শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: ২৫০° কোণটি হলো -

সমাধান:
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ২৫০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

শর্তমতে,
2πr = 16π মিটার 
এবং, πr² = 64π বর্গমিটার‌।

এখন 
πr²/2πr = 64π/16π
বা, r/2 = 4
∴ r = 8

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2 × 8 = 16 মিটার

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয় তাদের সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
একটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টির দ্বিগুণ = (২ × ১৮০°) = ৩৬০°

প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?

সমাধান:
- একটি বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেককে ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।

প্রশ্ন: চিত্রে p° = কত?

সমাধান:
সরলরেখার যেকোনো এক পাশ বা এক সরলকোণ = 180°
∴ p° = 180° - (40° + 90° + 30°)
= 180° - 160°
= 20°

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে?

সমাধান:
পরিকেন্দ্র: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।

লম্বকেন্দ্র: শীর্ষ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের মিলিত বিন্দু কে ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বলে।

ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।

অন্তকেন্দ্র: ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

∴ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ = ৬০° × ২
= ১২০° 

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস পাঁচগুণ করলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস পাঁচগুণ হলে হবে 10r   
∴ব্যাসার্ধ =10r/2 = 5r   
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(5r)² = 25πr²  
∴ বৃত্তের ব্যাস পাঁচগুণ হলে এর ক্ষেত্রফল 25 গুণ হবে।

প্রশ্ন: ৮০° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ:
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
∴ ৮০°কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৮০°

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি পরস্পর পূরক কোণ? 

সমাধান:
পূরক কোণ:
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে,  কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৪১° ও ৪৯° পরস্পর পূরক কোণ।

প্রশ্ন: ∠ABC = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠ACD = 120°
∠BAC = 70°

আমরা জানি,
বহিঃস্থ কোণের মান বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের মানের সমষ্টির সমান।

∴ ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
বা, ∠ABC = ∠ACD - ∠BAC
বা, ∠ABC = 120° - 70°
= 50°

প্রশ্ন: AOB একটি সরলরেখা, যার ∠AOC = (2p + 48)° এবং ∠BOC = (3p - 8)° হলে, p এর মান কত?

সমাধান:

এখানে,
∠AOC + ∠BOC = 180° [যেহেতু, এক সরলকোণ = ১৮০°]
⇒ 2p° + 48° + 3p° - 8° = 180°
⇒ 5p° = 180° - 40°
∴ p° = 140°/5 = 28°

প্রশ্ন: একটি সরল রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?

সমাধান:

একটি সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে ২টি সমকোণ পাওয়া যায়।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে - 

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴  বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৬৫° × ২
= ১৩০°

∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৩০°।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

সমাধান: 
বৃত্তের সমীকরণে বৈশিষ্ট্য:
i) সমীকরণটি x এবং y এর দ্বিঘাত সমীকরণ।
ii) সমীকরণে x² এবং y² এর সহগ সমান।
iii) xy সম্বলিত পদ নেই।

প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৮০ বার ঘুরলে ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৮০ বার 
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৮০/৬০ = ৪/৩ বার

এখন,
১ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০°
∴ ৪/৩ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০° × (৪/৩) = ৪৮০° 

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। ∠X = 45° হলে ∠Y এর মান কত?


সমাধান:
OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ হলে ∠A = 90°
∴ ∠A + ∠B  + ∠O = 180°
∴ 90° + Y + 45° = 180°
⇒ Y + 135° = 180°
⇒ Y = 180° - 135° 
∴ Y = 45°

প্রশ্ন: 2b° এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
b° = 3c° [একান্তর কোণ বলে]
এবং, a° = 2b°  [একান্তর কোণ বলে]
⇒ a° = 2 × 3c° = 6c°

∴ 3c° = a°/2
∴ a° + 6c° + 3c° = 180° [সরলকোণ বলে] 
⇒ a° + a° (a°/2) = 180°
⇒ (2a° + 2a° + a°)/2 = 180°
⇒ 5a°/2 = 180°
⇒ 5a° = 360°
∴ a° = 72°

∴ 2b° = 72° [ যেহেতু a° = 2b°]

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৪ : ৩ হলে বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ ৪ক/২ এবং ৩ক/২

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৪ক/২)^২ : π(৩ক/২^)২
= ১৬πক^২/৪ : ৯πক^২/৪
= ১৬ : ৯

প্রশ্ন: রেখার প্রান্ত বিন্দুর সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
রেখা (line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ স্থলে ১টি রেখা উৎপন্ন হয়।
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে।
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে।
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
- রেখার প্রান্তবিন্দু নেই।
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা-
ক) সরলরেখা ও
খ) বক্ররেখা।