প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + .......... ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
n = 10

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 তম পদ = 5 + (10 - 1)3
= 5 + (9 × 3)
= 32

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +..........ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2

∴ সাধারণ পদ = ar^{n - 1}
= 128 × (1/2)^{n - 1}
= (128 × 1)/2^{n - 1}
= 128/2^{n - 1}
= 2⁷/2^{n - 1}
= 2^{7 - n + 1}
= 2^{8 - n}

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 19 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 

∴ 10- তম পদ,
a + (10 - 1)d = 77
∴ a + 9d = 77

এখন, প্রথম 19 টি পদের সমষ্টি,
= (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 77
= 1463

প্রশ্ন: 72 + 66 + 60 + …… + (- 6) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 72
সাধারণ অন্তর, d = 66 - 72 = - 6

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 6
⇒ 72 + (n - 1)(- 6) = - 6
⇒ 72 - 6n + 6 = - 6
⇒ 78 - 6n = - 6
⇒ 6n = 78 + 6
⇒ 6n = 84
⇒ n = 84/6
∴ n = 14

আমরা জানি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (14/2){2a + (n - 1)d}
= (14/2){(2 × 72) + (14 - 1)(- 6)}
= 7{144 + 13 × (- 6)}
= 7(144 - 78)
= 7 × 66
= 462

প্রশ্ন: 4, 2a + 2, 64 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2a + 2)/4 = 64/(2a + 2)
⇒ (2a + 2)² = 256
⇒ 2a + 2 = 16
⇒ 2a = 14
∴ a = 7

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ……. + 25² = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [25 × (25 + 1){(2 × 25) + 1}]/6
= (25 × 26 × 51)/6 
= 33150/6
= 5525

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ......... + (2n - 1) ধারাটির যোগফল হবে-

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = 1
শেষ পদ = (2n - 1)

∴ পদসংখ্যা = {(2n - 1 - 1)/2} + 1
= {(2n - 2)/2} + 1
= (2n - 2 + 2)/2
= n

∴ যোগফল = {(1 + 2n - 1)n}/2
= 2n²/2
= n²

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 +................ ধারাটির প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r =(- 4)/2 = 8/(- 4) = - 2;  [r < 1]

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি,  S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r)  ; r < 1
7 টি পদের সমষ্টি,  S₇ = 2{1 - (- 2)⁷}/(1 + 2)
= {2 × (1 + 128)}/3
= (2 × 129)/3
= 258/3
= 86

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 20টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)

প্রথম 20টি পদের সমষ্টি = 20(20 + 1)
= 20 × 21
= 420

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 3 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

প্রশ্ন: 7 + (7/2) + (7/4) + .....................ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 7
২য় পদ = 7/2

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (7/2)/7
= (7/2) × (1/7)
= 1/2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ 15 এবং সপ্তম পদ 40 হলে, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
দ্বিতীয় পদ = 15
∴ a + (2 - 1)d = 15
⇒ a + d = 15
⇒ a = 15 - d

∴ সপ্তম পদ = 40
⇒ a + (7 - 1)d = 40
⇒ (15 - d) + 6d = 40
⇒ 15 + 5d = 40
⇒ 5d = 40 - 15
⇒ 5d = 25
⇒ d = 25/5
∴ d = 5

প্রশ্ন: 4 + 20 + 100 + … গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 12500 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 20/4 = 5

ধরি,
n তম পদ = 12500
⇒ ar^{n - 1} = 12500
⇒ 4 × 5^{n - 1} = 12500
⇒ 5^{n - 1} = 3125
⇒ 5^{n - 1} = 5⁵
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1
⇒ n = 6

প্রশ্ন: log9 + log81 + log729 +................ ধারাটির প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log9 + log81 + log729 +................
=log9 + log9² + log9³ +................ 
= log9 + 2log9 + 3log9 +................ 
= (1 + 2 + 3.............) log9

এখন, (1 + 2 +3.............) ধারাটির প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি 
= {30 × (30 + 1)}/2
= 15 × 31
= 465

∴ ধারাটির প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি = 465 log9

প্রশ্ন: প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {11(11 + 1)/2}²
= {(11 × 12)/2}²
= (11 × 6)²
= (66)²
= 4356

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের চতুর্থ পদটি 72 এবং অষ্টম (৮ তম) পদটি 1152 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান: 
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অনুপাত, r হলে

আমরা জানি,
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ চতুর্থ পদ, a​r³ = 72............ (1)
∴ অষ্টম পদ, a​r⁷ = 1152.........(2)

(2) ÷ (1)
⇒ a​r⁷/a​r³ = 1152/72
⇒ r⁴ = 16
⇒ r⁴ = 2⁴
∴ r = 2

এখন, (1) নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
⇒ a × 2³ = 72
⇒ a = 72/8
∴ a = 9

প্রশ্ন: x + (x + 1) + (x + 2) + ....... ধারাটির প্রথম 14 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
x + (x + 1) + (x + 2) + .......
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = x
সাধারন অন্তর, d = x + 1 - x = 1

প্রথম 14 টি পদের সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
= 14/2 {2x + (14 - 1)1}
= 7(2x + 13)
= 14x + 91

প্রশ্ন: রায়হান একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ রায়হান 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

প্রশ্ন: (1/2) + (1/√2) + 1 +...................... ধারাটির কোন পদ 8√2 ?

সমাধান:
এখানে,
a = 1/2
r = 1/√2 ÷ 1/2 = √2

ধরি,
n তম পদ = 8√2
⇒ ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/2) × r^{n - 1} = 8√2
⇒ r^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)⁹
⇒ n - 1 = 9
∴ n = 10