Math Master

প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 9/2 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecθ + cotθ = 9/2

আমরা জানি,
cosec²θ - cot²θ = 1
⇒ (cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ) = 1
⇒ (9/2)(cosecθ - cotθ) = 1
∴ (cosecθ - cotθ) = 2/9

প্রশ্ন: ২৪০০ সে.মি. দীর্ঘ এবং ৪০০ সে.মি. প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার জমিকে বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে কত মিটার বেড়া লাগবে?

সমাধান:
সমাধান:
জমিটির পরিসীমার সমান বেড়া লাগবে।

∴ জমিটির পরিসীমা = ২(৪০০ + ২৪০০) সে.মি.
= ৫৬০০ সে.মি.
= ৫৬০০/১০০ মিটার
= ৫৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 15 সে.মি.। এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c সে.মি.

শর্ত অনুসারে,
a + b + c = 15
এবং √(a² + b² + c²) = 10
∴  a² + b² + c² = 10² = 100

এখন,
a + b + c = 15
বা, (a + b + c)² = 15²
বা, a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 225
বা, 100 + 2(ab + bc + ca) = 225
বা, 2(ab + bc + ca) = 225 - 100
বা, 2(ab + bc + ca) = 125

∴  ক্ষেত্রফল = 125 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC এ ∠B = 90° , যদি AC = √2AB হয়, তাহলে ∠C এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজ ABC এ ∠B = 90°, যা একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∠C = θ, হলে sinθ = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sinθ = AB/AC 
⇒ sinθ = AB/√2AB
⇒ sinθ = 1/√2
⇒ sinθ = sin45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 216 ঘন সে.মি.। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক 
∴ আয়তন a³ ঘন একক

শর্তমতে,
a³ = 216
∴ a = 6

ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 6 সে.মি.
এবং ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 6√3 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি 72 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করলো। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো?

সমাধান:

মনে করি,
খুঁটিটি ভূমি থেকে h উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো।
এখানে, ∠BDC = 30°
এখন,
sin30° = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin30° = BC/BD
⇒ 1/2 = h/(72 - h)
⇒ 2h = 72 - h
⇒ 2h + h = 72
⇒ 3h = 72
∴ h = 24

সুতরাং, খুঁটিটি ভূমি থেকে 24 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 22 বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = 2 × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (2 × 22) বর্গ সে.মি.
= 44 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 5 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুটি কর্ণের সমষ্টি কত একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a 

এখানে,
ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য, a = 5 একক
∴ ঘনকের দুটি কর্ণের সমষ্টি = √3a + √3a 
= 5√3 + 5√3
= 10√3 একক

প্রশ্ন: 3 + cosec²θ = 5 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
3 + cosec²θ = 5
⇒ cosec²θ = 5 - 3
⇒ cosec²θ = 2
⇒ cosecθ = √2
⇒ cosecθ = cosec45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: cos120° এর মান কত?

সমাধান:
cos120°
= cos (90° + 30°)
= - sin30°
= - 1/2

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা 0.3 মিটার। চৌবাচ্চাটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে = 0.3 মিটার

আমরা জানি,
চৌবাচ্চাটির আয়তন = (0.3 × 0.3 × 0.3) ঘনমিটার
= 0.027 ঘনমিটার

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 14°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ + 14°) = 1/2
⇒ sin(θ + 14°) = sin30°
⇒ θ + 14° = 30°
⇒ θ = 30° - 14°
∴ θ = 16°

প্রশ্ন: sinA + cosecA = 2 হলে, sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + cosecA = 2
⇒ SinA + (1/sinA) = 2
⇒ (sin²A + 1)/sinA = 2
⇒ sin²A + 1 = 2sinA
⇒ sin²A - 2sinA + 1 = 0
⇒ (sinA - 1)² = 0
⇒ sinA - 1 = 0
∴ sinA = 1

প্রশ্ন: দুইটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 হলে, এদের আয়তনের অনুপাত কত?

ধরি,
ঘনক দুটির বাহুর দৈঘ্যের অনুপাত যথাক্রমে = 2a, 3a
∴ ঘনকদুটির আয়তনের অনুপাত = (2a)³ : (3a)³
= 8a³ : 27a³
= 8 : 27

প্রশ্ন: একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে 12 মিটার উঁচু একটি ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায়। অপর প্রান্ত ঘর থেকে 5 মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
মইটি a মিটার লম্বা

∴ সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র হতে পাই,
(অতিভূজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
⇒ a² = (5)² + (12)²
⇒ a² = 25 + 144
⇒ a² = 169
∴ a = 13 মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 216 বর্গ মি.। যদি এর দৈর্ঘ্য 3 মি. কমানো ও প্রস্থ 3 মি. বাড়ানো হয় তবে তা একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হয়, তাহলে বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a মিটার
তাহলে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (a + 3)
এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (a - 3)

প্রশ্নমতে,
(a + 3)(a - 3) = 216
⇒ a² - 9 = 216
⇒ a² = 216 + 9
⇒ a² = 225
∴ a = 15

প্রশ্ন: কোনো ঘনক আকৃতির বাক্সের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 মিটার হলে বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 মিটার

আমরা জানি,
বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল = 6a²
= {6 × (6)²}
= 6 × 36
= 216 বর্গমিটার

প্রশ্ন: 1 + cot²θ = 4 এবং θ < 90° হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
1 + cot²θ = 4
⇒ cosec²θ = 4
⇒ cosec²θ = 2²
⇒ cosecθ = 2
⇒ 1/sinθ = 2
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 5 মিটার এবং 7 মিটার। এর ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার হলে, বাহু দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বহুদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব = ( 2 × ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল)
= (2 × 48)/(5 + 7)
= 96/12 মিটার
= 8 মিটার

∴ বাহু দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব = 8 মিটার