Math Master

tanθ√(1 - sin²θ)
= tanθ√(cos²θ)
= (sinθ x cosθ)/cosθ
= sinθ

m² - n²
= (tanA + sinA)² - (tanA - sinA)²
= 4tanA.sinA {(a + b)² - (a - b)² = 4ab}
= 4√(tan²A.sin²A)
= 4√ {tan²A(1- cos²A)}
= 4√ (tan²A- tan²A .cos²A)
= 4√(tan²A - sin²A)
= 4√mn

(1-tan²60°)/(1+tan²60°) + sin²60°
= (1-(√3)²)/(1+(√3)²) + (√3/2)²
= (1-3)/(1+3) + 3/4
= -2/4 + 3/4
= 1/4

সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h = π(3)² x 3.5 = 22x9x3.5/7 =99 ঘন মিঃ
ট্যাংকটিতে পানি ধরে = 99 x 1000 = 99000 লিটার (১ ঘনমিঃ পানি = ১০০০ লিঃ)

গোলকের আয়তন = 4πr³/3
= 4π2³/3 = 32π/3 (ব্যসার্ধ = 4/2 = 2)
বৃত্তাকার লোহ পাতটির ব্যাসার্ধ = r সেমিঃ
প্রশ্নমতে,
πr²h = 32π/3
r²2/3 = 32/3
r = 4

১রেডিয়ান = ১৮০/π ডিগ্রী = ২/π সমকোণ
১ ডিগ্রী = π/১৮০ রেডিয়ান

ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুরোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ সেমিঃ
যেহেতু, ৩² + ৪² = ৫², ইহা একটি সমকোনী ত্রিভুজ।
সমকোনী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ x ভূমি x উচ্চতা
= ½ (3 x 4) = 6 সেমিঃ
প্রিজমের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(ভূমির ক্ষেত্রফল) + ভূমির পরিসীমা x উচ্চতা
= (2 x 6) + (3+4+5) x 8
= 12 + (12 x 8)
= 12 + 96 = 108

ভূমির ব্যাসার্ধ = ১০/২ = ৫ সেমিঃ
হেলানো উচ্চতা l = √(h² + r²) = √(12² + 5²) = 13
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl = π x 5 x 13 = 65π

ব্যাসার্ধ r = 16/2 = 8 সেমিঃ
গোলকের ফাঁপা অংশের ব্যাসার্ধ = 8-2 = 6
গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন = 4/3 (πr³) = 4/3 (π6³)
= 288π

গোলকেটি ঠিক ভাবে এটে যায় বলে গোলকের ব্যাস হবে সিলিন্ডারের উচ্চতা এবং গোলকের ব্যাসার্ধ হবে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ
গোলকোর ব্যাস ২ সেমিঃ এবং ব্যাসার্ধ ১ সেমিঃ
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h = 2π

1/(1+sin²A) + 1/(1+cosec²A)
= 1/(1+sin²A) + 1/(1+1/sin²A)
= 1/(1+sin²A) + sin²A/(1+sin²A)
= (1+sin²A)/(1+sin²A) = 1

(cosA – sinA)/(cosA + sinA) = (1 - √3)/ (1 + √3)
(cosA – sinA +cosA + sinA)/ (cosA – sinA - cosA - sinA) = (1 - √3 + 1 + √3)/ (1 - √3 - 1 - √3)
2cosA/-2sinA = 2/-2√3
cosA/sinA = 1/√3
cotA = 1/√3
cotA = cot60°
A = 60°

যেহেতু কোণটি নেগেটিভ, তাই তা ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরবে।
-300 = - (3x90 + 30)
অর্থাৎ, ১ম সমকোণ চতুর্থ ভাগ,
২য় সমকোণ তৃতীয় ভাগ,
৩য় সমকোণ দ্বিতীয় ভাগ,
এবং +30 মানে প্রথম ভাগ।

2sin²θ – 3cos θ = 0
2(1-cos²θ) – 3cosθ= 0
বা, 2 - 2cos²θ - 3cosθ= 0
বা, -2cos²θ – 3cosθ + 2= 0
বা, -2cos²θ - 4cosθ + cosθ + 2= 0
বা, -2cosθ(cosθ +2) + 1(cosθ + 2) = 0
বা, (cosθ +2) (-2cosθ +1) = 0
বা, (cosθ +2) = 0 ; (-2cosθ +1) = 0
বা, Cosθ ≠ -2 cosθ = 1/2
বা, θ = cos^-1(1/2)
বা, θ = 60°