর্গ একক
∴১ম বর্গের বাহু, a₁ = 4 একক
২য় বর্গের বাহু, a₂ = 3 একক
∴ পরিসীমার অনুপাত = 4a₁ : 4a₂ = a₁ : a₂ = 4 : 3

দেওয়া আছে, 
আয়তকার ক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 20 মিটার, ক্ষেত্রফল ৬৮০ বর্গমিটার। 
অতএব, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = 680/20 = 34 m

সুতরাং,  বাকি তিন দিকে বেড়া দেওয়া হলে, মোট বেড়ার প্রয়োজন হবে = 34+34+20=88 m

(cosec²θ) - (cot²θ) = 1
বা, (cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ) = 1
বা, cosecθ + cotθ = 1/(cosecθ - cotθ)
বা, cosecθ + cotθ = 1/ (4/3)
বা, cosecθ + cotθ = 3/4