Math Master

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৭৭ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৭৭
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ১৭৭
⇒ ২ক = ১৭৭ - ১
⇒ ২ক = ১৭৬
∴ ক = ৮৮

সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যাটি = (ক + ১)
= (৮৮ + ১)
= ৮৯

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৮ : ৯ এবং তাদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা = ৮ক
এবং অপর সংখ্যাটি = ৯ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং ল.সা.গু = ৭২ক

শর্তমতে,
৭২ক = ৩৬০
⇒ ক = ৩৬০/৭২
⇒ ক = ৫

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ৫

প্রশ্ন: নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়?

সমাধান:
- যে সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮ তা পূর্ণবর্গ নয় ।
- যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়।
- একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হলে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯ ইত্যাদি পূর্ণবর্গ সংখ্যা ।
- আবার সংখ্যার ডানদিকে জোড়সংখ্যক শূন্য থাকলে ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ১০০, ৪৯০০ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা ।

এখন,
√৯৬১ = ৩১
√৭৮৪ = ২৮
√৫৭৬ = ২৪

অতএব, ৫৭৬, ৭৮৪, ৯৬১ হলো পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
সুতরাং, ৮৪৩ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ৪ এবং ২২৮। একটি সংখ্যা ১২ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু = ৪
ল.সা.গু = ২২৮
এবং একটি সংখ্যা = ১২

আমরা জানি,
গ.সা.গু × ল.সা.গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
⇒ (৪ × ২২৮) = (১২ × ২য় সংখ্যা)
⇒ ২য় সংখ্যা = (৪ × ২২৮)/১২
= ৭৬

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ২০১। মধ্যম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি = ক, (ক + ২) এবং (ক + ৪)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২) + (ক + ৪) = ২০১
⇒ ৩ক + ৬ = ২০১
⇒ ৩ক = ২০১ - ৬
⇒ ৩ক = ১৯৫
⇒ ক = ১৯৫/৩
⇒ ক = ৬৫

∴ মধ্যম সংখ্যাটি = (৬৫ + ২)
= ৬৭

প্রশ্ন: দুইটি রাশির ল.সা.গু, তাদের গ.সা.গুর ৭ গুণ। ল.সা.গু ও গ.সা.গুর সমষ্টি ২৮০। যদি একটি সংখ্যা ৩৫ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গ.সা.গু = ক
ল.সা.গু = ৭ক
প্রশ্নমতে,
৭ক + ক = ২৮০
⇒ ৮ক = ২৮০
⇒ ক = ২৮০/৮
∴ ক = ৩৫
সুতরাং, গ.সা.গু = ৩৫
এবং, ল.সা.গু = (৭ × ৩৫) = ২৪৫
∴ অপর সংখ্যাটি = (৩৫ × ২৪৫)/৩৫ = ২৪৫

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৮০ থেকে যত বড় ৮৬০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৬৮০ = ৮৬০ - ক
⇒ ক + ক = ৮৬০ + ৬৮০
⇒ ২ক = ১৫৪০
⇒ ক = ১৫৪০/২
∴ ক = ৭৭০

সুতরাং, সংখ্যাটি = ৭৭০    

প্রশ্ন: দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ৫৪। সংখ্যা দুইটির পার্থক্য ৩। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক ও (ক + ৩)

প্রশ্নমতে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = এদের ল. সা .গু × গ. সা .গু
⇒ ক(ক + ৩) = ৫৪
⇒ ক^২ + ৩ক - ৫৪ = ০
⇒ ক^২ + ৯ক - ৬ক - ৫৪ = 0
⇒ ক(ক + ৯) - ৬( ক + ৯) = 0
⇒ (ক + ৯)(ক - ৬) = ০
⇒ ক = - ৯ , ৬ [- ৯ গ্রহনযোগ্য নয়]

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ৬
∴ বড় সংখ্যাটি = (৬ + ৩) = ৯

প্রশ্ন: ৯৬ ও ৪৮ এর ভাজক সংখ্যার পার্থক্য কয়টি?

সমাধান:
৪৮ = ১ × ৪৮
= ২ × ২৪
= ৩ × ১৬
= ৪ × ১২
= ৬ × ৮
∴ ৪৮ এর ভাজকসমূহ: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৪৮
∴ মোট ভাজক সংখ্যা = ১০টি

আবার,
৯৬ = ১ × ৯৬
= ২ × ৪৮
= ৩ × ৩২
= ৪ × ২৪
= ৬ × ১৬
= ৮ × ১২
∴ ৯৬ এর ভাজকসমূহ: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৩২, ৪৮, ৯৬
∴ মোট ভাজক সংখ্যা ১২টি।

সুতরাং, ৯৬ ও ৪৮ এর ভাজক সংখ্যার পার্থক্য = (১২ - ১০) = ২ টি

প্রশ্ন: ০, ৩, ৪, ৬ ও ৭ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
০, ৩, ৪, ৬ ও ৭ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৬৪৩০
০, ৩, ৪, ৬ ও ৭ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০৪৬৭

∴ বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য = (৭৬৪৩০ - ৩০৪৬৭)
= ৪৫৯৬৩

প্রশ্ন: চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৪, ৮ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৪, ৮ ও ১২ এর ল.সা.গু = ২৪
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯

এখন,
৯৯৯৯ ÷ ২৪ ⇒
ভাগফল = ৪১৬
ভাগশেষ = ১৫

∴ ক্ষুদতম সংখ্যাটি হবে = (২৪ - ১৫) = ৯

সুতরাং, ৯ যোগ করলে যোগফল ৮, ১২ ও ১৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: নিচের জোড়াটি সহমৌলিক?

সমাধান:
• সহমৌলিক:
- দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

৪ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে: ১, ২, ৪
৯ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে: ১, ৩, ৯

সুতরাং, (৪, ৯) পরস্পর সহমৌলিক।

প্রশ্ন: ২০০ থেকে ৬০০ এর মধ্যে ৮ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
২০০ কে ৮ দ্বারা ভাগ করলে, ভাগফল = ২৫ [ভাগশেষ = ০]
৬০০ কে ৮ দ্বারা ভাগ করলে, ভাগফল = ৭৫ [ভাগশেষ = ০]

 ∴ ২০০ থেকে ৬০০ এর মধ্যে ৮ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = (৭৫ - ২৫) + ১
= ৫১

অতএব, ২০০ থেকে ৬০০ এর মধ্যে ৮ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ৫১টি।

প্রশ্ন: যদি (10a + 5) একটি বিজোড় সংখ্যা নির্দেশ করে, তবে কোনটি তার পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি বিজোড় সংখ্যা থেকে পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা বের করতে হলে ২ যোগ করতে হয়।

∴ (10a + 5) + 2
= 10a + 5 + 2
= 10a + 7

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৫ গুণের সাথে ১২ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির ৭ গুণ থেকে ৪৮ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ১২ = ৭ক - ৪৮
⇒ ১২ + ৪৮ = ৭ক - ৫ক
⇒ ৬০ = ২ক
⇒ ক = ৬০/২
∴ ক = ৩০

প্রশ্ন: (২/৩), (৪/৫), (৫/৬) এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
(২/৩), (৪/৫), (৫/৬) এর গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু

২, ৪ ও ৫ এর গ.সা.গু = ১
৩, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৩০

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১/৩০।

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ৩৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
এখানে,
ভাজক = ৩৩,
ভাজ্য = ১০০০

এখন,
১০০০ কে ৩৩ দ্বারা ভাগ করে আমরা পাই,
ভাগফল = ৩০
ভাগশেষ = ১০
প্রদত্ত সংখ্যার সাথে (৩৩ - ১০) = ২৩ যোগ করতে হবে

∴ চার অংকের নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (১০০০ + ২৩)
= ১০২৩

প্রশ্ন: ৮৪ টি কলা ও ৬৩ টি কমলা সর্বোচ্চ কতজন বালিকার মধ্যে নিঃশেষে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
৮৪ ও ৬৩ এর গ.সা.গু = ২১

সুতরাং, ৮৪ ও ৬০ এর গ · সা · গুই হবে নির্ণেয় বালিকার সংখ্যা।

অতএব, সর্বোচ্চ ২১ জন বালিকার মধ্যে ৮৪ টি কলা ও ৬৩ টি কমলা নিঃশেষে ভাগ করে দেয়া যাবে।