৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

প্রশ্ন: a² + b² = 29 এবং ab = 10 হলে,  a + b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + b²= 29
ab = 10

আমরা জানি, 
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 29 = (a + b)² - (2 × 10)
⇒ (a + b)² = 29 + 20
⇒ (a + b)² = 49
⇒ √(a + b)² = √49
⇒ a + b = 7

প্রশ্ন: 2√2x³ + 125 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
2√2x³+ 125
= (√2 × √2 × √2)x³ + 125  [ √2 × √2 = (√2)² = 2 ]
= (√2x)³ + 5³
= (√2x + 5)(2x² - 5√2x + 25)

প্রশ্ন: 3x + y = 9 এবং 5x  - y = 7 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
3x + y = 9............ (1)
5x  - y = 7..............(2)
(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
8x  = 16
⇒ x = 16/8
⇒ x = 2

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
(3 × 2) + y = 9
⇒ 6 + y = 9
⇒ y = 9 - 6
⇒ y = 3

∴ x = 2 
এবং y = 3

প্রশ্ন: x + 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
x + 3 > 2x - 1
⇒ 2x - 1 < x+ 3
⇒ 2x - x < 3 + 1
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (- ∝, 4)

প্রশ্ন: log₅(1/625) এর মান কত?

সমাধান:
log₅(1/625)
= log₅(1/5⁴) 
= log₅5^{- 4}
= - 4 log₅ 5
= (- 4 × 1)
= - 4

প্রশ্ন: x + (1/x) = 4 হলে  x⁴ + (1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x + (1/x) = 4
⇒ {x + (1/x)}² = 4²
⇒ x² + 2.(x).(1/x) + (1/x)² = 16
⇒ x² + (1/x²) + 2 = 16
⇒ x² + (1/x²) = 16 - 2 = 14
⇒ {x² + (1/x²)}² = (14)²
⇒ (x²)² + 2.(x²).(1/x²) + (1/x²)² = 196
⇒ x⁴ + 2 + (1/x⁴) = 196
⇒ x⁴ + (1/x⁴) = 196 - 2
⇒ x⁴ + (1/x⁴) = 194

প্রশ্ন: x² - 1 - y(y - 2) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি,
x² - 1 - y(y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y +1)
= x² - (y - 1)²
=(x - y + 1)(x + y - 1)

প্রশ্ন: একটি শ্রেনিতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ঐ শ্রেণিতে ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ছাত্রসংখ্যা = ক জন 

এখন,
১ জন ছাত্র দেয় = ক টাকা 
∴ ক জন ছাত্র দেয় = ক × ক = ক^২ টাকা 

প্রশ্নমতে,
ক^২ = ৬৫৬১
⇒ ক = ৮১ [বর্গমূল করে]

অর্থাৎ ঐ শ্রেণি তে ছাত্রসংখ্যা = ৮১ জন

প্রশ্ন: |x + 3| < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 3| < 5

এখন,
(x + 3) ধনাত্মক ধরে,
(x + 3) < 5
⇒ x + 3 - 3 < 5 - 3
⇒ x < 2

আবার,
(x + 3) ঋনাত্মক ধরে,
- (x + 3) < 5
⇒ x + 3 > - 5
⇒ x + 3 - 3 > - 5 - 3
⇒ x > - 8

দুইটি শর্ত তুলনা করে প্রাপ্ত অসমতার সমাধান = - 8 < x < 2
∴ S = {x ∈ R: - 8 < x < 2} 

শর্টকাট:
|x + 3| < 5
⇒ - 5 < x + 3 < 5
⇒ (- 5 - 3) < (x + 3 - 3) < (5 - 3)
⇒ - 8 < x < 2

প্রশ্ন: 3 log₁₀2 + log₁₀5 + log₁₀3 এর সমাধান কত?

সমাধান:
3 log₁₀2 + log₁₀5 + log₁₀3
= log₁₀2³ + log₁₀5 + log₁₀3
= log₁₀8 + log₁₀5 + log₁₀3
= log₁₀(8 × 5 × 3)
= log₁₀120

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y রাশিটির উৎপাদক—

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশিটি হলো , 
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + (2 × a × 3) + 3² - 1 - y² + 2y
= (a + 3)² - (y² - 2y +1)
= (a + 3)² - (y - 1)²
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

প্রশ্ন: যদি x⁴ - x² + 1 = 0 হয় তাহলে x + (1/x) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x⁴ - x² + 1 = 0
⇒ x⁴ + 1 = x²
⇒ (x⁴/x²) + (1/x²)= 1
⇒ x² + (1/x)² = 1
⇒ {x + (1/x)}² - 2.(x).(1/x) = 1
⇒ {x + (1/x)}² - 2 = 1
⇒ {x + (1/x)}² = 1 + 2
⇒ {x + (1/x)}² = 3
⇒ √{x + (1/x)}²  = √3
⇒ x + (1/x) = √3

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ১০৫ হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যাটি = ২ক/৫

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৫) = ১০৫
⇒ (৫ক + ২ক)/৫ = ১০৫
⇒ ৭ক = ১০৫ × ৫
⇒ ক = (১০৫ × ৫)/৭
⇒ ক = ৭৫

∴ একটি সংখ্যা = ৭৫
ও অপর সংখ্যাটি = (২ × ৭৫)/৫ = ৩০

প্রশ্ন: যদি x = y^a, y = z^b এবং z = x^c হয় তাহলে abc এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = y^a, y = z^b এবং z = x^c 

এখন,
x = y^a
⇒ x =(z^b)^a
⇒ x = z^ba
⇒ x = (x^c)^ba
⇒ x¹ = x^abc
⇒ abc = 1

প্রশ্ন: 5(3 - 2x) ≤ 3(4 - 3x) অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
5(3 - 2x) ≤ 3(4 - 3x)
⇒ 15 - 10x ≤ 12 - 9x
⇒ - 10x + 9x ≤ 12 - 15
⇒ - x ≤ - 3
⇒ x ≥ 3

প্রশ্ন: 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
 log₅5√5 
= log₅(5 × 5^1/2)
= log₅5^{{1 + (1/2)}}
= log₅5^{{(2 + 1)/2}}
= log₅5^3/2
= (3/2) log₅5 
= (3/2) × 1 [loga a=1]
= 3/2 

প্রশ্ন: a + b + c = 12 এবং ab + bc + ca = 47 হলে, a² + b² + c² = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (12)² = (a² + b² + c²)+ (2 × 47)
⇒ 144 = (a² + b² + c²) + 94
⇒ a² + b² + c² = 144 - 94
⇒ a² + b² + c² = 50

প্রশ্ন: (x² - 4x)(x² - 4x - 1) - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
(x² - 4x)(x² - 4x - 1) - 20

ধরি, x² - 4x = a
তাহলে, 
(x² - 4x)(x² - 4x - 1) - 20
= a(a - 1) - 20
= a² - a - 20
= a² - 5a + 4a - 20
= a(a - 5) + 4(a - 5)
= (a - 5)(a + 4)

এখন,
(a - 5)(a + 4) এ a এর মান বসিয়ে পাই,
= (x² - 4x - 5)(x² - 4x + 4)
= (x² - 5x + x - 5)(x² - 2x - 2x + 4)
= {x(x - 5) + 1(x - 5)}{x(x - 2) - 2(x - 2)}
= (x - 5)(x + 1)(x - 2)(x - 2)

প্রশ্ন: 3(3x - 4) = 2(4x - 3) - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3(3x - 4) = 2(4x - 3) - 2
বা, 9x - 12 = 8x - 6 - 2
বা, 9x - 8x = - 6 + 12 - 2 
বা, x = 4

প্রশ্ন: 3^{(x - 3)} = 9a^{(x - 5)} হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3^{(x - 3)} = 9a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 3)}/9 = a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 3)}/3² = a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 3 - 2)} = a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 5)} = a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 5)}/a^{(x - 5)} = 1
⇒ (3/a)^{(x - 5)} = (3/a)⁰
⇒ x - 5 = 0
⇒ x = 5

প্রশ্ন: |4 - x| > 6 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
এখন, (4 - x) ধনাত্মক হলে, 
4 - x > 6
⇒ 4 - x - 4 > 6 - 4 
⇒ - x > 2
⇒ x < - 2 [- 1 দ্বারা গুণ করে]

আবার, (4 - x) ঋণাত্মক হলে,
- (4 - x) > 6
⇒ 4 - x < - 6 [- 1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 4 - x - 4 < - 6 - 4
⇒ - x < - 10
⇒ x > 10 [- 1 দ্বারা গুণ করে]

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 2 অথবা x > 10

প্রশ্ন: log₂(log₃81) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(log₃81)
= log₂{log₃(3⁴)}
= log₂(4 log₃3) 
= log₂4 [ log_aa = 1]
= log₂2²
= 2 log₂2
= 2 × 1
= 2

প্রশ্ন: a + b = d হলে a³ + b³ + 3abd এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = d

প্রদত্ত রাশি,
a³ + b³ + 3abd
= {(a + b)³ - 3ab(a + b)} + 3abd
= d³ - 3abd + 3abd
= d³

প্রশ্ন: 4a² - 12ab + 9b² - 4c² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
4a² - 12ab + 9b² - 4c²
= (2a)² - 2.2a.3b + (3b)² - 4c²
= (2a - 3b)² - (2c)²
= {(2a - 3b) + 2c}{(2a - 3b) - 2c}
= (2a - 3b + 2c)(2a - 3b - 2c)

প্রশ্ন: সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 2 > 2x - 1
⇒ 3x - 2 + 2 > 2x - 1 + 2
⇒ 3x > 2x + 1
⇒ 3x - 2x > 1
⇒ x > 1
অর্থাৎ x এর মান 1 থেকে অসীম পর্যন্ত।

∴ x এর সমাধান সেট = (1, ∞)

প্রশ্ন: a + b = 10 এবং a - b = 2 হলে 8ab এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 10 এবং
a - b = 2

এখন,
8ab
= 2 × 4ab
= 2 × {(a + b)² - (a - b)²}
= 2 × {(10)² - (2)²}
= 2 × (100 - 4)
= 2 × 96
= 192

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (4p² - 6p - 40) এবং (p² + 2p - 24) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
১ম রাশি:
4p² - 6p - 40
= 4p² - 16p + 10p - 40
= 4p(p - 4) + 10(p - 4)
= (p - 4)(4p + 10)

২য় রাশি:
p² + 2p - 24
= p² + 6p - 4p - 24
= p(p + 6) - 4(p + 6)
= (p - 4)(p + 6)

প্রদত্ত রাশি দুইটির সাধারণ উৎপাদক (p - 4)

প্রশ্ন: |2a - 5| ≤ 3 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
|2a - 5| ≤ 3
⇒ - 3 ≤ 2a - 5 ≤ 3
⇒ - 3 + 5 ≤ 2a - 5 + 5 ≤ 3 + 5
⇒ 2 ≤ 2a ≤ 8
⇒ (2/2) ≤ (2a/2) ≤ (8/2) 
⇒ 1 ≤ a ≤ 4

প্রশ্ন: log_ba^1/2 log_cb² log_ac² এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
log_ba^1/2 log_cb² log_ac²
= {(1/2) log_b a} × (2 log_c b) × (2 log_a c)
= {(1/2) × 2 × 2} log_b a × log_c b × log_a c
= 2 log_c a × log_a c [ যেহেতু log_a b × log_b a = log_b b]
= 2 log_a a
= 2 × 1
= 2

প্রশ্ন: যদি  x² + fx + 3 = 0 এর মূল দুইটি সমান হয় তবে f এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + fx + 3 = 0
যেহেতু মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান, সুতরাং নিশ্চয়ক b² - 4ac = 0 হবে।

f² - (4 × 1 × 3) = 0
⇒ f² - 12 = 0
⇒ f² = 12
⇒ f = √12
⇒ f = √(4 × 3)
⇒ f = 2√3

প্রশ্ন: - 4a² + 23a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
- 4a² + 23a + 6
= - 4a² + 24a - a + 6
= - 4a(a - 6) - 1(a - 6)
= (a - 6) (- 4a - 1)
= - (a - 6)(4a + 1)
= (6 - a)(4a + 1)

প্রশ্ন যদি x + y = 8 এবং x - y = 2 হয় , তাহলে 2x² + 2y² = ?

সমাধান
দেওয়া আছে,
x + y = 8 এবং x - y = 2

∴ 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= {(x + y)² + (x - y)²}
= (8)² + (2)²
= 64 + 4 
= 68

প্রশ্ন: 2x² - 8x + 6 = 0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি_______

সমাধান:
প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ:
2x²− 8x + 6 = 0

আমরা জানি,
দ্বিঘাত সমীকরণের রূপ:
ax² + bx +c = 0

সমীকরণদ্বয়কে তুলনা করে পাই,
a = 2
b = − 8
c = 6 

এখন,
নির্ণায়ক (D)-এর সূত্র:
D = b²− 4ac
= (− 8)² − (4 × 2 × 6)
= 64 − 48 = 16

নির্ণায়কের মান অনুযায়ী:
D > 0 হলে: মূল হবে বাস্তব ও অসমান।
D = 0 হলে: মূল হবে বাস্তব ও সমান ।
D < 0 হলে: মূল হবে কাল্পনিক।

এখানে, 
D = 16 > 0
∴ মূলগুলো হবে বাস্তব ও অসমান ।