ব্যাংক ডেইলি কুইজ [লং কোর্সের অংশ]

Question: If sin(θ - 30°) = 1/2, then what is the value of cosθ?

Solution:
দেয়া আছে,
sin(θ - 30°) = 1/2
⇒ θ - 30° = 30°
⇒ θ = 60°

এখন,
cosθ
= cos60°
= 1/2

Question: If tanθ = 5/12, then cosecθ = ?

Solution:
এখানে,
tanθ = 5/12 = লম্ব/ভূমি

∴ লম্ব = 5, ভূমি = 12

∴ অতিভুজ = √(5² + 12²)
= √(25+144) = √169 = 13

∴ cosecθ
= অতিভুজ/লম্ব
= 13/5

Question: A ladder 20 meters long leans against a vertical wall. If the ladder makes an angle of 60 degrees with the ground, what is the distance of the foot of the ladder from the wall?

Solution:

মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = 20 m
ধরি, দেয়াল থেকে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব, BC = x
মই ভূমির সাথে যে কোণ তৈরি করে, ∠ACB = 60°

আমরা জানি, cosθ = ভূমি/অতিভুজ
∴ cos 60° = BC/ AC
⇒ 1/2 = x/20
⇒ 2x = 20
∴ x = 10 m

অতএব, দেয়াল থেকে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = 10 m।

Question: What is the minimum value of sin θ?

Solution:
sinθ এর সর্বনিম্ন মান - 1 এবং সর্বোচ্চ মান 1
cosθ এর সর্বনিম্ন মান - 1 এবং সর্বোচ্চ মান 1

Question: A pole 90 meters long breaks into two parts without complete separation and makes an angle of 30° with the ground. Find the length of the broken part of the pole.

Solution:

ধরি, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = 90 m
ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য, AC = x 
অবশিষ্ট অংশটির দৈর্ঘ্য, AB = (90 - x) 

আমরা জানি, 
sin θ = লম্ব/অতিভুজ 
sin 30°= BC/CD
∴ 1/2 = (90 - x)/x
⇒ x = 2(90 - x)
⇒ x = 180 - 2x
⇒ 3x = 180
∴ x = 60 m

অতএব, খুঁটির ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য = 60 meters।

Question: Which trigonometric ratio is undefined in value?

Solution:
sin 90° = 1 
cos 90° = 0
cosec 90° = 1
cot 0° = ∞ (Undefined)

Question: A person 1.8 meters tall sees the top of a tree in a small mirror placed on the ground. The mirror is 1 meter away from the person's feet and 150 meters away from the base of the tree. What is the height of the tree?

Solution:

ধরি, মানুষের উচ্চতা, AB = 1.8 m
মানুষ এবং আয়নার দূরত্ব, BC = 1 m
গাছের উচ্চতা, ED = h
গাছ এবং আয়নার দূরত্ব, CD = 150 m

আলোর প্রতিফলনের সূত্র অনুসারে, ∠ACB = ∠ECD (আপতন কোণ = প্রতিফলন কোণ)।
∴ ΔABC এবং ΔEDC সদৃশ।

সদৃশ ত্রিভুজের ধর্ম অনুসারে:
AB/ED = BC/CD
⇒ 1.8/h = 1/150
⇒ h × 1 = 1.8 × 150
⇒ h = 270 m

অতএব, গাছটির উচ্চতা = 270 meters।

Question:

Solution:

Question: A rope, 40 m long, is tightly stretched and tied from the top of a vertical pole to the ground. Find the height of the pole if the angle made by the rope with the ground level is 45°.

Solution:

ধরি, খুঁটির উচ্চতা (Height of the pole), AB = h
দড়ির দৈর্ঘ্য (Length of the rope), AC = 40 m
দড়ি ভূমির সাথে যে কোণ তৈরি করে, ∠ACB = 45°
আমরা জানি, sinθ = লম্ব/অতিভুজ
∴ sin 45° = AB / AC
⇒ 1/√2 = h / 40
⇒ h = 40/√2
⇒ h = (40√2)/(√2 × √2)
∴ h = 20√2 m

অতএব, খুঁটির উচ্চতা = 20√2 m

Question:

Solution:

Question: Two ships are sailing in the sea on the two sides of the lighthouse. The angles of elevation of the top of the lighthouse observed from the ships are 30° and 60°, respectively. If the lighthouse is 60 m high, what is the distance between the two ships?

Solution:

দেওয়া আছে, বাতিঘরের উচ্চতা AD = 60 m।
জাহাজ দুটির অবস্থান B এবং C; মোট দূরত্ব BC = BD + DC
উন্নতি কোণ: ∠ABD = 30° এবং ∠ACD = 60°

প্রথমে, ΔADC থেকে DC নির্ণয় করি:
tan 60° = AD/DC
 ⇒ √3 = 60/DC
⇒ DC = 60/√3
⇒ DC = (60√3)/3 
⇒ DC = 20√3 m

এরপর, ΔADB থেকে BD নির্ণয় করি:
tan 30° = AD/BD
⇒ 1/√3 = 60/BD
⇒ BD = 60√3 m

তাহলে, BC = BD + DC = 60√3 + 20√3 = 80√3 m

অতএব, জাহাজ দুটির মাঝের দূরত্ব = 80√3 m

Question:

Solution:

Question: Find the value of sin(7π/6).

Solution:
sin(7π/6)
= sin(π + π/6) [যেহেতু (π + θ) তৃতীয় চতুর্ভাগে পড়ে এবং তৃতীয় চতুর্ভাগে sin ঋণাত্মক, তাই sin(π + θ) = - sinθ]
= - sin(π/6)
= - sin(30°)
= - 1/2

Question: An observer who is 1.5 meters tall is standing 10√3 meters away from a flagpole. If the angle of elevation from his eye to the top of the flagpole is 30°, what is the height of the flagpole?

Solution:

এখানে,
পর্যবেক্ষকের উচ্চতা, CD = 1.5 মিটার
এখানে, CD = EB
পতাকা দণ্ডের (Flagpole) উচ্চতা, = AB

Now,
tan∠C = AE/CE
⇒ tan30° = AE/10√3
⇒ 1/√3 = AE/10√3 
∴ AE = 10

∴ AB = AE + BE 
= 10 + 1.5
= 11.5 m

Question: Find the greatest value of sin⁶A + cos⁶A.

Solution:
We know,
sin²A + cos²A = 1
⇒ (sin²A + cos²A)³ = 1³
⇒ (sin²A)³ + (cos²A)³ + 3 sin²A cos²A (sin²A + cos²A) = 1
⇒ sin⁶A + cos⁶A + 3 sin²A cos²A (1) = 1
⇒ sin⁶A + cos⁶A = 1 - 3 sin²A cos²A
⇒ sin⁶A + cos⁶A = 1 - 3 sin²90° cos²90°
[প্রদত্ত রাশির সর্বোচ্চ মান পেতে হলে, 1 থেকে যে রাশিটি বিয়োগ করা হচ্ছে, সেই 3sin²Acos²A রাশিটির সর্বনিম্ন মান হতে হবে। এটি হয় যখন A = 0° অথবা A = 90°]
⇒ sin⁶A + cos⁶A = 1 - 3(1² × 0²)
⇒ sin⁶A + cos⁶A = 1 - 0
∴ sin⁶A + cos⁶A = 1