শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
sin120°
= sin(2.60°)
= 2sin60°cos60°    [সূত্রমতে, sin2A = 2SinA.CosA]

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ a হয়, তবে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রস্থ = a
∴ দৈর্ঘ্য = 2a

∴ কর্ণ = √{a² + (2a)²}
= √{a² + 4a²}
= √5a²
= a√5

প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, ‍cotθ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
sinθ = 4/5
⇒ (sinθ)² = (4/5)²
⇒ sin²θ = 16/25
⇒ 1 - cos²θ = 16/25
⇒ 1 - (16/25) = cos²θ
⇒ (25 - 16)/25 = cos²θ
⇒ 9/25 = cos²θ
⇒ (3/5)² = cos²θ
∴ cosθ = 3/5

আমরা জানি,
cotθ = cosθ/sinθ
= (3/5)/(4/5)
= (3/5) × (5/4)
= 3/4

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৫ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ১১২ মিটার হলে ঘরটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান: 
ধরি,
ঘরটির দৈর্ঘ্য ক মিটার
∴ প্রস্থ = ক × (২/৫) = ২ক/৫ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(ক + ২ক/৫) = ২ (৭ক/৫) = ১৪ক/৫ মিটার

শর্তমতে,
১৪ক/৫ = ১১২
বা, ১৪ক = ১১২ × ৫
বা, ১৪ক = ৫৬০
বা, ক = ৫৬০/১৪
∴ ক = ৪০ মিটার

ঘরটির প্রস্থ = (২ × ৪০)/৫ মিটার = ১৬ মিটার

প্রশ্ন: sin60° . cos30° + cos60° . sin30° = কত?

সমাধান:
sin60° . cos30° + cos60° . sin30°
= (√3/2 . √3/2) + (1/2 . 1/2)
= 3/4 + 1/4
= (3 + 1)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সে. মি. ও ক্ষেত্রফল 44 বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

সমাধান: 
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে. মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 44 = 1/2 × a × 8
বা, 44 = 4a
∴ a = 11

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 11 সে. মি.

প্রশ্ন: যদি A = 45° হয় তবে = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 45°

এখন,
(1 - tan²A)/(1 + tan²A)
= {1 - (tan45°)²}/{1 + (tan45°)²}
= (1 - 1²)/(1 + 1²)
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 50 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (60/4) × √(4 × 50² - 60²)
= (15) × √(10000 - 3600)
= (15) × √6400
= 15  × 80
= 1200 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = 1200/2 = 600 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?

সমাধান:
sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ = sin(5π/6) [এখানে n = 5]

এখন,
sin (5π/6)
= sin {(5 × 180°)/6}
= sin 150°
= sin (180° - 30°)
= sin30°
∴ sin (5π/6) = 1/2

প্রশ্ন: যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
1+ sinθ = m cos θ
বা, (1 + sinθ)/cosθ = m
বা, (1/cosθ) + (sinθ/cosθ) = m
বা,  secθ + tanθ = m ...............(i)

আমরা জানি 
(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1  
বা, m(secθ - tanθ) = 1
বা, secθ - tanθ = 1/m .................(ii)

(i) - (ii) ⇒
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = m - 1/m
বা, secθ + tanθ - secθ + tanθ = (m² - 1)/m
বা, 2tanθ = (m² - 1)/m
বা, tanθ = (m² - 1)/2m
বা, 1/cotθ = 1/{(m² - 1)/2m}
∴ cotθ = 2m/(m² - 1)

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 96 সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4 : 5 : 7 হলে, সবচেয়ে বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4x সে.মি.; 5x সে.মি. এবং 7x সে.মি.

শর্তমতে,
4x + 5x + 7x = 96
বা, 16x = 96
∴ x = 6
সবচেয়ে বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = (7 × 6) সে.মি.
= 42 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১২২৫ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ১.৫০ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১২২৫ বর্গ .মি. 
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১২২৫ মি. 
= ৩৫ মি.

বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (৩৫ × ৪) মি. 
= ১৪০ মি.

১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ১.৫ টাকা
১৪০ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (১৪০ × ১.৫) টাকা
= ২১০ টাকা

প্রশ্ন: tanA + sinA = m এবং tanA - sinA = n তাহলে (m² - n²)/4 = ?

সমাধান:
(m² - n²)/4
= {(tanA + sinA)² - (tanA - sinA)²}/4
= (4tanA . sinA)/4    [(a + b)² - (a - b)² = 4ab]
= √(tan²A . sin²A)
= √{tan²A (1- cos²A)}
= √(tan²A - tan²A . cos²A)
= √(tan²A - (sin²A/cos²A) . cos²A)
= √(tan²A - sin²A)
= √{(tanA + sinA)(tanA - sinA)}
= √mn

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 12° হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ x
অপর কোণ x + 12°

∴ শর্তানুসারে,
x + x + 12° + 90° = 180°
বা, 2x = 180° - 102°
বা, x = 78°/2
∴ x = 39°

∴ বৃহত্তম কোণ = (39 + 12)° = 51°

প্রশ্ন: = ? 

সমাধান:
এখন,
tanA√(1 - sin²A)
= tanA√(cos²A)
= (sinA/cosA) × cosA
=  sinA 

∴ 1/{tanA√(1 - sin²A)} = 1/sinA
= cosecA

প্রশ্ন:  
চিত্র হতে cosA + secA = ?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে,
ΔABC সমকোণী ত্রিভুজ হতে,
অতিভূজ AC = 2 এবং ভূমি, BC = √3

আমরা জানি,
(লম্ব)² = (অতিভূজ)² - (ভূমি)²
বা, AB² = (2)² - (√3)²
বা, AB² = 4 - 3
∴ AB = 1

cosA = AB/AC = 1/2
secA = AC/AB = 2/1 = 2
∴ cosA + secA = 1/2 + 2 = 5/2

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
৩ মিটার রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (x + ৩ + ৩) = (x + ৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
(x + ৬)^২ = ২৫৬
⇒ (x + ৬)^২ = (১৬)^২
⇒ x + ৬ = ১৬
⇒ x = ১৬ - ৬
∴ x = ১০ 

রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৫৬ - ১০০) বর্গমিটার
= ১৫৬ বর্গমিটার।