Math Master

(x - y)² = x² - 2xy + y²
⇒ 2² = 12 - 2xy 
∴ xy = 4

(x + y)² = x² + 2xy + y²
             = 12 + 8
             = 20
∴ x + y = √20
x - y = 2 ও x + y = √20 সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
x =  (√20 + 2)/2
   = √5 + 1

7y - 3x = 10
এবং y - 2x = 3 
⇒ 7y - 14x = 21
সমীকরণ দুইটি সমাধান করে,
11x = - 11
∴ x = - 1
এবং y = 1
(x, y) = (-1, 1)

১ম সমীকরণ থেকে ২য় সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
2y = 16
⇒ y = 8
অতএব, x = - 24

2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট এর মাত্র ১ টি সমাধান পাওয়া যায় তাই সমীকরণজোটটিকে সমঞ্জস বলা হয়।
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোটটির ১ম সমীকরণকে ২য় সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না। তাই এরুপ সমীকরণকে পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট বলা হয়।
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
অনুশীলনের জন্য আরও কিছু উদাহরণ দেওয়া হলঃ
১) নিচের কোন সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল?
ক) x + 3y = 5, 4x + 12y = 20
খ) x + 3y = 5, 4x + 12y = 24
গ) x + 3y = 5, 4x + 2y = 20
ঘ) x + 3y = 5, x + 12y = 24
ব্যাখ্যাঃ
যে সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান পাওয়া যায় তা সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। 
ক) অপশনে x + 3y = 5, 4x + 12y = 20 সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান আছে।
তাই x + 3y = 5, 4x + 12y = 20 সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল।

২) যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা -
ক) সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
খ) অসমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
গ) সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল
ঘ) অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল

ব্যাখ্যাঃ 
যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। 
2x + y = 12
4x + 2y = 5
উপরোক্ত সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
19 = 0 যা অসম্ভব
উপরোক্ত সমীকরণ দুইটির কোন সমাধান নাই। 
তাই যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। 

(x - y, 1) = (0, 2x + y) হলে, x - y = 0 এবং 2x + y = 1 
সমীকরণ দুইটি যোগ করে, 3x = 1 ⇒ x = 1/3 ∴ y = 1/3

x/2 + y/3 = 1 ⇒ x/6 + y/9 = 1/3
x/3 + y/2 = 1 ⇒ x/6 + y/4 = 1/2
y/4 - y/9 = 1/2 - 1/3
⇒ 5y/36 = 1/6
∴ y = 6/5
এখন, x/2 + (6/5)/3 = 1
⇒ x/2 =1 - 2/5 = 3/5
∴ x = 6/5

লব ক ও হর খ হলে, ক + খ = ১৪ এবং খ - ক = ৮
অতএব, খ = ১১
ক = ৩
ভগ্নাংশটি ৩/১১

মনে করি সংখ্যাটি ১০ক + খ
ক + খ= ১০
ক - খ = ৪
অতএব, ক = ৭ এবং খ = ৩
অতএব সংখ্যাটি = ১০ × ৭ + ৩ = ৭৩ 
---------------------------------------
শর্টকাট
অপশনে ৭৩ এর ক্ষেত্রে, ৭ + ৩ = ১০; ৭ - ৩ = ৪ যা প্রশ্নের সাথে মিলে যায়।
৪৬ এর ক্ষেত্রে, ৪ + ৬ = ১০; ৬ - ৪ = ২
৯১ এর ক্ষেত্রে, ৯ + ১ = ১০; ৯ - ১ = ৮
৯৫ এর ক্ষেত্রে, ৯ + ৫ = ১৪; ৯ - ৫ = ৪

log_a400 = 4
a⁴ = 400 = (2√5)⁴
a = 2√5
400 এর লগ 4 হলে, লগের ভিত্তি = 2√5

log₅5√5
= log₅(5.5^½)
= log₅5^3/2
= 3/2 log₅5
= 3/2 × 1
= 3/2

3log2 + log5
= log2³ + log5
= log8 + log5
= log(8 × 5)
= log 40

ধরি, a^x = b
বা, log a^x = logb
বা, xloga = logb
বা, x = logb/loga
অনুরূপভাবে, y = logc/logb এবং z = loga/logc
তাহলে, xyz = (logb/loga). (logc/logb). (loga/logc)
xyz = 1
a^xyz = a¹

(9^x - 4)/(3^x - 2) - 2
= {(3^x)2 - 2²}/(3^x - 2) - 2
= (3^x + 2)(3^x - 2)/(3^x - 2) - 2
= 3^x + 2 - 2
= 3^x

(27/125)^-2/3
=(125/27)^2/3
=5^(3×2/3)/3^(3×2/3)
=5²/3²
=25/9

x = 2 + 2^2/3 + 2^1/3 
⇒ x - 2 = 2^2/3 + 2^1/3
⇒ (x - 2)³ = (2^2/3 + 2^1/3)³
⇒ x³ - 3.x².2 + 3.x.2² - 2³ = (2^2/3)³ + (2^1/3)³ + 3.2^2/3.2^1/3( 2^2/3 + 2^1/3)
⇒ x³ - 6x² + 12x - 8 = 2² + 2¹ + 3.2(x - 2)
⇒ x³ - 6x² + 12x - 8 = 4 + 2 + 6x - 12
⇒ x³ - 6x² + 6x - 2 = 0

(3/2)^x = 2/3
⇒ (2/3)^-x = (2/3)¹
⇒ - x = 1
∴ x = - 1