ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাণ 40° হলে অপর দুটি কোণের প্রত্যেকটির পরিমাণ হবে- 

সমাধান:


ধরি,
△ABC ত্রিভুজে, AB = AC
∴ ∠B = ∠C

এখান △ABC-এ, 
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 40° + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 180° - 40°
⇒ ∠B + ∠C = 140°
⇒ 2∠B = 140°
⇒ ∠B = 140°/2
∴ ∠B = 70°

প্রশ্ন: △ABC-এ, A = 40°, C = 80° এবং BC ∥ EF হলে, ∠BEF =? 


সমাধান:
BC ∥ EF এবং AC ছেদক।
∴ ∠AFE = ∠C = 80°

∴ বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান 
∴ ∠BEF = ∠A + ∠AFE 
∴ ∠BEF = 80° + 40°
∴ ∠BEF = 120°

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। 

এখানে, 
ক) ৩ + ৫ = ৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয় 
খ) ৫ + ৭ < ১৫ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয় 
গ) ৭ + ৮ > ৯ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব
ঘ) ৮ + ৯ < ১৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 23 cm এবং পরিসীমা 50 cm হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ভূমি = a
লম্ব = b
অতিভুজ = c = 23 cm
পরিসীমা = a + b + c = 50 cm 

প্রশ্নমতে,
a + b + c = 50 
⇒ a + b = 50 - c
⇒ a + b = 50 - 23 
⇒ a + b = 27 
⇒ (a + b)² = 27²
⇒ a² + 2ab + b² = 729
⇒ c² + 2ab = 729  [a² + b² = c², পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২]
⇒ 2ab = 729 - c²
⇒ 2ab = 729 - (23)²
⇒ 2ab = 729 - 529
⇒ 2ab = 200
∴ ab = 100

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × ab 
= (1/2) × 100
= 50 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 50 বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯১ বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১৪ গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 


ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14
= 7 × ভূমি 

প্রশ্নমতে,
7 × ভূমি = 91
⇒ ভূমি = 91/7
∴ ভূমি = 13

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য ১৩ গজ

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) a²

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) a² = ৬৪√৩
⇒ a² = ৬৪ × ৪
⇒ a² = ২৫৬
⇒ a = √২৫৬
∴ a = ১৬  

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার 

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 30 মিটার এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি 25 মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 


আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (b/4)√(4a² - b²)

এখানে, 
a = 25 m
b = 30 m 

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (30/4)√{4(25)² - (30)²}
= (30/4)√(2500 - 900)
= (30/4)√1600
= (30/4) × 40
= 300 

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গমিটার যেখানে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটি অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ৬ মিটার। তাহলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?  

সমাধান:
এখেন, 
h = ৬ মিটার (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব)

ধরি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম বাহু =  a 
এবং বৃহত্তম বাহু a + ৪

প্রশ্নমতে,
(১/২) × h × (a + a + ৪) = ৬০ 
⇒ (১/২) × ৬ (২a + ৪) = ৬০
⇒ ৩(২a + ৪) = ৬০
⇒ ২a + ৪ = ২০
⇒ ২a = ১৬
⇒ a = ১৬/২
∴ a = ৮ 

∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের বৃহত্তম বাহুর  দৈর্ঘ্য = ৮ + ৪ = ১২ মিটার   

প্রশ্ন: দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত হলো:
- দুইটি ত্রিভুজের একটির দুইটি বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমান হয় এবং বাহুদুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ দুটি পরস্পর সমান হয়। 
- একটি ত্রিভুজের তিন বাহু যথাক্রমে অপরটির তিন বাহুর সমান হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুতি কোণ ও এদের সংলগ্নবাহু যথাক্রমে অপরটির দুটি কোণ ও তাদের সংলগ্নবাহু সমান হয়। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 49 বর্গমিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?  

সমাধান: 
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 49 বর্গমিটার
a² = 49
∴ a =  7 

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a = √2 × 7 = 7√2

প্রশ্ন:  ১৫ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৮ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মসজিদের মেঝে ৪ মিটার লম্বা এবং ১.৫ মিটার চওড়া কতটি মাদুর দিয়ে ঢাকা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মসজিদের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার
মসজিদের প্রস্থ = ৮ মিটার
∴ মসজিদের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ৮) = ১২০ বর্গমিটার 

আবার,
মাদুরের দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার
মাদুরের প্রস্থ = ১.৫ মিটার 
∴ মাদুরের ক্ষেত্রফল = (৪ × ১.৫) = ৬ বর্গমিটার  

∴ মাদুরের সংখ্যা = (১২০/৬) = ২০ টি

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ অর্থাৎ ১৮০°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সে.মি ও 18 সে.মি হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (1/2) × 15 × 18
= 15 × 9
= 135 বর্গ সে.মি 

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রে কোনটি সত্য নয়? 

সমাধান: 
সামান্তরিকের বৈশিষ্ট:
- বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
- বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান। 
- এর কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।

প্রশ্ন: নিচের কোন চতুর্ভুজের কোণগুলো পরস্পর সমান কিন্তু সবগুলো বাহু সমান নয়? 

সমাধান: 
আয়তক্ষেত্রের সবগুলো কোণ পরস্পর সমান কিন্তু সবগুলো বাহু সমান নয়। 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ হলে এর দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত কত? 

সমাধান: 
মনেকরি,
প্রস্থ = a মিটার
দৈর্ঘ্য = 2a মিটার 
 
পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= 2(a + 2a) 
= 6a 

∴ দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত = 2a : 6a = 1 : 3

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠A = 65° হলে, ∠B = কত?

সমাধান: 


AB কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি।
AD BC, AE ছেদক 
∠CBE = A = 65°
∠B = 180° - 65° = 115°

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ? 

সমাধান: 
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক 
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক 

∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯/১) = ৯ গুণ

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি- 

সমাধান: 


∠ABD =∠ACE
⇒ 180 - ∠ABD = 180 - ∠ACE
⇒ ∠ABC = ∠ACB
∴ AB = AC

∴ △ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 91 বর্গ মিটার। এর ভূমি 13 মিটার হলে, উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
96 = 12 × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = 96/12 
∴ উচ্চতা = 8

∴ সামান্তরিকের উচ্চতা = 8 মিটার

প্রশ্ন: রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর মধ্যবিন্দুতে ছেদ করলে কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত হবে? 

সমাধান: 
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।