স্পেশাল বিসিএস (স্বাস্থ্য) - লং কোর্স

প্রশ্ন: যদি n একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে না?

সমাধান:
ধরি, n = 2 (জোড় সংখ্যা)
∴ n² = 2² = 4; যা জোড় সংখ্যা

5(n + 2) = 5 × (2 + 2) = 20; যা জোড় সংখ্যা

(2n + 2) = 2 × 2 + 2 = 6; যা জোড় সংখ্যা

(7n + 3) = 7 × 2 + 3 = 17 ইহা জোড় সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?

সমাধান:
২/৫ = ০.৪
৪/৯ = ০.৪৪৪
২১/৪০ = ০.৫২৫
৩৩/৬৭ = ০.৪৯২

সুতরাং, ২১/৪০ সংখ্যাটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়?
 
সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।

২৪১: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা কারণ এটি শুধুমাত্র ১ এবং ২৪১ দ্বারা বিভাজ্য।

২৬৩: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা কারণ এটি শুধুমাত্র ১ এবং ২৬৩ দ্বারা বিভাজ্য।

২৩৩: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা কারণ এটি শুধুমাত্র ১ এবং ২৩৩ দ্বারা বিভাজ্য।

২৫৩: এটি মৌলিক সংখ্যা নয় কারণ এটি ১ এবং ২৫৩ ছাড়াও অন্য সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য। বিশেষভাবে, ২৫৩ কে ১, ১১, ২৩ এবং ২৫৩ দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে।

প্রশ্ন: √২ সংখ্যাটি কী সংখ্যা?

সমাধান:
যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., √2 = 1.118..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

প্রশ্ন: ০.০০০০১০২৪ এর বর্গমূল কত? 
 
সমাধান:
০.০০০০১০২৪ এর বর্গমূল = √(০.০০০০১০২৪)
= ০.০০৩২

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যা বসবে?


সমাধান: 
১ম চিত্রে,
(৯ × ৫) - ৩
= ৪৫ - ৩
= ৪২

২য় চিত্রে,
(৮ × ৭) - ৪
= ৫৬ - ৪
= ৫২

৩য় চিত্রে,
(৭ × ৯) - ৫
= ৬৩ - ৫
= ৫৮

∴ প্রশ্নবোধক স্থানে ৫৮ বসবে। 

প্রশ্ন: ৮, ১০, ১১, ১৫, ১৪, ২০, ১৭, ? প্রশ্নবোধক স্থানে নিচের কোন সংখ্যাটি বসবে? 

সমাধান: 
এখানে দুইটি ধারা বিদ্যমান। 

৮, ১১, ১৪, ১৭
৮ + ৩ = ১১
১১ + ৩ = ১৪
১৪ + ৩ = ১৭ 
এখানে, ক্রমান্বয়ে ৩ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে 

১০, ১৫, ২০, ?
১০ + ৫ =১৫
১৫ + ৫ = ২০
২০ + ৫ = ২৫ 
এখানে, ৫ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

∴ প্রশ্নবোধক স্থানে বসবে ২৫।

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের পার্থক্য ১০১ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = (বর্গের অন্তর - ১)/২
= (১০১ - ১)/২
= ১০০/২
= ৫০

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যা বসবে?


সমাধান:
৭৯ + ১১১ + ১৪২ = ৩৩২
৪০০ - ৩৩২ = ৬৮

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 9, সংখ্যাটি হতে 9 বিয়োগ করলে এর অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
দশক স্থানীয় অঙ্ক = 9 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - x) + x
= 90  - 10x + x
= 90 - 9x

অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে নতুন সংখ্যাটি হয় = 10x + 9 - x
= 9x + 9

প্রশ্নমতে
90 - 9x - 9 = 9x + 9
81 - 9 = 9x + 9x
18x = 72
x = 72/18
x = 4

∴ সংখ্যাটি = 90 - 9 × 4
= 90 - 36
= 54

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্যতার নীতি - কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।  

এখানে,
৪১৩৭ = ৪ + ১ + ৩ + ৭
= ১৫ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
∴ ৪১৩৭/৩ = ১৩৭৯ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য

৩৫৭৪ = ৩ + ৫ + ৭ + ৪ 
= ১৯ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়

২৬৭৪ = ২ + ৬ + ৭ + ৪
= ১৯ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়

৬৫৪১ = ৬ + ৫ + ৪ + ১
= ১৬ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যা বসবে?


সমাধান:
১ম চিত্রে,
6 + 4 + 8 = 18

18 + 2 = 20

২য় চিত্রে,
7 + 9 + 8 = 24

24 + 2 = 26

৩য় চিত্র,
8 + 14 + 12 = 34

34 + 2 = 36

∴ প্রশ্নবোধক স্থানে 36 বসবে।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x
শর্তমতে,
৩x + ২x = ৯০
⇒ ৫x = ৯০
⇒ x = ১৮

প্রশ্ন: ৫০ থেকে ৯০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে-

সমাধান:
৫০ থেকে ৯০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৮৯
৫০ থেকে ৯০ মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৫৩

৫০ থেকে ৯০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে,
৮৯ - ৫৩
= ৩৬

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৫ এবং ৮ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
৫ ও ৮ এর ল. সা, গু = ৪০
৪০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটিই ৫ ও ৮ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। 

১২০০/৪০ = ৩০
∴ ১২০০ সংখ্যাটি  ৫ ও ৮ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

৪১০, ৫৭০, ৯৮০ সংখ্যাগুলো ৪০ দ্বারা বিভাজ্য বিভাজ্য নয়।

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?
১৬ : ২৬ : : ৩৬ : ?

সমাধান: 
১৬ : ২৬ = ৪^২ : (৪ + ১)^২ + ১
এখানে 
সম্পর্কটি হলো x² : (x + 1)² + 1
৬^২ : (৬ + ১)^২ + ১ 
= ৩৬ : ৫০

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক চিহ্নিত স্থানে কোন সংখ্যা বসবে?


সমাধান:
বৃত্তাকার ঘরগুলোর সংখ্যাগুলো পূর্ণবর্গ সংখ্যা আর এদের বর্গমূলগুলোর গুণফলটি বসেছে আয়তাকার ঘরটিতে।
√16 × √25 = 4 × 5 = 20
√25 × √36 = 5 × 6 = 30
√64 × √49 = 8 × 7 = 56

∴প্রশ্নবোধক চিহ্নিত 56 বসবে

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৫৪২ হতে যত বড় ৬৩০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৫৪২ = ৬৩০ - ক
⇒ ক + ক = ৬৩০ + ৫৪২
⇒ ২ক = ১১৭২
⇒ ক = ১১৭২/২
∴ ক = ৫৮৬

অতএব, সংখ্যাটি ৫৮৬।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১০ ,১২ দিয়ে ভাগ করলে তা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৮, ১০ , ১২ এর ল .সা .গু = ১২০ 
তাই , ১২০ সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা ৮ , ১০ , ১২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: নিচের নাম্বার সিরিজে একটি ভুল আছে। সেটি নির্ণয় করুন।
২, ৫, ৯, ১৪, ২০, ২৭, ৩৫, ৪৩

সমাধান:
সিরিজের সংখ্যাগুলো যেভাবে গঠিত হয়েছে-
২ + ৩ = ৫
৫ + ৪ = ৯
৯ + ৫ = ১৪
১৪ + ৬ = ২০
২০ + ৭ = ২৭
২৭ + ৮ = ৩৫
৩৫ + ৯ = ৪৪

সে অনুসারে পরবর্তী সংখ্যাটি ৩৫ + ৯ = ৪৪ হওয়া উচিত ছিলো।
∴ ৪৩ সংখ্যাটি ভুল।

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক চিহ্নিত স্থানে কোন সংখ্যাটি হবে?


সমাধান:
তরঙ্গটির উপরে ও নিচে দুইটি সমান্তর ধারা রয়েছে। উপরের ধারাতে সাধারণ অন্তর ৭ এবং নিচের ধারাতে সাধারণ অন্তর ৬.

সুতরাং, প্রশ্নবোধক চিহ্নিত স্থানে হবে (২২ + ৭) = ২৯

প্রশ্ন: ৭৫ টাকা ৩০ টাকার শতকরা কত?

সমাধান: 
৭৫ টাকা ৩০ টাকার শতকরা = (৭৫/৩০) × ১০০%
= ২৫০%

প্রশ্ন: একজন শিক্ষার্থীকে বলা হলো একটি সংখ্যাকে ২ দ্বারা গুণ করে তারপর ৩ যোগ কর। সে ভুলবশত প্রথমে ৩ যোগ করল ও পরে ২ দ্বারা গুণ করল। যদি তার উত্তর ২০ হয়, তাহলে সঠিক উত্তর কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(ক + ৩) × ২ = ২০
বা, ২ক + ৬ = ২০
বা, ২ক = ১৪
∴ ক = ৭

∴ সঠিক উত্তর = (ক × ২) + ৩ 
= (৭ × ২) + ৩
= ১৪ + ৩ 
= ১৭

প্রশ্ন: What mathematical sign should be inserted between 2 and 3 so that the sum of the two digits becomes more than 2, but less than 3?

সমাধান:
এখানে, 2 ও 3 এর মধ্যে দশমিক বসালে সংখ্যাটি হয় 2.3, যা 2 থেকে বড় এবং 3 থেকে ছোট।

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ৪১ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
এখানে,
ভাজক = ৪১, ভাজ্য = ১০০০
এখন,
১০০০ কে ৪১ দ্বারা ভাগ করে আমরা পাই,
ভাগফল = ২৪
ভাগশেষ = ১৬
প্রদত্ত সংখ্যার সাথে (৪১ - ১৬) = ২৫ যোগ করতে হবে
∴ চার অংকের নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০ + ২৫ = ১০২৫

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যা বসবে?


সমাধান:
১ম চিত্রে,
১০ + ৩০ + ২৫ + ৫ = ৭০, যা মাঝখানে বসেছে।

২য় চিত্রে,
১ + ২৫ + ৫ + ৩৫ = ৬৬, যা মাঝখানে বসেছে।

৩য় চিত্রে,
১৯ + ১৪ + ১৩ + ১২ = ৫৮, যা মাঝখানে বসবে।

∴ প্রশ্নবোধক স্থানে ৫৮ হবে। 

প্রশ্ন: দুই ইঞ্চি কত সেন্টিমিটারের সমান? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সেন্টিমিটার 
∴ ২ ইঞ্চি = (২.৫৪ × ২) সেন্টিমিটার 
= ৫.০৮ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৫/১৬। এদের একটি ৩/৪ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৫/১৬
একটি ভগ্নাংশ ৩/৪

অপর ভগ্নাংশটি = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ
∴ অপর ভগ্নাংশটি = (১৫/১৬)/(৩/৪)
= (১৫/১৬) × (৪/৩)
= ৫/৪

প্রশ্ন: (০.১ × ০.০৩ × ০.০০৬)/(০.০১ × ০.০৬) এর মান কত?

সমাধান:
(০.১ × ০.০৩ × ০.০০৬)/(০.০১ × ০.০৬)
= ০.০০০০১৮/০.০০০৬
= (১৮ × ১০০০০)/(৬ × ১০০০০০০)
= ০.০৩

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ভিন্ন?

সমাধান:
যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।

পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., √2 = 1.118...,√7 = 2.645751............. ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।

কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
আবার,
দশমিকের পরের ঘরগুলো যদি ভিন্ন ভিন্ন আকারে অসীম হয়, তবে সংখ্যাটি অমূলদ হবে।  
যেমন: 1.1010010001.............

এখানে,
√7 বাদে বাকীসব মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: জটিল সংখ্যা i² এর মান কত?

সমাধান:
জটিল সংখ্যার বিভিন্ন মানসমূহ-
• i = √(-1)
• i² = - 1
• i³ = - i
• i⁴ = 1

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০৫, ১০০১, ২৪৩৬ নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
১০৫, ১০০১, ২৪৩৬ এর গ.সা.গুই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

১০৫ = ৩ × ৫ × ৭
১০০১ = ৭ × ১১ × ১৩
২৪৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৭ × ২৯

∴ গ.সা.গু = ৭
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ৭।

প্রশ্ন: 49 : 343 : :  81 : ? প্রশ্নবোধক স্থানে নিচের কোন সংখ্যাটি বসবে?  

সমাধান:
7² : 7³ = 49 : 343
9² : 9³ = 81 : 729

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ হতে চার বিয়োগ করলে ২০ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে
(ক/৪) - ৪ = ২০
ক/৪ = ২০ + ৪
ক/৪ = ২৪
ক = ২৪ × ৪
ক = ৯৬

প্রশ্ন: ১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
১০০ সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে, ভাগফল = ২০
আবার, ২০০ সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে, ভাগফল = ৪০

∴ ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = (৪০ - ২০) + ১
= ২১ টি