নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 +............+ 156 ধারাটিতে কতটি পদ রয়েছে?

সমাধান:
এখানে, ধারাটি সমান্তর ধারা, যার -
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 4 = 4
পদ সংখ্যা, n = ?

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

শর্তমতে,
a + (n - 1)d = 156
⇒ 4 + (n - 1) × 4 = 156
⇒ 4 + 4n - 4 = 156 
⇒ 4n = 156
⇒ 39

শর্টকার্ট মেথড:
= (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর + 1
= (156 - 4)/4 + 1
= 152/4 + 1
= 38 + 1
= 39

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 7ম পদ এবং 21তম পদ যথাক্রমে 6 এবং - 22 হলে 15তম পদ কত?

সমাধান:
7তম পদ = 6
⇒ a + (7 - 1)d = 6
⇒ a + 6d = 6

এবং
21তম পদ = - 22
⇒ a + (21 - 1)d = 22
⇒ a + 20d = - 22

এখন,
a + 20d - a - 6d = - 22 - 6
⇒ 14d = - 28
⇒ d = - 2

সুতরাং,
 a + 6 × (- 2) = 6
⇒ a - 12 = 6
⇒ a = 18

15তম পদ = 18 + (15 - 1) × (- 2)
= 18 - 28
= - 10

প্রশ্ন: 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..........  ধারাটির 7ম পদ কত?

সমাধান:
এটি গুণোত্তর ধারা যার-
প্রথম পদ, a = 1/3
সাধারণ অনুপাত, r = (1/9)/(1/3) = 1/3

7ম পদ = ar^{7 - 1}
= (1/3) × (1/3)⁶
= (1/3) × (1/729)
= 1/2187

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারা প্রথম পদ এবং শেষ পদ যথাক্রমে 10 এবং 32. যদি সাধারণ অন্তর 2 হয় তবে পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(32 - 10)/2} + 1
= 11 + 1
= 12

সমান্তর ধারা
সমান্তর বলতে ‘সমান অন্তর’ বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে। 

যেমন: ১ + ৪ + ৭ + ১০ +...............+ ২২, একটি সমান্তর ধারা।

গুণোত্তর ধারা
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে। 

যেমন: ১ + ৩ + ৯ + ২৭ + .........+ ৭২৯, একটি গুণোত্তর ধারা।

> অপশন (খ) ব্যতিত বাকিগুলো ধারার বৈশিষ্ট্য পূর্ণ করে না।

প্রশ্ন: ৪ + ১১ + ১৮ + ২৫ +...........ধারাটির ৩০টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা, যার
প্রথম পদ, n = 4
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 4 = 7
পদ সংখ্যা, n = 30

আমরা জানি,
সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (30/2){2.4 + (30 - 1).7}
= 15 × (8 + 203)
= 15 × 211
= 3165

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদের ৭ গুণ এবং ১১ম তম পদের ১১ গুণ সমান, তাহলে ধারাটির ১৮তম পদটি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
৭ম পদ = a + 6d
১১তম পদ = a + 10d
তাহলে, ১৮তম পদ = a + 17d

প্রশ্নমতে,
⇒ 7 × (a + 6d) = 11 × (a + 10d)
⇒ 7a + 42d = 11a + 110d
⇒ 11a - 7a = 42d - 110d
⇒ 4a = - 68d
⇒ a = - 17d
⇒ a + 17d = 0

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ২৫তম পদ এবং ২০তম পদের মানের পার্থক্য ৪৫ হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
২৫তম পদ = a + 24d
এবং ২০তম পদ = a + 19d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + 24d - a - 19d = 45
⇒ 5d = 45
⇒ d = 9

প্রশ্ন: √2 + √8 + √18 + √32 +......... ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করুন।
  
সমাধান:
√2 + √8 + √18 + √32 +.........
= √2 + 2√2 + 3√2 + 4√2 +.........

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার
প্রথম পদ, n = √2
সাধারণ অন্তর, d = 2√2 - √2 = √2
পদ সংখ্যা, n = 8

আমরা জানি,
সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (8/2){2√2 + (8 - 1).√2}
= 4 × (2√2 + 7√2)
= 4× 9√2
= 36√2

প্রশ্ন: 3 + x + y + 375 একটি গুণোত্তর ধারা ভুক্ত হলে y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
৪র্থ পদ ar^{4 - 1} = 375
বা, ar³ = 375 ....... (i)

এবং প্রথম পদ, a = 3........ (ii)

⇒ (i) ÷ (ii)
⇒ ar³/a = 375/3
⇒ r³ = 125
⇒ r³ = 5³
⇒ r = 5

অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, r = 5

3য় পদ, y =ar^{3 - 1}
= ar²
= 3 × 5²
= 75

প্রশ্ন: - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - ............ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত = (- 1/8)/(- 1/4)
= (- 1/8) × (- 4/1)
= 1/2

প্রশ্ন: log2 + log4 + log16 + ...... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log16 + ......
= log2 + log2² + log2⁴ + ......
= log2 + 2log2 + 4log2 + ......
= log2(1 + 2 + 4 .........)

এখানে, 1 + 2 + 4 ......... ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2
পদ সংখ্যা, n = ?

সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 1.(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= 2¹⁰ - 1
= 1024 - 1
= 1023

ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি = 1023log2

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ ৫ এবং দ্বিতীয় পদ ১০ হলে নবম পদের মান কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10/5 = 2
পদ সংখ্যা, n = 9

নবম পদ = ar^{n - 1}
= 5 × 2^{9 - 1}
= 5 × 2⁸
= 5 × 256
= 1280

প্রশ্ন: মান নির্ণয় করুন: log_3√2324

সমাধান:
log_3√2324
= log_3√2(81 × 4)
= log_3√2(3⁴ × √2⁴)
= log_3√2(3√2)⁴
= 4log_3√23√2
= 4.1
= 4

প্রশ্ন: যদি log₁₀125 + log₁₀8 = x হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀125 + log₁₀8 = x
⇒ log₁₀(125 × 8) = x
⇒ log₁₀(1000) = x
⇒ x = log₁₀(1000)
⇒ x = log₁₀(10)³
⇒ x = 3log₁₀10
⇒ x = 3

প্রশ্ন: 1/log_ab × 1/log_bc × 1/log_ca = কত?

সমাধান:
1/log_ab × 1/log_bc × 1/log_ca
= log_ba × log_cb × log_ac
= (log_ba × log_cb) × log_ac
= log_ca × log_ac
= 1

প্রশ্ন:  (m/n)^{a - 5} = (n/m)^{a - 7} হলে a এর মান কত? 

সমাধান: 
(m/n)^{a - 5} = (n/m)^{a - 7}
(m/n)^{a - 5} =(m/n)^{- (a - 7)}
a - 5 = - a + 7
a + a = 7 + 5
2a = 12
a = 6

যদি a^b = b^a হয়, তবে (a/b)^a/b = কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে 
a^b = b^a 
⇒ b^a = a^b
⇒ b = (a^b)^1/a
⇒ b = a^b/a

(a/b)^a/b = (a/a^b/a)^a/b
             = (a^{1 - b/a})^a/b
             = a^{(a/b) - 1}

প্রশ্ন: [log₁₀(5log₁₀100)]² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
[log₁₀(5log₁₀100)]²
=[log₁₀{5log₁₀(10)²}]²
=[log₁₀{(5 × 2)log₁₀10}]²
=(log₁₀10)²
= (1)²
= 1

এর মান কত?

সমাধান: 
(a^{p + q}/a^2r) × (a^{q + r}/a^2p) × (a^{r + p}/a^2q)
= a ^{p + q - 2r} × a ^{q + r - 2p} × a ^{r + p - 2q}
= a^{p + q - 2r  + q + r - 2p + r + p - 2q}
= a ^{2p + 2q - 2r + 2r - 2p - 2q}
= a ⁰ 
= 1

হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
2^x = (16)^1/3
2^x = (2⁴)^1/3
2^x = 2^4/3
x = 4/3

7^{(x + 3)} = 49^{(3x - 4)} হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
7^{(x + 3)} = 49^{(3x - 4)}
7^{(x + 3)} = (7²)^{(3x - 4)}
7^{x + 3} = 7^{6x - 8}
x + 3 = 6x - 8
6x- 8 = x + 3
6x - x = 3 + 8
5x = 11
x = 11/5

প্রশ্ন: 1/log₂24 + 1/log₃24 + 1/log₄24 = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
1/log_ba= log_ab

প্রদত্তরাশি,
1/log₂24 + 1/log₃24 + 1/log₄24 
= log₂₄2 + log₂₄3 + log₂₄4
= log₂₄(2 × 3 × 4)
= log₂₄24
= 1