১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: কত টাকার ৩/৮ অংশ ৭৫ টাকার ৩/৫ অংশের সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৮ = ৭৫ এর ৩/৫
বা, ৩ক/৮ = (৭৫ × ৩)/৫
বা, ৩ক/৮ = ৪৫
বা, ৩ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৩
∴ ক = ১২০

∴ ১২০ টাকার ৩/৮ অংশ ৭৫ টাকার ৩/৫ অংশের সমান।

প্রশ্ন: 9³ × 81² ÷ 27⁴ = 3^?

সমাধান:
ধরি,
9³ × 81² ÷ 27⁴ = 3^a
⇒ (3²)³ × (3⁴)² ÷ (3³)⁴  = 3^a
⇒ 3⁶ × 3⁸ ÷ 3¹² = 3^a
⇒ 3^{6 + 8 - 12} = 3^a
⇒ 3² = 3^a
∴ a = 2

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 180 বর্গমিটার। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × ভূমি × 20
= 10 × ভূমি

প্রশ্নমতে,
10 × ভূমি = 180
⇒ ভূমি = 180/10
∴ ভূমি = 18 মিটার

প্রশ্ন: TRAIN শব্দের বিন্যাস সংখ্যা CAR শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
TRAIN শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 5!
CAR শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 3!

এখন, 5!/3! = (5 × 4 × 3!)/3!
= 20

∴ TRAIN শব্দের বিন্যাস সংখ্যা CAR শব্দের বিন্যাস সংখ্যার ২০ গুণ।

প্রশ্ন: 12a² + 7a - 10 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
12a² + 7a - 10
= 12a² + 15a - 8a - 10
= 3a(4a + 5) - 2(4a + 5)
= (4a + 5)(3a - 2)

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৮ গুণ থেকে সংখ্যাটির ১৪ গুণ ৩০ বেশি?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = খ

প্রশ্নমতে,
১৪খ = ৮খ + ৩০
⇒ ১৪খ - ৮খ = ৩০
⇒ ৬খ = ৩০
⇒ খ = ৩০/৬
∴ খ = ৫

∴ সংখ্যাটি = ৫

প্রশ্ন: 14 + 17 + 20 + ........................ ধারাটির কোন পদ 269 হবে?

সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 14
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 14 = 3

ধরি, r-তম পদ = 269
তাহলে, a + (r - 1)d = 269
⇒ 14 + (r - 1)3 = 269
⇒ 14 + 3r - 3 = 269
⇒ 3r = 258
∴ r = 86
অতএব, ধারাটির 86 তম পদ 269 হবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার ও প্রস্থ ৫০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৩ মিটার চওড়া একটি হাঁটার রাস্তা আছে, তবে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৫০) = ৪০০০ বর্গমিটার

রাস্তা বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৮০ - (২ × ৩) = ৭৪ মিটার
রাস্তা বাদে মাঠের প্রস্থ = ৫০ - (২ × ৩) = ৪৪ মিটার
রাস্তা বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৭৪ × ৪৪) = ৩২৫৬ বর্গমিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪০০০ - ৩২৫৬) = ৭৪৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ফলের ঝুড়িতে ৭টি আম, ৯টি কমলা, ৫টি মাল্টা এবং ৬টি আপেল আছে। দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে, ফলটি কমলা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ঝুড়িতে মোট ফল আছে = ৭ + ৯ + ৫ + ৬ = ২৭ টি
কমলা আছে = ৯ টি
∴ দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে, ফলটি কমলা হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/২৭
= ১/৩

∴ ফলটি কমলা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= ২/৩

প্রশ্ন: ।2x - 9। < 7 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
2x - 9 < 7
⇒ 2x < 7 + 9
⇒ 2x < 16
⇒ x < 16/2
∴ x < 8

-(2x - 9) < 7
⇒ 2x - 9 > - 7
⇒ 2x > 9 - 7
⇒ 2x > 2
∴ x > 1

অসমতাটির সমাধান 1 < x < 8

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৮ টাকা হার সুদে ১৫০০ টাকার ৩ বছরের সুদাসল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়)/১০০
= (১৫০০ × ৮ × ৩)/১০০
= ৩৬০ টাকা

∴ সুদাসল = সুদ + আসল
= ৩৬০ + ১৫০০
= ১৮৬০ টাকা

অর্থাৎ, ১৫০০ টাকার ৩ বছরের সুদাসল হবে ১৮৬০ টাকা।

প্রশ্ন: যদি y = 4 হয় তবে, √y³ এর 4 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y = 4

√y³ এর 4 ভিত্তিক লগ  = log₄√y³
= log₄(y³)^1/2
= log₄(4³)^1/2
= log₄4^3/2
= (3/2) × log₄4
= (3/2) × 1
= 3/2

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ = r
তাহলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

এখন, ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে, নতুন ব্যাসার্ধ = 2r
তাহলে, বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল = π(2r)² = 4πr²

∴ নতুন ক্ষেত্রফল প্রাথমিক ক্ষেত্রফলের 4 গুণ।

প্রশ্ন: R = { x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} সেটটির তালিকায় প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
4 এর গুনিতক এবং 4 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে এবং 18 এর সমান বা ছোট সংখ্যাগুলো
= 4, 8, 12, 16

∴ R = {4, 8, 12, 16}

প্রশ্ন: p - (1/p) = 2√2 হলে, (p⁶ - 1)/p³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - (1/p) = 2√2

∴ (p⁶ - 1)/p³ = (p⁶/p³) - (1/p³)
= p³ - (1/p³)
= {p - (1/p)}³ + [{3 × p × (1/p)} × {p - (1/p)}]
= (2√2)³ + (3 × 1 × 2√2)
= 16√2 + 6√2
= 22√2

প্রশ্ন: ২৪০ টি মার্বেল রাফি, শাফি ও রনির মধ্যে যথাক্রমে ১/৮ : ১/৩ : ১/৬ অনুপাতে ভাগ করে দিলে রনি কয়টি মার্বেল পাবে?

সমাধান:
১/৮ : ১/৩ : ১/৬
= (১/৮) × ২৪ : (১/৩) × ২৪ : (১/৬) × ২৪   [৮, ৩, ৬ এর ল.সা.গু = ২৪]
= ৩ : ৮ : ৪

ধরি, রাফি, শাফি ও রনি পাবে যথাক্রমে ৩ক, ৮ক এবং ৪ক টি মার্বেল

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৮ক + ৪ক = ২৪০
⇒ ১৫ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/১৫
⇒ ক = ১৬

∴ রনি মার্বেল পাবে = ৪ × ১৬ = ৬৪ টি

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + .......... + 35² = কত?

সমাধান:
ধারারটির যোগফল = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {35(35 + 1)(2 ⋅ 35 + 1)}/6
= (35 · 36 · 71)/6
= 14910

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
একটি কোণ x হলে,
কোণটির পূরক কোণ (90° - x)

প্রশ্নমতে,
⇒ x = (90° - x)/2
⇒ 2x = 90° - x
⇒ 3x = 90°
∴ x = 30°

আমরা জানি, বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
∴ 30° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 30°

প্রশ্ন: ১৫টি পুস্তক থেকে ৭টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু, ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (১৫ - ২) বা ১৩টি এবং ৭টি থেকে বাছাই করতে হবে (৭ - ২) বা ৫ টি।

∴ ১৩টি পুস্তক থেকে ৫টি পুস্তক বাছাই করার উপায় = ^১৩C_৫ = ১২৮৭

প্রশ্ন: a² + b² = 4 এবং a² - b² = - 4 হলে, a⁴ + b⁴ এর মান কত?

সমাধান:
a² + b² = 4 .......... (1)
a² - b² = - 4 ........ (2)
(1) + (2) নং ⇒
a² + b² + a² - b² = 4 - 4
⇒ 2a² = 0
⇒ a² = 0
∴ a = 0

আবার, a² + b² = 4
⇒ 0 + b² = 4
⇒ b² = 4
∴ b = 2

অতএব, a⁴ + b⁴ = 0⁴ + 2⁴ = 16

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১২০ এবং ৮। একটি সংখ্যা ২৪ হলে, সংখ্যা দুটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ২৪ × অপর সংখ্যা = ১২০ × ৮
⇒ অপর সংখ্যা = (১২০ × ৮)/২৪ = ৪০

∴ সংখ্যা দুটির গড় কত = ৪০ + ২৪ = ৬৪

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ৩০ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ৩০ সে.মি. ; যা কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণ)^২
= (১/২) × ৩০ × ৩০
= ১৫ × ৩০
= ৪৫০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: পলকের ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/5, ইংরেজি ও বিজ্ঞান দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 1/4 এবং দুইটির যে কোন একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 7/10 হলে, বিজ্ঞানে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
এখানে,
P(E) = 3/5
P(E ∩ S) = 1/4
P(E ∪ S) = 7/10
P(S) = ?

আমরা জানি ,
P(E ∪ S) = P(E) + P(S) - P(E ∩ S)
⇒ 7/10 = (3/5) + P(S) - (1/4)
⇒ (7/10) - (3/5) + (1/4) = P(S)
⇒ (14 - 12 + 5)/20 = P(S)
∴ P(S) = 7/20

প্রশ্ন: a + b = √7, a - b = √5 হলে, 8a³b +8ab³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √5

এখন,
8a³b +8ab³
= 8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√7)² - (√5)²} × {(√7)² + (√5)²}
= (7 - 5) × (7 + 5)
= 2 × 12
= 24

প্রশ্ন: একটি বই ২০% ক্ষতিতে বিক্রি করা হলো। যদি বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা বেশি হতো, তাহলে ১৫% লাভ হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

২০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা
১৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১৫ = ১১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য বেশি = ১১৫ - ৮০ = ৩৫ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ৩৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৩৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৫০)/৩৫ টাকা
= ১৪২.৮৬
≈ ১৪৩ টাকা

প্রশ্ন: log_x64 = 4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x64 = 4
⇒ x⁴ = 64
⇒ x⁴ = 16 × 4
⇒ x⁴ = 2⁴ × 2²
⇒ x⁴ = 2⁴ × {√(2²)}²
⇒ x⁴ = 2⁴ × (√2)⁴
⇒ x⁴ = (2√2)⁴
∴ x = 2√2

প্রশ্ন: যদি n(A∩B) = 15, n(A) = 40, n(B) = 35 হয় তাহলে n(A∪B) এর মান কত?

সমাধান:
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
= 40 + 35 - 15
= 60

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ - a - 24 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a³ - a - 24
∴ f(3) = 3³ - 3 - 24
= 27 - 3 - 24
= 27 - 27
= 0
∴ (a - 3) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

a³ - a - 24
= a³ - 3a² + 3a² - 9a + 8a - 24
= a²(a - 3) + 3a(a - 3) + 8(a - 3)
= (a - 3)(a² + 3a + 8)

প্রশ্ন: ৫ থেকে ৩১ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
[প্রশ্নে যদি "থেকে ____ মধ্যে" উল্লেখ থাকে তবে শেষ সংখ্যাটি বাদ দিয়ে হিসেব করতে হবে]

৫ থেকে ৩১ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাসমূহ = ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯
∴ ৫ থেকে ৩১ এর মধ্যে মোট মৌলিক সংখ্যা = ৮ টি

প্রশ্ন: 4 + 4√3 + 12 + 12√3 + .......... ধারাটির কোন পদ 324 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 4√3/4 = √3
১ম পদ a = 4
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 324
⇒ 4 × (√3)^{n -} 1 = 324
⇒ (√3)^{n - 1} = 81
⇒ (3^1/2)^{n - 1} = 81
⇒ 3^{(n - 1)/2} = 3⁴
⇒ (n - 1)/2 = 4
⇒ n - 1 = 8
∴ n = 9

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 17 সে.মি. এবং 15 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য কত?

সমাধান;
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 17² = 15² + লম্ব²
⇒ লম্ব² = 289 - 225
⇒ লম্ব² = 64
∴ লম্ব = 8 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য = 17 - 8 = 9 সে.মি.

প্রশ্ন: ১, ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে তিন-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
২ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি ২, ৪, বা ৬ হতে হবে। অর্থাৎ, শেষ অংকটি ২, ৪, অথবা ৬ হতে হবে, অর্থাৎ শেষ ঘরের জন্য ৩টি বিকল্প থাকবে। বাকি ৫টি অঙ্ক থেকে বাকি ২টি ঘর পূরণ করতে হবে।

∴ ১ম ঘর সাজানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে
২য় ঘর সাজানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে
৩য় ঘরে থাকবে ২, ৪, অথবা ৬ অর্থাৎ ৩টি অঙ্ক

∴ মোট সংখ্যা হবে = ৫ × ৪ × ৩ = ৬০টি

প্রশ্ন: 3x - 5y + 9 = 0 এবং 5x - 3y - 1 = 0 হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: ৪, ৬ ও ১২ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
ধরি,
চতুর্থ সমানুপাতিক = খ

∴ ৪/৬ = ১২/খ
⇒ ৪খ = ৭২
⇒ খ = ৭২/৪
∴ খ = ১৮

অতএব, ৪, ৬ ও ১২ এর চতুর্থ সমানুপাতিক ১৮।

প্রশ্ন: ২০০ টাকায় ৫ বছরের সুদ এবং ৩০০ টাকার ৪ বছরের সুদ একত্রে ২২০ টাকা হলে, সুদের হার কত?

সমাধান:
২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (২০০ × ৫) বা ১০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৩০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = (৩০০ × ৪) বা ১২০০ টাকার ১ বছরের সুদ

এখন,
১০০০ + ১২০০ = ২২০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ২২০ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ২২০/২২০০ টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (২২০ × ১০০)/২২০০ টাকা
= ১০ টাকা বা ১০%

প্রশ্ন: তিনটি ঘনকের ধার যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক বানানো হলো। নতুন ঘনকের আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের ধার a হলে ঘনকের আয়তন = a³ ঘন একক

∴ নতুন ঘনকের আয়তন = (3³+ 4³ + 5³) ঘন সে. মি.
= (27+ 64 +125) ঘন সে.মি.
= 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি প্রতিষ্ঠানের রিপোর্ট অনুযায়ী, প্রতিদিন ৮০% কর্মচারী নিজেদের গাড়িতে যাতায়াত করে, যার মধ্যে ৩০% গাড়ি পার্কিং লটে রাখে। অফিসের একজন কর্মচারী দৈবভাবে নির্বাচন করা হলে তার গাড়ি পার্কিং লটে রাখার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
মোট কর্মচারী = ১০০%
দেওয়া আছে, গাড়িতে যাতায়াত করে = ৮০%
৮০% এর মধ্যে গাড়ি পার্কিং লটে রাখে = ৩০%

∴ গাড়ি পার্কিং লটে রাখে = ৮০ এর ৩০%
= ৮০ × (৩০/১০০)
= ২৪ জন

অর্থাৎ, গাড়ি পার্কিং লটে রাখার সম্ভাব্যতা = ২৪/১০০
= ০.২৪

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে -3 < x < 1 অসমতাটির প্রকাশ হবে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
-3 < x < 1
এখানে, (-3 + 1)/2
= -2/2
= -1

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে -1 বিয়োগ করে পাই,
-3 < x < 1
⇒ -3 - (-1) < x - (-1) < 1 - (-1)
⇒ - 3 + 1 < x + 1 < 1 + 1
⇒ - 2 < x + 1 < 2
⇒ |x + 1| < 2

প্রশ্ন: দুইটি টেবিল একই মূল্যে বিক্রয় করলে একটিতে লাভ হয় ৫%, অন্যটিতে ক্ষতি হয় ৬%। শতকরা মোট কত লাভ বা ক্ষতি হলো?

সমাধান:

ধরি, প্রতিটি টেবিলের বিক্রয়মূল্য = 100 টাকা
∴ মোট বিক্রয়মূল্য = 200 টাকা

প্রথম টেবিল (৫% লাভে):
ক্রয়মূল্য = 100 / 1.05 = 95.238 টাকা

দ্বিতীয় টেবিল (৬% ক্ষতিতে):
ক্রয়মূল্য = 100 / 0.94 = 106.383 টাকা

∴ মোট ক্রয়মূল্য = 95.238 + 106.383 = 201.621 টাকা
∴ ক্ষতি = 201.621 – 200 = 1.621 টাকা

শতকরা ক্ষতি = (1.621 / 201.621) × 100 ≈ 0.80% ক্ষতি

প্রশ্ন: 3 × 27^p = 9^{p + 4} হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
3 × 27^p = 9^{p + 4}
⇒ 3 × 3^3p = 3^{2p + 8}
⇒ 3^{1 + 3p} = 3^{2p + 8}
⇒ 1 + 3p = 2p + 8
⇒ 3p - 2p = 8 - 1
∴ p = 7 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল ৫০০ বর্গমিটার এবং দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার। খেলার মাঠের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
বা, ৫০০ = ২৫ × প্রস্থ
বা, প্রস্থ = ৫০০/২৫
∴ প্রস্থ = ২০ মিটার

এখন,
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৫ + ২০)
= ৯০ মিটার

প্রশ্ন: DEGREE শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যেকোনো চারটি অক্ষর প্রতিবার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যাবে?

সমাধান-
DEGREE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি, যার মধ্যে E তিনটি।

মোট বাছাই সংখ্যা:
4টি ভিন্ন ভিন্ন (D,G,E,R)= ⁴c₄ = 1
2টি একই (E,E) এবং 2টি ভিন্ন (D,G,R) = ²c₂ × ³C₂ = 1 × 3 = 3
3টি একই (E,E,E) এবং 1টি ভিন্ন (D,G,R) = ³c₃ × ³C₁ = 1 × 3 = 3

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7

প্রশ্ন: ৩ জন নারী বা ৪ জন শিশুরা যে কাজ ১২ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, ৬ জন নারী ও ৮ জন শিশু সেই কাজের তিনগুণ কাজ কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
৩ জন নারী = ৪ জন শিশু
∴ ৬ জন নারী = ৮ জন শিশু
∴ ৬ জন নারী ও ৮ জন শিশু = ৮ জন শিশু + ৮ জন শিশু = ১৬ জন শিশু

∴ ১৬ জন : ৪ জন = ১২ দিন : নির্ণেয় সময়
∴ নির্ণেয় সময় = (১২ × ৪)/১৬ = ৩ দিন

∴ তিনগুণ কাজ করতে সময় লাগবে = ৩ × ৩ = ৯ দিন

প্রশ্ন: একটি শহরে বিমান আক্রমণের সময় ঐ শহরের চারটি চারটি স্থান থেকে যথাক্রমে ১, ৫/৪, ৩/২ এবং ৭/৪ মিনিট অন্তর অন্তর সাইরেন বাজতে লাগলো। একবার একত্রে বাজবার কতক্ষণ পর আবার সাইরেনগুলো একত্রে বাজবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সময় হবে ১, ৫/৪, ৩/২ এবং ৭/৪ এর ল.সা.গু.

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = লবগুলোর ল.সা.গু./হরগুলোর গ.সা.গু
= ১, ৩, ৫, ৭ ল.সা.গু./১, ৪, ২, ৪ এর গ.সা.গু.
= ১০৫/১
= ১০৫
অতএব সাইরেনগুলো আবার একত্রে বাজবে ১০৫ মিনিট বা ১ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট পর।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার অনুপাত 7 : 4 : 2। যদি আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন 448 ঘন সে.মি. হয়, তাহলে আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = 7a সে.মি.
প্রস্থ = 4a সে.মি.
এবংউচ্চতা = 2a সে.মি.

প্রশ্নমতে,
7a × 4a × 2a =448
⇒ 56a3 = 448
⇒ a3 = 8
∴ a = 2

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা = 2 × 2 = 4 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8
তাহলে, অনুপাত, r = 8/16 = 1/2

∴ দশম পদ = ar^{10 - 1} = ar⁹
= 16 × (1/2)⁹
= 16/512
= 1/32

প্রশ্ন: টাকায় ৯ টি দরে কমলালেবু ক্রয় করে টাকায় কয়টা কমলালেবু বিক্রয় করলে শতকরা ৫০ টাকা লাভ হবে?

সমাধান:
১ টাকায় কমলালেবু ক্রয় করা যায় = ৯ টি
∴ ১০০ টাকায় কমলালেবু ক্রয় করা যায় = ৯ × ১০০ = ৯০০ টি

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে লাভ করতে হবে ৫০ টাকা
অর্থাৎ, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৫০ = ১৫০ টাকা

এখন,
১৫০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৯০০ টি কমলালেবু
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৯০০/১৫০ = ৬ টি কমলালেবু

অর্থাৎ, টাকায় ৬ টি দরে কমলালেবু বিক্রয় করলে শতকরা ৫০ টাকা লাভ হবে।