৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: log₉(3/27) এর মান কত?

সমাধান:
log₉(3/27)
= log₉(1/9)
= log₉(9^-1)
= - 1 × log₉9 [log_a(M)ⁿ = n.log_aM]
= - 1 × 1 [log_aa = 1]
= - 1

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, 5 অথবা তার থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা ক্ষেত্র হবে = 6 টি
নমুনা ক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

এখন,
5 বা তার থেকে বড় সংখ্যাগুলো হলো = 5, 6
= 2 টি সংখ্যা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা
= 2/6
= 1/3

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₂32 + 4log₇49 এর মান কত?

সমাধান:
2log₅25 + 3log₂32 + 4log₇49
=2log₅(5²) + 3log₂(2⁵) + 4log₇(7²)
= 2 × 2log₅5 + 3 × 5log₂2 + 4 × 2log₇7 [log_a(M)ⁿ = n.log_aM]
= 4 + 15 + 8  [log_aa = 1]
= 27

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 10 টি লাল বল, 15 টি সবুজ বল এবং 5 টি হলুদ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল সংখ্যা = 10 + 15 + 5 = 30 টি
লাল বলের সংখ্যা = 10 টি

∴ লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 10/30 = 1/3

∴ লাল না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/3) = (3 - 1)/3 = 2/3

প্রশ্ন: f(x) = (6x + 3)/(4x - 2) হলে, f(3/2) এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = (6x + 3)/(4x - 2)
∴ f(3/2) = {6 × (3/2) + 3}/{4 × (3/2) - 2}
= (9 + 3)/(6 - 2)
= 12/4
= 3

প্রশ্ন: (5x/y)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(5x/y)⁰
= 1 [ a⁰ = 1, যদি a ≠ 0]

প্রশ্ন: ৬০ জন লোকের মধ্যে ৪০ জন ইংরেজী, ৩০ জন ইংরেজী ও বাংলা উভয় ভাষায় এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় কতজন কথা বলতে পারেন?

সমাধান:
এখানে,
লোক সংখ্যা n(U) = ৬০
ইংরেজী ভাষায় কথা বলে n(E) = ৪০ জন
ইংরেজী ও বাংলা উভয় ভাষায় কথা বলে n(E ∩ B) = ৩০ জন
কমপক্ষে একটি ভাষায় কথা বলে n(E ∪ B) = ৬০ জন

আমরা জানি,
n(E ∪ B) = n(E) + n(B) - n(E ∩ B)
⇒ ৬০ = ৪০ + n(B) - ৩০
⇒ ৬০ = ১০ + n(B)
∴ n(B) = ৫০

অর্থাৎ, বাংলায় কথা বলে ৫০ জন।

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1} এর মান কত?

সমাধান:
= 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1}
= 5.2ⁿ - 10.(2ⁿ/2)
= 5.2ⁿ - 5.2ⁿ
= 2ⁿ(5 - 5)
= 2ⁿ × 0
= 0

প্রশ্ন: 3^{2x - 1} = 27^{x - 1} হলে, x = কত?

সমাধান:
3^{2x - 1} = 27^{x - 1}
⇒ 3^{2x - 1} = (3³)^{x - 1}
⇒ 3^{2x - 1} = 3^{3(x - 1)}
⇒ 2x - 1 = 3(x - 1)
⇒ 2x - 1 = 3x - 3
⇒ 2x - 3x = - 3 + 1
⇒ - x = - 2
∴ x = 2

প্রশ্ন: f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
f(x) = x² - 7x + 12
এবং f(x) = 0

এখন,
x² - 7x + 12 = 0 
⇒ x² - 3x - 4x + 12 = 0
= x(x - 3) - 4(x - 3) = 0
= (x - 3)(x - 4) = 0

অর্থাৎ, (x - 3) = 0
∴ x = 3

অথবা, (x - 4) = 0
∴ x = 4

⇒ x = 3, 4

প্রশ্ন: ২০২৫ সালের জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে শুক্রবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহে আছে = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৫ দিন

∴ যেকোনো একদিন (যেমন শুক্রবার) বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৭
∴ শুক্রবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৭)
= (৭ - ৫)/৭
= ২/৭

প্রশ্ন: log_pq⁴ = 4a এবং log_qp² = 2b হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
log_pq⁴ = 4a
⇒ 4log_pq = 4a
⇒ log_pq = a

আবার,
log_qp² = 2b
⇒ 2log_qp = 2b
⇒ log_qp = b

∴ab = log_pq × log_qp
⇒ ab = log_pq × (1/log_pq)
⇒ ab = 1

প্রশ্ন: A = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} হলে A - B = ?

সমাধান:
এখানে,
A = {x: x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ}
18 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 6, 9, 18 
∴ A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
6 এর গুণিতক 6, 12, 18, ......
∴ B = {6, 12, 18}

∴ A - B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} - {6, 12, 18}
= {1, 2, 3, 9}

প্রশ্ন: একটি লুডুর ছক্কা দুবার নিক্ষেপ করলে, মোট ৭ পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬
যে দুইটি সংখ্যার যোগফল 7 হয় সেগুলো হলো (১, ৬), (২, ৫), (৩, ৪), (৪, ৩), (৫, ২), (৬, ১)

∴ মোট অনুকূল ঘটনা = ৬
∴ যোগফল ৭ পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট সম্ভাব্য ঘটনা
= ৬/৩৬
= ১/৬

প্রশ্ন: log₁₀(x + 3) + log₁₀5 = log₁₀(2x + 1) + 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀(x + 3) + log₁₀5 = log₁₀(2x + 1) + 1
⇒ log₁₀{(x + 3) × 5} = log₁₀(2x + 1) + log₁₀10 [∵ log_b​A + log_b​B = log_b(AB)]
⇒ log₁₀{5(x + 3)} = log₁₀{10(2x + 1)}
⇒ 5(x + 3) = 10(2x + 1)
⇒ 5x + 15 = 20x + 10
⇒ 15x = 5
⇒ x = 5/15
∴ x = 1/3

প্রশ্ন: (64)^0.375 × (64)^0.125 এর মান কত?

সমাধান:
(64)^0.375 × (64)^0.125
= (64)^{0.375 + 0.125}
= (64)^0.5
= (64)^1/2
= √64  [∵ a^1/2 = √a]
= 8

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২১ টি
এই পরিসরের মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ 
∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৪ টি

∴ সংখ্যাটির মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = মৌলিক সংখ্যা/মোট সংখ্যা
= ৪/২১

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{3x - 4} = (b/a)^{2x - 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{3x - 4} = (b/a)^{2x - 1}
⇒ (a/b)^{3x - 4} = (a/b)^{- (2x - 1)}
⇒ 3x - 4 = - (2x - 1)
⇒ 3x - 4 = - 2x + 1
⇒ 3x + 2x = 1 + 4
⇒ 5x = 5
∴ x = 1

প্রশ্ন: f(x) = √(3x + 2) ফাংশনটির ডোমেন কত?

সমাধান:
f(x) = √(3x + 2)

যেহেতু, বর্গমূলের ভেতরের অংশ ঋণাত্মক হতে পারে না, সেহেতু
3x + 2 ≥ 0
⇒ 3x ≥ - 2
⇒ x ≥ - 2/3

অতএব, ফাংশনের ডোমেন = {x ∈ R : x ≥ - 2/3} 

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল টেইল এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H, T) 
ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6)

∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12
এগুলো হলো: (1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), (5,H), (5,T), (6,H), (6,T)

টেইল এবং জোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা =  (T,2), (T,4), (T,6)
∴ মোট 3 টি অনুকূল ঘটনা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 3/12
= 1/4

প্রশ্ন: 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂32
= log₂(2⁵)
= 5 × log₂2
= 5 × 1
= 5