৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: Ιx - 2Ι ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
Ιx - 2Ι ≤ 5
বা, - 5 ≤ x - 2 ≤ 5 
বা, - 5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2 
বা, - 3 ≤ x ≤ 7 
∴ x -এর সর্বনিম্ন মান = - 3

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে? 

সমাধান: 
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যুনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

প্রশ্ন: x + y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে? 

সমাধান: 
x + y = 0 ---------(¡) 
2x - y + 3 = 0 --------(¡¡) 
_____________________
(+) করে, 3x + 3 = 0 
বা, 3x = - 3 
বা, x = -3/3 
∴ x = - 1 
y এর মান (¡) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
(- 1) + y = 0 
বা, -1 + y = 0 
∴ y = 1 

∴ (x, y) = (- 1, 1)

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার 
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার 

শর্তমতে, 
২(x + ১২ + x) = ১৩৬ 
বা, ২x + ১২ = ৬৮ 
বা, ২x = ৬৮ - ১২ 
বা, ২x = ৫৬ 
বা, x = ৫৬/২ 
∴ x = ২৮ 
অর্থাৎ প্রস্থ = ২৮ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = (২৮ + ১২) মিটার
= ৪০ মিটার

প্রশ্ন: যদি x + 1 > 1 - 2x হয়, তবে সমীকরণটির সমাধান হবে - 

সমাধান:
x + 1 > 1 - 2x 
বা, x + 2x > 1 - 1 
বা, 3x > 0 
∴ x > 0

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে- 

সমাধান: 
ধরি, 
বড় কোণ = x 
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x 

শর্তমতে, 
x + x = 180° 
বা, 2x = 180° 
বা, x = 180°/2 
∴ x = 90° 
অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: 2x = 3y + 5 হলে 4x - 6y = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x = 3y + 5 
বা, 2x - 3y = 5 
বা, 4x - 6y = 10 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে] 

∴ 4x - 6y = 10 

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশ দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব? 

সমাধান:
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, 
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। 
অর্থাৎ 
3² + 4² = 5² 
বা, 9 + 16 = 25 

প্রশ্ন: x² - 4 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 4 ≤ 0 
বা, x² ≤ 4 
বা, x ≤ ± 2 
∴ - 2 ≤ x ≤ 2 

x এর মান বর্গমূল করলে + 2 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং - 2 থেকে বড় বা সমান। 

প্রশ্ন: যদি x² + px + 6 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় তবে p এর মান কত? 

সমাধান: 
কোনো সমীকরণের নিশ্চায়ক b² - 4ac = 0 হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হয়।

প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয়ের মান সমান হবে যদি - 
p² - 4.1.6 = 0 
বা, p² - 24 = 0 
বা, p² = 24 
বা, p = √24 

∴ p = √24

প্রশ্ন: 2y = 2x - 4 এবং 4x - 5y = 3 হলে x ও y এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 2y = 2x - 4 
বা, 2y = 2 (x - 2) 
বা, y = 2 (x - 2)/2 
∴ y = x - 2 ---------(¡) 

আবার, 
4x - 5y = 3 
বা, 4x - 5(x - 2) = 3 [y এর মান বসিয়ে] 
বা, 4x - 5x + 10 = 3 
বা, -x = 3 - 10 
বা, -x = -7 
∴ x = 7 
x এর মান (¡) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
y = 7 - 2 
∴ y = 5 

∴ x = 7 
 y = 5 

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে - 

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ 
= (√৩/৪) × (১২)^২ 
= (√৩/৪) × ১২ × ১২ 
= ৩৬√৩ বর্গমিটার 

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৩৬√৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: যদি (1/5)(2x + 3) ≥ 3 হয় তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? 

সমাধান: 
(1/5) (2x + 3) ≥ 3 
বা, 2x + 3 ≥ 15 
বা, 2x ≥ 15 - 3 
বা, 2x ≥ 12 
বা, x ≥ 12/2 
∴ x ≥ 6

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল 1200 বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার 
∴ দৈর্ঘ্য = 3x মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = 3x² বর্গমিটার 

প্রশ্নমতে, 
3x² = 1200
বা, x² = 1200/3 
বা, x² = 400 
বা, x = (√400) 
∴ x = 20 
অর্থাৎ প্রস্থ 20 মিটার 
∴ দৈর্ঘ্য = (3 × 20) মিটার 
= 60 মিটার 

দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 
= 2 (60 + 20) মিটার
= 160 মিটার 

∴ বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 160/4 মিটার 
= 40 মিটার 

প্রশ্ন: xyz = 240 হলে নিম্নের কোনটি y এর মান হতে পারে না? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 xyz = 240 
এখানে, 
y এর মান শূন্য (0) হতে পারে না, 
কারণ 0 হলে সেক্ষেত্রে সমীকরণের গুণফল হবে 0।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° 
বা,  x/3 + x/3 + 4x/3 = 180° 
বা, (x + x + 4x)/3 = 180° 
বা, 6x/3 = 180° 
বা, 2x = 180° 
∴ x = 90° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/3 
= {(4 × 90)/3}° 
= 120° 

প্রশ্ন: 4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
4(2x + 1) = 4(x - 2) 
বা, 8x + 4 = 4x - 8 
বা, 8x - 4x = - 8 - 4 
বা, 4x = -12 
বা, x = -12/4 
∴ x = - 3 

প্রশ্ন: Ιx + 2Ι = Ιx - 1Ι হলে x -এর মান কত? 

সমাধান:
Ιx + 2Ι = Ιx - 1Ι 
বা,  Ιx + 2Ι² = Ιx - 1Ι²    [ΙaΙ² = a²]
বা, (x + 2)² = (x - 1)² 
বা, x² + 4x + 4 = x² - 2x + 1 
বা, 6x = - 3 
বা, x = - 3/6 
∴ x = -1/2

প্রশ্ন: a = 2c, a/b = c/d এবং d = 3 হলে b = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 a/b = c/d 
বা, 2c/b = c/3 [a = 2c এবং d = 3 বসিয়ে] 
বা, bc = 6c 
বা, b = 6c/c 
∴ b = 6