সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান: 
sin2θ = √3/2
বা, sin2θ = sin60°
বা, 2θ = 60°
বা, θ = 60°/2
∴ θ = 30°

​প্রশ্ন: 3 সে.মি. ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের ধার, a = 3 সে.মি. 

আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণ,
= a√3
= 3√3 সে.মি. 

∴ দুইটি কর্ণের সমষ্টি = (3√3 + 3√3) সে.মি. = 6√3 সে.মি. 

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হয়, তবে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
∴ বিস্তার বা প্রস্থ = ৮/২ = ৪ মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √{৪²+ (৮)²}
= √(১৬ + ৬৪)
= √(৮০)
= ৪√৫ মিটার

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৬ মিটার, উচ্চতা ১৪ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস ৬ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৩ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ১৪ মিটার

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh
= ২ × (২২/৭) × ৩ × ১৪ বর্গ মিটার
= ২৬৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: (- 520°) কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?

সমাধান: 
​
​
(- 520°) = (- 450° - 70°) = (- 5 × 90° - 70°) 
​
(- 520°) একটি ঋণাত্মক কোণ এবং (- 520°) কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে একবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো এক সমকোণ বা 90° এবং 70° ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে (উপরের চিত্র)।
​ 
সুতরাং, (- 540°) কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।

প্রশ্ন:

​
​সমাধান:
​

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মি.
= ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মি.
= ২০০ সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩০০০০ লিটার

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
⇒ sin(- θ) = - sinθ
⇒ cos(- θ) = cosθ
⇒ tan(- θ) = - tanθ
⇒ cosec(- θ) = - cosecθ
⇒ sec(- θ) = secθ
⇒ cot( - θ) = - cotθ

প্রশ্ন: 3 মি. বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?

সমাধানঃ
ঘনক সংখ্যা = বড় ঘনকের আয়তন / ছোট ঘনকের আয়তন
= (300 × 300 × 300)  / (10 × 10 × 10)
= 27000

প্রশ্ন: যদি একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ৩ সেমি এবং উচ্চতা ১৪ সেমি হয়, তবে তার আয়তন কত হবে?

সমাধান:
​
​ধরা যাক,
ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১৪ সে.মি.

এখন,
আয়তন = (১/৩) × π × r^২ × h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩^২ × ১৪
= ১৩২ ঘন সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: একটি ফুটবলের ব্যাস 6 ইঞ্চি হলে, ফুটবলের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাস, d = 6 ইঞ্চি
ব্যাসার্ধ, r = 6/2 = 3 ইঞ্চি

ফুটবল হল একটি গোলক, এবং গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হল = (4/3)πr³
= (4/3) × 3.1416 × (3)³
= 36 × 3.1416
= 113.09 ঘন ইঞ্চি

∴ ফুটবলের আয়তন 113.09 ঘন ইঞ্চি

প্রশ্ন: cos60°.cos30° + sin60°.sin30° = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30°
= cos(60° - 30°)
= cos 30°
= √3/2

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 8 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. = 4 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 4²× 60°)/360°
= (π × 16× 60°)/360°
= 8π/3

প্রশ্ন: 1/{tanA√(1 - sin²A)} = ?

সমাধান: 
tanA√(1 - sin²A)
​= tanA√(cos²A)
= (sinA/cosA) × cosA
=  sinA 

অতএব,
 1/{tanA√(1 - sin²A)} 
= 1/sinA
= cosecA