৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক?

সমাধান:
যে সকল সংখ্যা ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, ঐ সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
৬৭ তেমনি একটি সংখ্যা। যা ১ এবং ৬৭ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না।
১থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

১ হতে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা - ২৫ টি।

প্রশ্ন: (5x + 7, 10 - y) = (12, x + 2y - 3) হলে, (x, y)-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(5x + 7, 10 - y) = (12, x + 2y - 3)
এখন,
⇒ 5x + 7 = 12
⇒ 5x = 12 - 7
⇒ 5x = 5
∴ x = 1 ........(1)
এবং
⇒ 10 - y = x + 2y - 3
⇒ 2y + y = 10 + 3 - x
⇒ 3y = 13 - 1 [(1) নং হতে]
⇒ 3y = 12
∴ y = 4

∴ (x, y) = (1, 4)

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 5 হয় তবে x/(x² - 3x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ x + (1/x) = 5
⇒ (x² + 1)/x= 5
∴ x² + 1 = 5x .......(1)

প্রদত্ত রাশি,
x/(x² - 3x + 1)
= x/(x² + 1 - 3x)
= x/(5x - 3x) [1 নং হতে]
= x/2x
= 1/2

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

সমাধান:

ΔABC এ,
⇒ ∠A+ ∠B+ ∠C = 180°
⇒ 40° + 80° + ∠C = 180
⇒ ∠ C = 180° - 120°
∴ ∠C = 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক =  60°/2 = 30°

আবার,
ΔADC এ,
∠CAD+ ∠CDA+ ∠ACD = 180°
⇒ ∠A+ ∠CDA + ∠C= 180°
⇒ ∠CDA = 180° - (40 + 30)°
⇒ ∠CDA = 180° - 70° = 110°
∴ ∠CDA = 110°

প্রশ্ন: ২০ ও ১০০ এর মধ্যে ৪ ও ৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
৪ ও ৬ এর ল.সা.গু = ১২
২০ ও ১০০ এর মধ্যে ১২ দ্বারা বিভাজ্য,
প্রথম সংখ্যা = ২৪
শেষ সংখ্যা = ৯৬

∴ বিভাজ্য সংখ্যা = {(৯৬ - ২৪)/১২} + ১ = (৭২/১২) + ১
= ৬ + ১ = ৭ [সংখ্যাগুলো হলো- ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০, ৭২, ৮৪, ৯৬]

∴ মোট ৭ টি সংখ্যা আছে যা ৪ ও ৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য এবং ২০ ও ১০০ এর মধ্যে অবস্থিত।

প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির কোন পদ ৩৯২?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৮ - ৫ = ৩

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + (n - 1)d = ৩৯২
⇒ ৫ + (n - 1)৩ = ৩৯২
⇒ ৫ + ৩n - ৩ = ৩৯২
⇒ ৩n + ২ = ৩৯২
⇒ ৩n = ৩৯২ - ২
⇒ ৩n = ৩৯০
⇒ n = ৩৯০/৩
∴ n = ১৩০

∴ ধারাটির ১৩০ তম পদটি ৩৯২.

প্রশ্ন: ১ থেকে ২৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
 
সমাধান:
১ থেকে ২৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫

∴ ১ থেকে ২৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক = ১৫

প্রশ্ন: ৬% বার্ষিক সুদে, কত টাকার উপর ২ বছরে সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য ১.৪৪ টাকা হবে?

সমাধান:
মনেকরি,
আসল ১০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬% = ৬/১০০ = ০.০৬
সময়, n = ২ বছর

∴ সরল সুদ, I = Prn = ১০০ × (৬/১০০) × ২ = ১২ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = P(1 + r) - P = ১০০(১ + ০.০৬)^২ - ১০০ = ১১২.৩৬ - ১০০ = ১২.৩৬

∴ পার্থক্য = ১২.৩৬ - ১২ = ০.৩৬ টাকা

∴ পার্থক্য ০.৩৬ টাকা হলে আসল = ১০০ টাকা
∴ পার্থক্য ১ টাকা হলে আসল = ১০০/০.৩৬
∴ পার্থক্য ১.৪৪ টাকা হলে আসল = (১০০ × ১.৪৪)/০.৩৬
= (১০০ × ৪) = ৪০০ টাকা

প্রশ্ন: ২০২৫ সালের ফেব্রুয়ারী মাসের দৈনিক বৃষ্টিপাতের গড় ০.৬৫ সে.মি । ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
২০২৫ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে মোট দিন = ২৮ দিন (কারণ ২০২৫ সাল লিপ ইয়ার নয়)

দেওয়া আছে,
দৈনিক গড় বৃষ্টিপাত = ০.৬৫ সেন্টিমিটার
মোট দিন = ২৮ দিন

∴ মোট বৃষ্টিপাত = গড় দৈনিক বৃষ্টিপাত × দিনের সংখ্যা
= ০.৬৫ × ২৮ = ১৮.২০ সে.মি.

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। একক স্থানীয় অঙ্ক ৩ হলে, মূল সংখ্যার সাথে স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = ৩
তাহলে, সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = ৬
∴ সংখ্যাটি = ১০ × ৬ + ৩ = ৬৩

∴ সংখ্যাটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে = ১০ × ৩ + ৬ = ৩৬

∴ পার্থক্য = ৬৩ - ৩৬ = ২৭

প্রশ্ন: কোনো একটি জিনিস নির্মাতা ২৫% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ জিনিসের নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
২৫% লাভে,
নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = ২০০ + ২০০ এর ২৫%
= ২০০ + ২০০ এর ২৫/১০০
= ২০০ + ৫০ টাকা
= ২৫০ টাকা

আবার,
২০% লাভে,
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য (২৫০ + ২৫০ এর ২০%)
= ২৫০ + ২৫০ এর ২০/১০০
= ২৫০ + ৫০
= ৩০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান। বস্তুটির আয়তন ৭২৯ ঘন সে.মি. হলে তার দুইটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনবস্তুর আয়তন = a^৩

প্রশ্নমতে,
⇒ a^৩ = ৭২৯
⇒ a^৩ = ৯^৩
∴ a = ৯

∴ দুইটি তলের ক্ষেত্রফল = ২ × a^২ = ২ × ৯^২ = ১৬২ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: |3x + 2| < 7 অসমতাটি সমাধান কত?

সমাধান:
। 3x + 2।<7
বা, - 7 <3x + 2 < 7
বা, - 7 - 2 <3x + 2 - 2<7 - 2
বা, - 9< 3x < 5
বা, - 3 < x < 5/3
∴ নির্ণেয় সমাধান - 3 < x< 5/3

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত হলে লাভের পরিমাণ ২০% হবে?

সমাধান:
২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ হলে বিক্রয়মূল্য ১২০

অতএব ২০ লাভে ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত = ১০০ : ১২০
= ৫ : ৬ (২০ দ্বারা ভাগ করে)

প্রশ্ন: ১১ জন লোকের গড় ওজন ৭০ কেজি। ৯০ কেজি ওজনের একজন লোক চলে গেলে বাকি লোকদের গড় ওজন কত হবে?
 
সমাধান:
দেওয়াআছে,
১১ জন লোকের গড় ওজন = ৭০ কেজি

∴ ১১ জন লোকের মোট ওজন = (১১ × ৭০) = ৭৭০ কেজি

আবার,
৯০ কেজি ওজনের একজন চলে গেলে বাকি থাকে =  (১১ - ১) = ১০ জন
∴ ১০ জনের মোট ওজন = (৭৭০ - ৯০) = ৬৮০ কেজি
তাহলে, একজনের ওজন = (৬৮০/১০) = ৬৮ কেজি  

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির ওজনের অনুপাত ৫ ∶ ৩ এবং মিশ্রণের মোট ওজন ৩২ লিটার। কত লিটার দুধ মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ ∶ ৩ হবে?

সমাধান:
মিশ্রণের মোট ওজন = ৩২ লিটার
দুধ ও পানির অনুপাত = ৫ ∶ ৩

সুতরাং, দুধের পরিমাণ = ৩২ এর (৫/৮) = ২০ লিটার
এবং পানির পরিমাণ = ৩২ এর (৩/৮) = ১২ লিটার

ধরি, ক লিটার দুধ মিশাতে হবে।
নতুন দুধের পরিমাণ =  ২০ + ক 

প্রশ্নমতে,
⇒ (২০ + ক ) ∶ ১২ = ৭ ∶ ৩
⇒ (২০ + ক )/১২ = ৭/৩
⇒ ৬০ + ৩ক = ৮৪
⇒ ৩ক = ৮৪ - ৬০
⇒ ৩ক = ২৪
∴ ক = ৮

∴ ৮ লিটার দুধ মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ ∶ ৩ হবে।

প্রশ্ন: রহমান তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্টের ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ২২০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
মোট সম্পত্তি = ১ অংশ

অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৩/৭)
= (৭ - ৩)/৭
= ৪/৭ অংশ

এখন,
৪/৭ এর ৫/১২ অংশ = ৫/২১ অংশ

প্রশ্নমতে,
⇒ (৪/৭) - (৫/২১) অংশ = ২২০০
⇒ (১২ - ৫)/২১ বা, ৭/২১অংশ = ২২০০
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (২১ × ২২০০)/৭= ৬৬০০

∴ তার মোট সম্পত্তির মূল্য ৬৬০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার এবং ভূমি 12 মিটার। সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?


সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গমিটার
ভূমি, b =  ১২ মিটার
এবং সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য, a = ?

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2)
⇒ (b/4) × √(4a² - b²) = 48
⇒ (12/4) × √{4a² - (12)²} = 48
⇒ √{4a² - 144} = 48/3 = 16
⇒ 4a² - 144 = 256
⇒ 4a² = 400
⇒ a² = 100 = 10²
∴ a = 10

সুতরাং, সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 10 মিটার।

প্রশ্ন: একজন ঘড়ি বিক্রেতা ৮০০ টাকা দিয়ে একটি ঘড়ি ক্রয় করেছেন ঘড়িটি কত টাকায় বিক্রয় করলে তার (২৫/২)% লাভ হবে?

সমাধান:
(২৫/২)% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + (২৫/২) টাকা = ২২৫/২ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ২২৫/২ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ২২৫/(২ × ১০০) টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (২২৫ × ৮০০)/(২ × ১০০) টাকা
= ৯০০ টাকা

প্রশ্ন: 12 - 8x ≥ 28 হলে-

সমাধান:
12 - 8x ≥ 28
⇒ 12 - (8x) - 12 ≥ 28 - 12 [উভয় পক্ষ থেকে 12 বিয়োগ করে]
⇒ - 8x ≥ 16
⇒ - 8x/(- 8) ≤ 16/(- 8) [উভয় পক্ষকে - 8 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x ≤ - 2

প্রশ্ন: ময়মনসিংহ শহরে মে মাসে 15 দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে 25 মে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?
 
সমাধান:
বৃষ্টি হওয়ার দিনের সংখ্যা = ১৫ দিন
মে মাসের মোট দিন সংখ্যা = ৩১ দিন

সুতরাং, ২৫শে মে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = মে মাসে বৃষ্টি হওয়ার দিনের সংখ্যা/মে মাসের মোট দিন সংখ্যা
= ১৫/৩১

অতএব, ২৫শে মে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ১৫/৩১

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ০.০০৩২ হেক্টর হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
০.০০৩২ হেক্টর = ৩২ বর্গমিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল a² বর্গমিটার

এখানে,
a² = ৩২ বর্গমিটার

কর্ণ = √(a² + a²)
= √(৩২ + ৩২)
= √৬৪
= ৮ মিটার

সুতরাং, বর্গাকার মাঠের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার।

প্রশ্ন: log_√8x = 14/3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_√8x = 14/3
⇒ x = √8^(14/3)         [log_ax = p হলে,  x = a^p]
⇒ x = 8^(1/2).(14/3)
⇒ x = 8^(7/3)
⇒ x = (2³)^(7/3)
⇒ x = 2⁷
⇒ x = 128

প্রশ্ন: 2x³ + 5x² - 6x + 4 থেকে কত বিয়োগ করলে উক্ত রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = 2x³ + 5x² - 6x + 4

∴ f(2) = 2(2)³ +5(2)² - 6(2) + 4 [x = 2]
= 16 + 20 - 12 + 4
= 28

অর্থাৎ ভাগশেষ 28,
∴  28 বিয়োগ করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 16 এবং সপ্তম পদ 1/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সাধারন অনুপাত = r
প্রথম পদ, a = 16

৭ম পদ = 1/4
⇒ ar^{7 - 1} = 1/4
⇒ 16 × r⁶ = 1/4
⇒ r⁶ = 1/64
⇒ r⁶ = (1/2)⁶
∴ r = 1/2

প্রশ্ন: ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত নিলে সেই সংখ্যাটি মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা = ২৬টি
∴ মৌলিক সংখ্যা = ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ = ৮টি
এবং ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত ৫ এর গুণিতক = ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০ = ৬টি

∴ ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক সংখ্যার তালিকা- ৫, ৭, ১০, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯, ২০, ২৩, ২৫, ২৯, ৩০
মোট = ১৩টি

∴ সংখ্যাটি মৌলিক বা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/২৬
                                                              = ১/২

∴ সংখ্যাটি মৌলিক বা ৫ এর গুণিতক না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/২) = ১/২

প্রশ্ন: 2log₁₀5 + log₁₀36 - log₁₀9 =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2log₁₀5 + log₁₀36 - log₁₀9
= log₁₀5² + log₁₀36 - log₁₀9 
= log₁₀25 + log₁₀36 - log₁₀9
= log₁₀(25 × 36) - log₁₀9   ;[log_b​x + log_b​y = log_b​(xy)]
=log₁₀900  - log₁₀9            ;[log_b​x - log_b​y = log_b​(x/y​)]
= log₁₀(900/9)
= log₁₀100
= log₁₀10²
= 2log₁₀10
= 2

প্রশ্ন: 'MUGDHO' শব্দটির অক্ষর দিয়ে এমন কয়টি 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করা যাবে, যেগুলোর শুরুতে অবশ্যই 'M' থাকবে?

সমাধান:
'MUGDHO' শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 6 টি
অক্ষরগুলো- M, U, G, D, H, O সব অক্ষর ভিন্ন।
প্রতিটি শব্দ 3 অক্ষরের এবং প্রথম অক্ষর M স্থির।
বাকি 2টি অক্ষর বেছে নিতে হবে অবশিষ্ট 5টি অক্ষর থেকে।

∴ 5 টি অক্ষর থেকে 2টি বেছে নেওয়া উপায় = ⁵C₂​ = 5!/2!(5 - 2)!
= (5 × 4 ×3!)/(2 × 3!) = 10

এবং প্রত্যেক জোড়ার বিন্যাস করা যায় = 2! = 2 

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 10 × 2 = 20​

অথবা
প্রথম অক্ষর M ধরে নিলে 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করার জন্য আরও 2টি অক্ষর বেছে নিতে হবে।

বাকি অক্ষর = 5টি (U, G, D, H, O)

5 টি অক্ষর থেকে 2টি বেছে নেওয়া উপায় = ⁵P₂= 5 × 4 = 20

সুতরাং, প্রথমে M স্থির রেখে মোট 20টি ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে।

প্রশ্ন: {x ∈ N; x² > 15 এবং x³ < 36} সেটটির তালিকা রূপ কোনটি?

সমাধান:
প্রথম শর্ত:
x² > 15
x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (N = {1, 2, 3, ...})
x² > 15 ⇒ x > √15 ≈ 3.872
অর্থাৎ, x ≥ 4 (যেহেতু x ∈ N)

আবার,
দ্বিতীয় শর্ত:
x³ < 36
x³ < 36 ⇒ x < ∛36 ≈ 3.301
অর্থাৎ, x ≤ 3 (যেহেতু x ∈ N)

উভয় শর্ত হতে পাই,
x ≥ 4 এবং x ≤ 3
এমন কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা x নেই যা একই সাথে 4-এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 3-এর চেয়ে ছোট বা সমান হতে পারে।
কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা x উপরের উভয় শর্ত পূরণ করে না।
সুতরাং, সেটটি ফাঁকা

প্রশ্ন: একটি বেলনের ব্যাসার্ধ ৫ মিটার এবং বক্রতল ক্ষেত্রফল ২২০ বর্গমিটার হলে, উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = ২πrh বর্গ একক ও


প্রশ্নমতে,
২πrh = ২২০
⇒ ২ × ৫ × (২২/৭) × h = ২২০
⇒ h = (২২০ × ৭)/(১০ × ২২)
∴ h = ৭ মিটার

∴ বেলনের উচ্চতা ৭ মিটার।

প্রশ্ন: যদি A = (81)^x - 1 এবং B = 9^x - 1 হলে, A/B -এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = (81)^x - 1 এবং B = 9x - 1

এখন,
A/B = (81)^x - 1/9^x - 1
= (9²)^x - 1/9^x - 1
= (9^x)² - 1²/9^x - 1
= (9^x + 1)(9^x - 1)/(9^x - 1)
= 9^x + 1

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৩ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ২। ৭ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত কত ছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তাদের বয়সের সমষ্টি = ৬৩ বছর
পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = ৭ : ২

∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৭ + ২ = ৯

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৬৩ এর (৭/৯) = ৪৯ বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ৬৩ এর (২/৯) = ১৪ বছর

এখন,
৭ বছর পূর্বে,
পিতার বয়স = ৪৯ - ৭ = ৪২ বছর
পুত্রের বয়স = ১৪ - ৭ = ৭ বছর

∴ ৭ বছর পূর্বে বয়সের অনুপাত = ৪২ : ৭ = ৬ : ১

প্রশ্ন: 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'APPLE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
APPLE শব্দে 5টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 2টি P আছে।
∴ 'APPLE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= 120/2
= 60 উপায়ে

আবার,
COPPER শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 2টি P আছে।
∴ 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= 720/2
= 360

∴ COPPER এর বিন্যাস সংখ্যা, APPLE এর বিন্যাস সংখ্যার = 360/60 = 6 গুণ

প্রশ্ন:  a^a√a = (a√a)^a হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ a^a√a = (a√a)^a
⇒ a^a√a = (a¹ . a^1/2)^a
⇒ a^a√a = (a^3/2)^a
⇒ a√a = 3a/2
⇒ √a = 3/2
⇒ (√a)² = (3/2)²
∴ a = 9/4

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর = ১২ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = (৩ × বাহুর দৈর্ঘ্য) একক।
= (৩ × ১২) মিটার
= ৩৬ মিটার

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর = a একক

প্রশ্নমতে,
৪a = ৩৬
∴ a = ৯

∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৯ মিটার।

প্রশ্ন: ১ + ৪ + ৯ + ১৬ + ............ + ১৪৪ ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ + ৪ + ৯ + ১৬+............+১৪৪
= ১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ +......+১২^২
= {১২(১২ + ১)(২× ১২ + ১)}/৬
= (১২ × ১৩ × ২৫)/৬
= ২৬ × ২৫
= ৬৫০

প্রশ্ন: R = {x : x = 4y + 1, যেখানে 1 ≤ y < 5 এবং y ∈ N} হলে R এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
R = {x : x = 4y + 1, যেখানে 1 ≤ y < 5 এবং y ∈ N}
এখন,
y = 1 হলে, x = 5
y = 2 হলে, x = 9
y = 3 হলে, x = 13
y = 4 হলে, x = 17

∴ R = {5, 9, 13, 17}
∴ R এর উপাদান সংখ্যা = 4

প্রশ্ন: q টাকার q% সরল সুদে 5 বছরের সুদ q টাকা হলে, q =?

সমাধান:
আমরা জানি,
⇒ I = Pnr
⇒ q = q × 5 × (q/100)
⇒ q = q²/20
∴ q = 20

প্রশ্ন: একজন খুচরা বিক্রেতা পাইকারী বিক্রেতা থেকে ১৫০ টাকায় একটি জিনিস কিনেন। এর সাথে ১/৩ মূল্য যোগ করে জিনিসটির মোট মূল্য নির্ধারণ করেন এবং পরে ২৫% ডিসকাউন্টে জিনিসটি বিক্রি করেন। তিনি মোট কত লাভ করেন?

সমাধান:
খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা

তিনি জিনিসটির মোট মূল্য নির্ধারণ করেন = (১৫০ + ১৫০ এর ১/৩) টাকা
= (১৫০ + ৫০)
= ২০০ টাকা

আবার,                   
২৫% ডিসকাউন্ডে জিনিসটির বিক্রয়মূল্য = (২০০ - ২০০ এর ২৫/১০০) = ২০০ - ৫০ = ১৫০ টাকা

অতএব, তিনি লাভ করেন (১৫০ - ১৫০) = ০ টাকা

প্রশ্ন: 50 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপর কর্ণটির চারগুণ হলে ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য, d₁ = x মিটার
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য, d₂ = 4x মিটার

আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d₁ এবং d₂ হলে, এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × d₁ × d₂

প্রশ্নমতে,
(1/2) × x × 4x = 50
⇒ 2x² = 50
⇒ x² = 25 = 5²
∴ x = 5

∴  ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার

প্রশ্ন: x² + 5x, x² - 16, x² + 8x + 15 এর গ. সা. গু. কত?
 
সমাধান:
১ম রাশি = x² + 5x = x( x + 5)

২য় রাশি = x² - 16
= x² - 4²  
= (x + 4)(x - 4) 

৩য় রাশি = x² + 8x + 15
= x² + 5x + 3x + 15
= x(x + 5) + 3(x + 5)
= (x + 5)(x + 3) 

নির্ণেয় গ. সা. গু = 1

প্রশ্ন: 1 + 6x - 7x² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
= 1 + 6x - 7x2
= 1 - x + 7x - 7x2
= 1(1 - x) + 7x(1 - x)
= (1 - x)(1 + 7x)

প্রশ্ন: যদি ⁷P_r = 210 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 7P_r = 210
⇒ 7!/(7 - r)! = 210
⇒ (7 - r)! = 7!/210
⇒ (7 - r)! = 5040/210 = 24
⇒ (7 - r)! = 4!
⇒ 7 - r = 4
⇒ r = 7 - 4
∴ r = 3

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. যথাক্রমে ৬০ ও ৫। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৪/৩ অংশ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যা = ক
∴ বড় = ৪ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
ক × (৪ক/৩) = ৬০ × ৫ = ৩০০
ক^২ = ২২৫ = ১৫^২
ক = ১৫

∴ ছোট সংখ্যাটি = ১৫
∴ বড় সংখ্যাটি = (৪ × ১৫)/৩ = ২০

প্রশ্ন: যদি tanθ = 1 হয়, তবে sinθ - cosθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

এখন,
sinθ - cosθ
= sin45° - cos 45°
= (1/√2) - (1/√2)
= (1 - 1)/√2
= 0/√2
= 0