খাদ্য অধিদপ্তর নিয়োগ প্রস্তুতি

প্রশ্ন: a + 1/a = 2 হলে a² + a + (1/a) + (1/a)² এর মান কত?

সমাধান
দেওয়া আছে,
a + 1/a = 2

এখন,
a² + a + 1/a + (1/a)²
= a + 1/a + a² + (1/a)²
= (a + 1/a) + (a + 1/a)² - 2. a. 1/a
= 2 + 2² - 2
= 6 - 2
= 4

প্রশ্ন: p⁴ - 5p³ + 3p² + y বহুপদীর একটি উৎপাদক (p - 2) হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
(p - 2) বহুপদীর একটি সমাধান হলে, f(p) = 0 হবে,
p - 2 = 0
p = 2

∴ f(2) = (2)⁴ - 5(2)³ + 3(2)² + y
= 16 - 40 + 12 + y
= - 12 + y

∴ - 12 + y = 0
y = 12

প্রশ্ন: ৪ + ৭ + ১০ + ...... + ৬৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ = ৪
শেষ পদ = ৬৭
সাধারন অন্তর = ৭ - ৪ = ৩

∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারন অন্তর } + ১
= {(৬৭ - ৪)/৩} + ১
= ২১ + ১
= ২২

প্রশ্ন: {x ∈ N : x < 20 এবং x, 3 এর গুণিতক} সেট গুলোর তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 20 অপেক্ষা ছোট এবং 3 এর গুণিতক।
3 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 3 = 3
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
4 × 3 = 12
5 × 3 = 15
6 × 3 = 18
∴ নির্ণেয় সেট = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

প্রশ্ন: ১২টি বিন্দু দিয়ে কত উপায়ে ত্রিভুজ গঠন করা যবে?

সমাধান: 
ত্রিভুজ গঠন করতে বিন্দু প্রয়োজন ৩ টি।

অর্থাৎ, ¹²C₃ = 12!/(3!)(9!) = 220 উপায়ে ত্রিভুজ গঠন করা যবে।

প্রশ্ন: শীতকালে কোন এক সপ্তাহে ৭ দিনের তাপমাত্রা যথাক্রমে ১১°, ৯°, ১০.২৫°, ৫.৭৫°, ৬.৫°, ১০°, ৯°। ঐ স্থানের গড় তাপমাত্রা কত?

সমাধান:
 গড় = (১১°+ ৯°+ ১০.২৫°+ ৫.৭৫°+ ৬.৫°+ ১০°+ ৯°)/৭
= ৮.৭৮৬°

প্রশ্ন: যদি P = 3/5, Q = 7/9 এবং R = 5/7 হয় তাহলে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান: 
P = 3/5 = 0.60
Q = 7/9 = 0.78
R = 5/7 = 0.71

অর্থাৎ, P < R < Q

প্রশ্ন: 52টি তাস থেকে একটি তাস টানা হলে তা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
52টি তাসের মধ্যে টেক্কা থাকে 4টি।

∴ টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = 48/52 = 12/13

প্রশ্ন: ELEPHANT শব্দটিকে কতভাবে সজানো যাবে যাতে স্বরবর্ণগুলো একসাথে থাকে?

সমাধান:
ELEPHANT শব্দে স্বরবর্ণ আছে ৩ টি E, E, A যার মধ্যে E ২টি
স্বরবর্ণগুলোকে সাজানো যাবে = 3!/2! = 3 ভাবে।

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে ধরলে EEA, L, P, H, N, T
এই ৬টি বর্ণকে সাজানো যাবে = 6! = 720 ভাবে।

তাহলে স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট বিন্যাস = 720 × 3 = 2160 ভাবে।

প্রশ্ন: যদি x = y^a, y = z^b এবং z = x^c হয়, abc এর মান কত?

সমাধান:
x = y^a
y = z^b
z = x^c

z = x^c
= (y^a)^c
= y^ac
= (z^b)^ac
= z^abc

∴ abc = 1

প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে?

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: ORANGE শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে স্বরবর্ণগুলো বিজোড় অবস্থানে থাকে?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 6 টি স্বরবর্ণ আছে 3 টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 3 টি বিজোড় অবস্থানে রেখে বিন্যাস হয় = ³p₃ = 6 
বাকি বর্ণগুলোকে জোড় অবস্থানে রাখলে বিন্যাস হয় = ³p₃ = 6

∴মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36

প্রশ্ন: 2x³ + 12x² - 8x - 18 রাশিটির উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = 2x³ + 12x² - 8x - 18
∴f(-1) = - 2 + 12 + 8 -18
= 0

∴(x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রদত্ত রাশি,
2x³ + 12x² - 8x - 18
= 2x³ + 2x² + 10x² + 10x - 18x - 18
= 2x²(x + 1) + 10x(x + 1) - 18(x + 1)
= (x + 1)(2x² + 10x - 18)

প্রশ্ন: 3x - 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান: 
3x - 3 > 2x - 1
3x - 3 + 3 > 2x - 1 + 3
3x > 2x + 2
3x - 2x > 2x - 2x + 2
x > 2

অর্থাৎ x এর মান ২ থেকে বড় যে কোন সংখ্যা হতে পারে।
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (2, ∞)

প্রশ্ন: log_x(1/40√5) = - 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/40√5) = - 3
বা, x^-3 = 1/40√5
বা, 1/x³ = 1/40√5
বা, x³ = 40√5
বা, x³ = (2√5)³
∴ x = 2√5

প্রশ্ন: একটি বক্সে ১২টি সবুজ মারবেল, ১৫টি লাল মারবেল এবং ১৩টি নীল মারবেল আছে। পুনরায় না রেখে পরপর ২ বার একটি একটি করে মারবেল নেয়া হলে তা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট মারবেল আছে = ১২ + ১৩ + ১৫ = ৪০টি

প্রথমটা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ১২/৪০ = ৩/১০
দ্বিতীয়টি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ১১/৩৯

পরপর দুইটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ৩/১০ × ১১/৩৯ 
= ১১/১৩০

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন? 

সমাধান: 
x² + 2x - 15 = 0

b² - 4ac = (2)² - 4.1.(- 15)
= 4 + 60
= 64

যেহেতু,
b² - 4ac > 0 সেহেতু, মূলদ্বয়ের প্রকৃতি বাস্তব ও অসমান।

প্রমান:
x² + 2x - 15 = 0
বা, x² + 5x - 3x - 15 = 0
বা, x(x + 5) - 3(x + 5) = 0
বা, (x + 5) (x - 3) = 0

∴ x - 3 = 0
x = 3 

অথবা, 
x + 5 = 0
x = - 5

প্রশ্ন: log₃81 + log_√39√3 - log_√232√2 এর মান কত?

সমাধান:
log₃81 + log_√39√3 - log_√232√2
= log₃3⁴ + log_√3(√3)⁵ - log_√2(√2)¹¹
= 4 + 5 - 11
= - 2

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 9 হলে, সমীকরণটি - 

সমাধান: 
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 9 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপ:
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0 
⇒ x² - (- 3 + 9)x + (- 3 × 9) = 0
⇒ x² - 6x - 27 = 0

প্রশ্ন: 2x + y = 1 এবং x - y = - 4 হলে, 3x + y এর মান কত?

সমাধান: 
2x + y = 1............(i)
x - y = - 4............(i)

(i), (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

2x + y + x - y = - 3
3x = - 3
x = - 1

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
- 1 - y = - 4
y = 3

∴ 3x + y = 3(-1) + 3 = 3 - 3 = 0

প্রশ্ন: (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = (1/4)/(1/2) = 1/2
∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{(2 - 1)/2}
= (1/2)/(1/2)
= (1/2) × (2/1)
= 1

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (p² - p - 12) এবং (p² - 6p + 8) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান: 
p² - p - 12
= p² - 4p + 3p - 12
= p(p - 4) + 3(p - 4)
= (p - 4)(p + 3)

p² - 6p + 8
= p² - 4p - 2p + 8
= p(p - 4) - 2(p - 4)
= (p - 4)(p - 2)

অর্থাৎ, (p - 4) উভয়ের একটি সাধারণ উৎপাদক।

প্রশ্ন: (-5, 4, 3, 7, 2, 1, 3, 4, 5, -1, 7, 8, -4, 2, 6) প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরকের মধ্যক কত?

সমাধান:
(-5, 4, 3, 7, 2, 1, 3, 4, 5, -1, 7, 8, -4, 2, 6)
উক্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক হল = 2, 3, 4, 7

প্রচুরকের মধ্যক = (3 + 4)/2 = 3.5

প্রশ্ন: ৩ জন প্রধানশিক্ষক এবং ১০ জন শিক্ষকের মধ্যে থেকে ৫ জনের কমিটি কত ভাবে বানানো যাবে যাতে প্রতি টিমে ২ জন প্রধান শিক্ষক থাকে?

সমাধান:
৩ জন প্রধান শিক্ষকের মধ্যে থকে ২ জনকে বাছাই করার উপায় = ³c₂ = 3!/(2!)(1!) = 3 ভাবে।
১০ জন শিক্ষক থকে বাকি ৩ জন বাছাই করার উপায় = ¹⁰c₃ = 10!/(3!)(7!) = 120 ভাবে

মোট উপায় = 3 × 120 = 360

প্রশ্ন: q এর মান কত হলে 9x² - qx + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
9x² - 2.3x.5 + 25
=(3x)² - 2.3x.5 + (5)²
= (3x - 5)²

∴ qx = 2.3x.5
বা, q = 30