Math Master

এটি একটি সমান্তর ধারা
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
সাধারন অন্তর r= - 4 - 3 = - 7
                       n = 10

 10 তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a+(n - 1)d}
                                = (10/2){2.3+(10 -1)(-7)}
                                = 5 (6 - 63) 
                                = 5 (- 57)
                                = - 285

ধরি 
 সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
        সাধারণ অন্তর d 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d 

এখানে, ১০ তম পদ ৫২ 
সুতরাং a + (১০ - ১)×৫= ৫২
        বা, a + ৪৫ = ৫২
             a = ৭

সুতরাং, ৩০ তম পদ = ৭ + (৩০-১)× ৫
                               = ৭ + ১৪৫
                               = ১৫২

এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর d = 11 - 8 = 3 

ধরি,
ধারাটির n তম পদ 392

n তম পদ = a + (n-1)d
392 = 8 + (n - 1)3
392 = 8 + 3n - 3
3n + 5 = 392
3n = 392 - 5
3n = 387
n = 387/3
n = 129

একটি অনুক্রমের সাধারণ পদ : n/(2n + 1) 

n = 1 হলে, ১ম পদ = 1/(2 × 1 + 1) = 1/3
n = 2 হলে, ২য় পদ = 2/(2 × 2 + 1) = 2/5
n = 3 হলে, ৩য় পদ = 3/(2 × 3 + 1) = 3/7
n = 4 হলে, ৪র্থ পদ = 4/(2 × 4 + 1) = 4/9
...................................................................................
...................................................................................
সুতরাং অনুক্রমটি : 1/3, 2/5, 3/7, 4/9,...............

১ম পদ = 1.2¹⁺¹ = 1.2² = 4
২য় পদ = 2.2²⁺¹ = 2.2³ = 16
৩য় পদ = 3.2³⁺¹ = 3.2⁴ = 48
৪র্থ পদ = 4.2⁴⁺¹ = 4.2⁵ = 128

চারটি পদের সমষ্টি = 4 + 16 + 48 + 128 = 196

কোনো ধারার n তম পদ 2n - 6 হলে,
ধারাটির ১ম পদ = 2 × 1 - 6 = 2 - 6 = - 4
ধারাটির ২য় পদ = 2 × 2 - 6= 4 - 6 = - 2
ধারাটির ৩য় পদ = 2 × 3 - 6 = 6 - 6= 0
ধারাটির ৪র্থ পদ = 2 × 4 - 6 = 8 - 6 = 2
ধারাটির ৫ম পদ = 2 × 5 - 6 = 10 - 6 = 4
........................................................................
ধারাটিঃ - 4, -2, 0, 2, 4,.........................

এখানে
১ম পদ a = 64,
সাধারণ অনুপাত r = 32/64 = 1/2 

সুতরাং ধারাটির অষ্টম পদ = ar^8-1
                                        = 64 × (1/2)⁷
                                         = (64 × 1)/128
                                        = 1/2

ধরি
প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d
 
চতুর্থপদ = a + (4 - 1)d = a + 3d
দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d

প্রশ্নমতে,
          a + 3d + a + 11d = 20
           2a + 14d = 20

15 টি পদের যোগফল = (15/2){2a+(15-1)d}
                                 = (15/2){2a+14d}
                                 = (15×20)/2
                                 = 150

আমরা জানি, 
1² + 2² + 3² + 4² + ........... + n² = (1/6){n(n+1)(2n + 1)} 

1² + 2² + 3² + 4² + ........... + 40² = (1/6){40(40+1)(2×40 + 1)}
                                       = (40×41×81)/6
                                        = 22140

প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2
পদ সংখ্যা, n = 8
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার সমষ্টি S_n = {a(rⁿ - 1)}/(r - 1)

প্রথম আটটি পদের সমষ্টি,
S₈ = [2{(2)⁸ -1}]/(2 - 1)
    = 2 × (256 - 1)
     = 510

n তম পদ n + 2^{n - 1}
ষষ্ঠ পদ = 6 + 2^{6 - 1} = 6 + 2⁵ = 38
সপ্তম পদ = 7 + 2^{7 - 1} = 7 + 2⁶ = 71
 
ষষ্ঠ পদ ও সপ্তম পদের পার্থক্য = 71 - 38 = 33

অপশনে সঠিক উত্তর নেই, তাই বাতিল করা হয়েছে।

দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত r 

এবং গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ = 135
বা, ar^{4 - 1} = 135
বা, 5×r³ = 135
বা, r³ =135/5
বা, r³ = 27
∴ r = 3 

∴ তৃতীয় পদ = ar^{3 - 1}
                   = 5×(3)²
                   = 45

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3

n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 88 = 1 + (n-1)3
⇒ 88 = 1 + 3n - 3
⇒ 88 = 3n - 2
⇒ 3n = 90
∴ n = 30

∴ ধারাটির সমষ্টি, S = (n/2){2a+(n-1)d}
= (30/2){2×1+(30-1)×3}
= 15 × (2+87)
=15 × 89
=1335

12 + 24 + 48 + ... + 768
ধারাটির প্রথম পদ a = 12
সাধারণ অনুপাত r= 2

n-তম পদ = ar^n-1
768 = 12.2^n-1
 64 = 2^n-1
2^{n - 1} = 2⁶
n - 1 = 6 
n = 7

সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

সমান্তর ধারার15 তম পদ -20 হলে, 
a + (15 - 1)d = - 20
a + 14d = - 20

প্রথম 29 টি পদের সমষ্টি
= (29/2){2a + (29 - 1)d}
= (29/2){2a + 28d)
= (29/2) × 2(a + 14d)
= 29 × (-20)
= -580

1³ + 2³ + 3³ +...........+n³ = 225
{n(n + 1)/2}² = 225
n(n + 1)/2 = 15
n(n + 1) = 30
n² + n - 30 = 0
n² + 6n - 5n - 30 = 0
n(n+6) - 5(n+6) = 0
(n - 5)(n + 6) = 0

হয়                     অথবা
n - 5 = 0                   n + 6 = 0
n = 5                          n = - 6  [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]