১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

দেয়া আছে,
2^x × 8^1/5 = 2^1/5
2^x × (2³)^1/5 = 2^1/5
2^x × 2^3/5 = 2^1/5
2^{(x + 3/5)} = 2^1/5
x + 3/5 = 1/5 
x = 1/5 - 3/ 5 
x= (1 - 3)/5
x = - 2/5 

এখানে,
১ম পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d  =5 - 2 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 
16তম পদ = a + (16 - 1)d 
                    = 2 + 15 ×3
                   = 2 + 45
                    = 47

দেয়া আছে,
2^{4a - 12} = 16 
2^{4a - 12} =2⁴
4a - 12  = 4
4a = 12 + 4 
4a = 16
a = 4 

ধারাটির প্রথম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r=8/4 = 2

n-তম পদ = ar^n-1
7-তম পদ = ar^{7 - 1}
                = ar⁶
                  = 4 ×2⁶ 
                 = 4 × 64 = 256

(a/b)^{x - 5} = (b/a)^{x - 7} 
(a/b)^{x - 5} = (b/a)^{x - 7} 
(a/b)^{x - 5}  = {(a/b)^-1}^{x - 7} 
(a/b)^{x - 5} = (a/b)^{7 -x}
x - 5 = 7 - x
x + x = 7 + 5 
2x = 12
x = 6 

এখানে
১ম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d =7 - 3 = 4

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 199 = 3 +(n - 1)×(4)
বা, 199=3 + 4n - 4
বা, 199= 4n -1
বা 4n = 199 +1
বা  4n = 200
বা n = 200/4
   n  = 50

{a^{(p + q)}/a^2r } × {a^{(q + r)}/a^2p} × {a^{(r + p)}/a^2q} 
= a^{p + q - 2r} × a^{q + r - 2p} × a^{r + p - 2q}
= a^{p + q - 2r +  q + r - 2p + r + p - 2q}
= a^{2p + 2q + 2r - 2p - 2q - 2r} 
= a⁰
= 1

দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a = 6
সাধারণ অনুপাত r 

এবং গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ = 162
বা, ar^{4 - 1} = 162
বা, 6 × r³ = 162
বা, r³ =162/6
বা, r³ = 27
∴ r = 3 

∴ তৃতীয় পদ = ar^{3 - 1}
                   = 6 × (3)²
                   = 6 ×9 = 54

4^{a + 2} = 2^{2a + 1} + 28
4^a.4² = 2^2a . 2¹ + 28
16. 4^a = 4^a . 2 + 28
4^a(16 - 2) = 28
4^a .14 = 28
4^a = 2
(2²)^a = 2¹
2^2a = 2¹
2a = 1
a = 1/2

ধরি 
 সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
        সাধারণ অন্তর d 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d 

এখানে, 9তম পদ 29
সুতরাং a + (9 - 1)×3= 29
        বা, a + 24 = 29
             a = 5

সুতরাং, 15তম পদ = 5 + (15 - 1)× 3
                               = 5 + 42
                               = 47

log3 + log9 + log27 + ...............
log3 + log3² + log3³ + ...............
log3 + 2log3 + 3log3 + ...............
এখানে 
১ম পদ = log3 
সাধারণ অন্তর = 2log3 - log3
                       =(2 - 1)log3
                       = log3

7 + 14 + 24+.................. 
ধারাটির প্রথম পদ a = 7
সাধারণ অনুপাত r= 14/7 = 2

n-তম পদ = ar^n-1
896 = 7.2^{n -1}
128 = 2^n-1
2^{n - 1} = 2⁷
n - 1 = 7 
n = 7 +1
n = 8

log₈x + log₈(1/6) = 1/3 
log₈{x × (1/6)} = 1/3 
log₈x/6 = 1/3
x/6 = 8^1/3
x/6 = (2³)^1/3
x/6 = 2
x = 6 × 2 
x = 12 

(3/5)³ (3/5)^{- 6} =(3/5)^{2x - 1} 
(3/5)^{3 - 6} = (3/5)^{2x - 1} 
(3/5)^{- 3}  = (3/5)^{2x - 1} 
- 3 = 2x - 1 
- 3 + 1 = 2x
- 2 = 2x
x = - 2 /2
x = - 1

ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 4 = 6

∴ ধারাটির সমষ্টি, S = (n/2){2a + (n -1)d}
= (20/2){2 × 4 + (20 -1) × 6}
= 10 × (8 +114)
= 10 × 122
= 1220

  log₂log₃log₃27³ 
= log₂log₃log₃(3³)³
= log₂log₃log₃(3)⁹
= log₂log₃.9log₃3
= log₂log₃9
= log₂log₃3²
= log₂2log₃3
= log₂2
= 1

n-তম পদ {1 - (- 1)ⁿ}/2 
18 -তম পদ = {1 - (- 1)¹⁸}/2
                     = {1 - (1)}/2
                     = (1 - 1)/2
                      = 0/2
                      = 0

4^{m + 2}= 32
(2²)^{m + 2} = 2⁵
2^{2m + 4} = 2⁵ 
2m + 4 = 5 
2m = 5 - 4
2m = 1 
m= 1/2

দেয়া আছে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) 
n = 1 হলে প্রথম পদ = 1(1 + 1) = 1. 2 = 2
n = 2 হলে প্রথম দুইটি পদের সমষ্টি = 2(2 + 1) = 2. 3 = 6

২য় পদ = 6 - 2 = 4 

ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 2 = 3

n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 89 = 2 + (n-1)3
⇒ 89 = 2 + 3n - 3
⇒ 89 = 3n - 1
⇒ 3n = 90
∴ n = 30

∴ ধারাটির সমষ্টি, S = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (30/2){2 × 2 + (30 -1)×3}
= 15 × (4 + 87)
=15 × 91
=1365

ধরি
প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d
 
পঞ্চম পদ = a + (5 - 1)d = a + 4d
ত্রয়োদশ পদ = a + (13 - 1)d = a + 12d

প্রশ্নমতে,
          a + 4d + a + 12d = 30
           2a + 16d = 30

17 টি পদের যোগফল = (17/2){2a+(17-1)d}
                                 = (17/2){2a + 16d}
                                 = (17 × 30/2
                                 = 255

প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1= 2
পদ সংখ্যা, n = 8
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার সমষ্টি S_n = {a(rⁿ - 1)}/(r - 1)

10টি পদের সমষ্টি
S₁₀ = [1{(2)¹⁰ -1}]/(2 - 1)
    =1 × (1024 - 1)
    = 1 × 1023
    = 1023

5^1/4 × (125)^0.25 
5^0.25 × (5³)^0.25
5 ^0.25 ×5 ^0.75
5^{0.25  + 0.75}
5¹
5