Math Master

এখানে,
a = ১,
d = ৪,
n = ৩৫
∴ ৩৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১ + (৩৫ - ১)৪
= ১ + ১৩৬
= ১৩৭

এখানে,
a = 5,
d = 8 - 5 = 3
n তম পদ = 305
বা, a + (n - 1)d = 305
বা, 5 + (n - 1)3 = 305
বা, (n - 1)3 = 300
বা, n - 1 = 100
∴ n = 101

a = ৫,
d = ৪,
শেষ পদ = ৮০৯
∴ পদসংখ্যা = {(৮০৯ - ৫)/৪} + ১
= ২০১ + ১
= ২০২

ধারাটি = 3 + 4 + 5 + 6 + ......+ 101
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ..... + 101 - (1 + 2)
= [{101 × (101 + 1)}/2] - 3
= 101 × 51 - 3
= 5148

a = 9,
d = 7,
n = 35
∴ সমষ্টি (s) = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (35/2) × {2 × 9 + (35-1)7}
= (35/2) × 256
= 4480

১ম পদ = a এবং সাধারন অন্তর = d
∴ ৬ষ্ঠ পদ = a (৬ - ১)d = a + ৫d এবং
১৫তম পদ = a + (১৫ - ১)d = a + ১৪d
∴ (a + ৫d) + (a + ১৪d) = ৮৫
বা, ২a + ১৯d = ৮৫
∴ প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি = (২০/২){২a + (২০ - ১)d}
= ১০(২a + ১৯d)
= ১০ × ৮৫ [২a + ১৯d = ৮৫ বসিয়ে]
= ৮৫০

2³ + 3³ + 4³ + 5³ + ..... + (30)³
= 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + ...... + (30)³ - 1³
= {(30(30 + 1))/2}² - 1
= (15² × 31²)- 1
= 216224

১ম পদ a = 1,
সাধারন অন্তর d = 2,
শেষ পদ = 2n + 1
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/d} + 1
= {(2n + 1 - 1)/2} + 1
= n + 1
∴ সমষ্টি = {পদ সংখ্যা (শেষ পদ + ১ম পদ)}/2
= {(n + 1)(2n + 1 + 1)}/2
= {(n + 1)(2n + 2)}/2
= (n + 1)²

2² + 4² + 6² + ........ + (50)²
= 2².1² + 2².2² + 2².3² +.....+ 2².(25)²
= 2²{1² + 2² + 3² + ........ + (25)²}
= 4 × [{25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6]
= (4 × 25 × 26 × 51)/6
= 22100

log 4 + log 8 + log 16 + ......
= log 2² + log 2³ + log 2⁴....
= 2 log 2 + 3 log 2 + 4 log 2 +......
= log 2 (2 + 3 + 4 + ..... + 11)
= log2{ 10/2{2.2 + (10-1)1}
= log 2 × 65
= 65 log 2

সঠিক উত্তর না থাকায় বাতিল করা হয়েছে।

১ম পদ, a = 1/√3,
সাধারন অনুপাত, r = √3
∴ n তম পদ,
ar^{n - 1} = 27√3
বা, (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 3³√3
বা, (√3)^n-2 = (√3)⁷
বা, n - 2 = 7
∴ n = 9

ধরি,
১ম পদ = a,
সাধারন অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar = 48 ...... (1) এবং
৫ম পদ = ar⁴ = 3/4 …… (2)
(2)নং ÷ (1) নং থেকে পাই,
r³ = 3/4 × 1/48 = 1/64
বা, r = 1/4

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ (a) = 4,
সাধারন অনুপাত r = 2
∴ n পদের সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 508
বা, 4 × {(2ⁿ - 1)/(2 - 1)} = 508
বা, 4(2ⁿ - 1) = 508
বা, 2ⁿ-1 = 127
বা, 2ⁿ = 128 = 2⁷
∴ n = 7

প্রশ্নোক্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ (a) = ১,
সাধারণ অনুপাত (r) = ২,
n = ১৫
∴ সমষ্টি (s) = ১ × {(২^১৫ - ১)/(২ - ১)}
= ২^১৫ - ১
= ৩২৭৬৭

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৩,
সাধারণ অনুপাত (r) = -২,
পদসংখ্যা (n) = ৮
∴  সমষ্টি (s) = a × {(1 - rⁿ)/ (1 - r)} [যেহেতু, r < 1]
= ৩ × {(১ - (-২)^৮)/(১ - (-২))}
= ৩ × (১ - ২৫৬)/৩
= ১ - ২৫৬
= -২৫৫

১ম পদ (a) = ১,
সাধারন অনুপাত (r) = ০.০১
∴ n পদের সমষ্টি (s) = a × {(১ - rⁿ)/(১ - r)} [যেহেতু, r < 1]
= ১ × {(১ - (০.০১)ⁿ)/(১ - ০.০১)}
= {১ - (১/১০০)ⁿ}/০.৯৯
= (১/০.৯৯){১ - (১/(১০০)ⁿ)}
∴ n অসীম হলে,
s = (১/০.৯৯)(১ - (১/∞))
= (১০০/৯৯)(১-০)
= ১০০/৯৯

৮১, ২৭, ___, ৩, ১ ...
= ৩^৪, ৩^৩, ৩^২, ৩^১, ৩^০ .....
∴ ৩^২ = ৯, পদটি লুপ্ত।

৪, ৩৬, ১০০ ....
= ২^২, ৬^২, ১০^২, ১৪^২ .....
∴ ১৪^২ = ১৯৬

এখানে,
১ + ৫ = ৬
৬ + ১০ = ১৬
১৬ + ২০ = ৩৬
৩৬ + ৪০ = ৭৬
৭৬ + ৮০ = ১৫৬