Math Master

প্রশ্ন: সুষম অষ্টভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ কত? 

সমাধান:
সুষম অষ্টভুজের
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/৮= ৪৫°

প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল কত?

সমাধান: 

 সমবাহু ত্রিভুজের ১টি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণ ১২০°।
∴ সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল ১২০° - ১২০° = ০

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x = সে.মি.
লম্ব = x - 2 সে.মি.
অতিভুজ = x + 2 সে.মি.

সুতরাং,
(x + 2)² = x² + (x - 2)²
বা, x² + 4x + 4 = x² + x² - 4x + 4
বা, x² - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
হয় x = 0 অথবা  x - 8 = 0
যা অসম্ভব।       ∴ x = 8

∴ ভূমি 8 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৪৪ ডিগ্রি হলে তার বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৪৪°।
∴ সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৪৪°
= ৩৬°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৩৬°
= ১০টি

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ১)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৩√৩
বা, a^২ + ২a + ১ - a^২ = ১২
বা, ২a = ১১
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার 

প্রশ্ন: একটি দালানের উচ্চতা ৩০ ফুট। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেয়াল থেকে ১৬ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মই বাড়িটির ছাদ স্পর্শ করে আছে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্র থেকে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = √(৩০^২ + ১৬^২)
= √(৯০০ + ২৫৬)
= √১১৫৬
= ৩৪ ফুট

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে A কোণের মান 40° এবং B কোণের মান 70° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান: 
C কোণের মান = 180° - 40° - 70°
= 180° - 110°
= 70°

এখানে B ও C কোণ সমান, আর কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে।
তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৩ : ২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ ৩x একক এবং ২x একক
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩x)^২ : π(২x)^২
= ৯πx^২ : ৪πx^২
= ৯ : ৪

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 136 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 34 একক হলে অপরটি কত?   

সমাধান: 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒  136 = (1/2) × (34 × নির্ণেয় বাহু)
⇒  নির্ণেয় বাহু = (136 × 2)/34
= 8 একক

প্রশ্ন: ১৬ সে.মি. ব্যাস ও ১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৬/২ = ৮ সে.মি.

২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১০ সে.মি. 
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৮ + ১০) সে.মি.
= ১৮ সে.মি.

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১০৫ বর্গএকক হলে, BGC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?ওক
 
সমাধান:

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিনভাগে ভাগ করে।
BGC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ১০৫ = ৩৫ বর্গএকক

প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি b, উচ্চতা a এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
 ত্রিভুজের ভূমি b, উচ্চতা a এবং অতিভুজ c
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
অতিভুজ² = উচ্চতা² + ভূমি²
c² = b² + a²

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ১০ মিটার দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে ১২ মিটার দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 

চিত্র থেকে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে বৃত্তের ব্যাসার্ধ -
OB = √(12²+5²)
= √(144+25)
= √169
= 13