প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: x - y = 3 এবং xy = 4 হলে x + y এর মান কত?
 
সমাধান : 
দেওয়া আছে, x - y = 3, xy = 3
∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy}
= √{(3)² + 4.4}
= √25
= ±5

প্রশ্ন : x² = 11 + 2√30 হলে, x এর মান কত?

দেওয়া আছে, 
বা, x² = 11 + 2√30
বা, x² = 6 + 2√30  + 5
বা, x² = (√6)² + 2.√6.√5 + (√5)²
বা, x² = (√6 + √5)²
বা, x = √6 + √5

প্রশ্ন : যদি x² + y² = 11 এবং xy = 9 হয়, তাহলে (x + y)² এর মান কত?
সমাধান : 
দেওয়া আছে,
x² + y² = 11 এবং xy = 9
আমরা জানি,
(x + y)² 

প্রশ্ন: যদি 2 + (6/x) = 5 হয়, তবে 5x + 8 = ?

সমাধান:

2√1 + 2√1
= 2.1 + 2.1
= 4
4 এর বর্গ  = (4)² = 16

প্রশ্ন: x + 4/x = 4 হলে, x + 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x + 4/x = 4
x² + 4 = 4x
x² - 4x + 4= 0
x² - 2.x. 2 + 2² = 0
(x - 2)² = 0
x - 2 = 0
x = 2

x+ 1/x = 2 + 1/2
           = (4 + 1)/2
           = 5/2 

প্রশ্ন: যদি 2x + y = 10 এবং x = 8 হয়, তবে x - y = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x = 8 

এখন 
2x + y = 10 
2 × 8 + y = 10
16 + y = 10
y = 10 - 16
y = - 6

x - y = 8 - (- 6) = 8 + 6 = 14 

প্রশ্ন : x² + y² + 7xy এর সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
সমাধান :
x² + y² + 7xy 

প্রশ্ন: a + b = 11 , a - b = 7 হলে 4ab এর মান কত?

সমাধান:
4ab = (a + b)² - (a - b)²
        = 11² - 7²
         = 121 - 49
        = 72

প্রশ্ন: যদি x/y = 3/4 হয়, তবে (x + y)/(x - y) এর মান  কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 x/y = 3/4
 (x + y)/(x - y) = (3 + 4)/(3 - 4)
                        = 7/- 1
                        = - 7

প্রশ্ন: 2x - 2/x = 6 হলে, x² + 1/x² এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে
2x - 2/x = 6
2(x - 1/x) = 6
x - 1/x = 3

x² + 1/x² = (x)² + (1/x)²
                = (x - 1/x)² + 2.x.1/x
                = 3² + 2
                = 9 + 2
                = 11

প্রশ্ন: 2x = 3y + 5 হলে, 6x - 9y = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x = 3y + 5 
2x - 3y = 5 
3(2x - 3y) = 5 × 3 
6x - 9y = 15 

প্রশ্ন: {(a² - b²)/(a² + ab + b²)} কে {(a + b)/(a³ - b³)} দ্বারা ভাগ করলে হবে- 

সমাধান: 
{(a² - b²)/(a² + ab + b²)} ÷ {(a + b)/(a³ - b³)}
{(a - b)(a + b)/(a² + ab + b²)} × {(a - b)(a² + ab + b²)/(a + b)}
= (a - b)(a - b)

প্রশ্ন: a - 5/a = 1 হলে, 5/(a² - a - 1) এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
 a - 5/a = 1
(a² - 5)/a = 1
a² - 5 = a
a² - a = 5

5/(a² - a - 1)  = 5/(5 - 1) =  5/4

লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নে এবং ব্যাখ্যাতে টাইপিং জনিত ভুল ছিল। তাই প্রশ্নটি বাতিল করা হয়েছে।
প্রশ্নটি হবে: x = √6 + √5 হলে, (x² - 1)/x এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x = √6 + √5 
1/x = 1/(√6 + √5)
 1/x = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
 1/x = (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²}
1/x = (√6 - √5)/(6 - 5)
1/x = (√6 - √5)

(x² - 1)/x  = x²/x - 1/x
               = x - 1/x
                = √6 + √5 - (√6 - √5)
                 = √6 + √5 - √6 + √5
                = 2√5

প্রশ্ন: x⁴ - 27x² + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান: 
   x⁴ - 27x² + 1
= x² - 2.x² .1 + 1² - 25x²
= (x² - 1)² - (5x)²
= (x² - 1 + 5x)(x² - 1 - 5x)
= (x² + 5x - 1)(x² - 5x - 1)

প্রশ্ন: (ax + 3)(ax + 4) এর গুণফল কত?

সমাধান: 
(ax + 3)(ax + 4) 
= (ax)² + (3 + 4)ax + 3 × 4
= a²x² + 7ax + 12

প্রশ্ন: (8x + y)² - (16x + 2y)(5x + y) + (5x + y)² এর সরলফল কত? 

সমাধান: 
(8x + y)² - (16x + 2y)(5x + y) + (5x + y)²
(8x + y)² - 2(8x + y)(5x + y) + (5x + y)²
ধরি
8x + y = a
5x + y = b

প্রদত্ত রাশি = a² - 2ab + b²
                 = (a - b)²
                 = {(8x + y) - (5x + y)}²
                 = (8x + y - 5x - y)²
                 = (3x)²
                  = 9x²

প্রশ্ন: 3x² - 16x -12 এর উৎপাদক গুলো হলো- 

সমাধান: 
 3x² - 16x -12
= 3x² - 18x + 2x - 12
= 3x(x - 6) + 2(x + 6)
= (x - 6)(3x + 2)

প্রশ্ন: x + y = 4 , xy = 5 হলে (x³ + y³)³ এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x + y = 4
xy = 5

x³ + y³= (x + y)³ - 3xy(x + y)
            = 4³ - 3 × 5 × 4 
           = 64 - 60
           = 4

(x³ + y³)³ = 4³ = 64

প্রশ্ন: 4x - 3 = 6 হলে 64x³ - 27 - 216x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 4x - 3 = 6 

প্রদত্ত রাশি = 64x³ - 27 - 216x
                 = (4x)³ - 3³ - 216x
                 = (4x - 3)³ + 3.4x.3(4x - 3) - 216x
                 = 6³ + 36x. 6 - 216x
                 = 216 + 216x - 216x
                 = 216

প্রশ্ন: [{(a² + b²)/2ab} - 1] ÷ [{(a³ - b³)/(a - b)} - 3ab]  = কত? 

সমাধান: 
[{(a² + b²- 2ab)/2ab} ÷ [{a³ - b³- 3ab(a - b)}/(a - b)]
[(a - b)²/2ab]÷ [{(a - b)³}/(a - b)]
[(a - b)²/2ab] ×[(a - b)/(a - b)³]
= 1/2ab

প্রশ্ন: (x² - 5x + 6)/(x² - 9x + 20) এবং (x - 5)/(x - 3) এর গুণফল হলো-  

সমাধান:
x² - 5x + 6 = x² - 2x -3x + 6
                  = x(x - 2) - 3(x - 2)
                  = (x - 2) (x - 3)
(x² - 9x + 20) =x² - 4x - 5x + 20 
                      = x(x - 4) - 5(x - 4)
                      = (x - 4)(x - 5)

{(x² - 5x + 6)/(x² - 9x + 20)} × {(x - 5)/(x - 3)}
= {(x - 2) (x - 3)/(x - 4)(x - 5)}× {(x - 5)/(x - 3)}
= (x - 2)/(x - 4)

প্রশ্ন: {(x + y)/(x - y)} - {(x - y)/(x + y)}= কত? 

সমাধান:
{(x + y)² - (x - y)²}/(x + y)(x - y)}
= (x² + 2xy + y² -  x² + 2xy - y²)/(x² - y²)
= 4xy/(x² - y²)

প্রশ্ন: 6x² + x - 2 কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায়- 

সমাধান: 
6x² + x - 2 = 6x² + 4x - 3x - 2
                  = 2x(3x + 2) - 1(3x + 2)
                  = (3x + 2)(2x - 1)

(6x² + x - 2)/(2x - 1) = (3x + 2)(2x - 1)/(2x - 1)
                                  = (3x + 2)

প্রশ্ন: - 2a - [- 4b - {- 6c - (8a - 10b + 12c)}] এর সরলফল কত? 

সমাধান: 
- 2a - [- 4b - {- 6c - (8a - 10b + 12c)}]
- 2a - [- 4b - {- 6c - 8a + 10b - 12c}]
- 2a - [- 4b + 6c +8a - 10b + 12c]
- 2a + 4b - 6c - 8a + 10b - 12c
- 10a + 14b - 18c

 প্রশ্ন: A = y² - y + 1 এবং B = 1 + y + y²  হলে, A × B = কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
A = y² - y + 1 
B = 1 + y + y²
A × B = (y² - y + 1 ) × (1 + y + y²)
           = y²(1 + y + y²) - y(1 + y + y²) + 1(1 + y + y²)
           = y² + y³ + y⁴ - y - y² - y³ + 1 + y + y²
            = 1 + y² + y⁴