IBA ফ্যাকাল্টি ভিত্তিক প্রস্তুতি

Question: A pair of trains set off at the same moment from opposite ends: one from Rajshahi to Dhaka and the other from Dhaka to Rajshahi. After passing each other, one takes 9 hours and the other 16 hours to complete their trips. Find the speed ratio of the two trains.
(একটি ট্রেন রাজশাহী থেকে ঢাকার দিকে এবং আরেকটি ঢাকা থেকে রাজশাহীর দিকে একই সময়ে যাত্রা শুরু করে। তারা যখন মিলিত হয়, তখন দেখা যায় একটির গন্তব্যে পৌঁছাতে ৯ ঘণ্টা এবং অন্যটির ১৬ ঘণ্টা লাগে। এই অনুযায়ী, তাদের গতি অনুপাতে কত?)

Solution: 
দুটি ট্রেন একই সময়ে যাত্রা শুরু করেছে - একটি রাজশাহী থেকে ঢাকা, অন্যটি ঢাকা থেকে রাজশাহী।

পথে এক সময় তারা একে অপরকে অতিক্রম করেছে।
সেই অতিক্রম করার পর, এক ট্রেন ৯ ঘণ্টা, অন্যটি ১৬ ঘণ্টা সময় নিয়ে নিজ নিজ গন্তব্যে পৌঁছেছে।

ধরা যাক:
ট্রেন A যাচ্ছে রাজশাহী থেকে ঢাকা (গতিবেগ = v₁)
ট্রেন B যাচ্ছে ঢাকা থেকে রাজশাহী (গতিবেগ = v₂)

তারা যখন মাঝ পথে দেখা করে (ধরা যাক M পয়েন্টে), তখন তারা একই সময় নিয়ে সেই পয়েন্টে পৌঁছায় (যেহেতু একসাথে শুরু করেছে)।

মিলনের পর:

ট্রেন A বাকি পথ যেতে ৯ ঘণ্টা নেয়, দূরত্ব = 9 × v₁
ট্রেন B বাকি পথ যেতে ১৬ ঘণ্টা নেয়, দূরত্ব = 16 × v₂
এই দূরত্ব দুটি সমান নয়, কিন্তু এদের অনুপাতই বলে দেবে গতির অনুপাত।

দুটি ট্রেন একসাথে শুরু করে এক পয়েন্টে দেখা করলে, যে ট্রেনটি অতিক্রমের পরে কম সময় নেয়, তার গতি বেশি।

গতির অনুপাত নির্ণয়ের সূত্র:
গতির অনুপাত = √(দ্বিতীয় ট্রেনের সময় / প্রথম ট্রেনের সময়)
অর্থাৎ:
v1/v2 = √(16/9) = 4/3

দুটি ট্রেনের গতির অনুপাত = ৪ : ৩

Question: Pipes A and B take 36 seconds and 45 seconds, respectively, to fill the tank when used separately. Pipe C, which can empty the tank in 30 seconds, starts operating after 7 seconds of A and B being open. How much additional time will be needed to fill the tank completely?
(পাইপ A এবং B আলাদাভাবে ৩৬ সেকেন্ড এবং ৪৫ সেকেন্ডে ট্যাংকটি পূর্ণ করতে পারে। পাইপ C, যা ৩০ সেকেন্ডে ট্যাংকটি খালি করে, A এবং B খোলা থাকা অবস্থায় ৭ সেকেন্ড পরে কাজ শুরু করে। ট্যাংকটি সম্পূর্ণ পূর্ণ করতে কত অতিরিক্ত সময় প্রয়োজন?)

Solution:
এখানে, ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা (ল.সা.গু) LCM (36, 45, 30) = 180 units
∴ অতএব, পাইপ A এর দক্ষতা = 180/36 = 5 units/second
পাইপ B এর দক্ষতা = 180/45 = 4 units/second
পাইপ C এর দক্ষতা = - 180 / 30 = - 6 units/second

এখন,
প্রথম ৭ সেকেন্ডে, A এবং B খুলে রাখা হয়েছিল।
A এবং B এর যৌথ দক্ষতা = 5 + 4 = 9 units/second 
অতএব, ৭ সেকেন্ডে ট্যাঙ্কের যে অংশটি পূর্ণ হয়েছে তা হচ্ছে = 7 × 9 = 63 units

ট্যাঙ্কের খালি অংশ = 180 - 63 = 117 units

এখন, সব পাইপ খুলে দেওয়া হয়েছে।
সব পাইপের যৌথ দক্ষতা = 5 + 4 - 6 = 3 units/second
অতএব, আরও সময় প্রয়োজন = 117/3 = 39 seconds.