প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

দেওয়া আছে, 
x - 1/x = 2 

আমরা জানি, 
x² + (1/x)² = (x -1/x)² + 2.x.(1/x)
                  = 2² + 2 
                  = 4 + 2  
                   = 6

a⁴- 27a²  +1  
= (a²)² - 2.a².1 + 1² - 25a² 
= (a² - 1)² - (5a)²
= (a² - 1 + 5a) (a² - 1 - 5a)
= (a² + 5a -1) (a² - 5a - 1)

    x² - 10xy - 11y² 
= x² - 11xy + xy -11y² 
= x(x - 11y) + y (x - 11y)
= (x - 11y) (x + y)

     x² - 2ax + (a + b)(a - b)  
 = x² - 2ax + a²- b² 
 = (x - a)² - b²
 = (x - a + b) (x - a - b)
 

দেওয়া আছে, 
x² - √3x = 1
x² - 1 = √3x
x - 1/x = √3

আমরা জানি 
x³ - (1/x)³ = (x - 1/x)³ + 3x.(1/x)(x - 1/x)
                = (√3)³ + 3√3
                = 3√3 + 3√3
                = 6√3

    x² + 2xy - 2y - 1 
= x² + 2xy - 2y - 1 
= x² - 1² + 2y (x - 1)
= (x + 1)(x - 1) + 2y(x - 1)
= (x - 1) (x + 1 + 2y)
= (x - 1) (x + 2y + 1)

দেওয়া আছে, 
 (x + 1/x)² =3
  x + 1/x =√3

আমরা জানি, 
x³ +(1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3x (1/x) (x + 1/x)   
                =  (√3)³ - 3√3
                = 3√3 - 3√3 
                 = 0

x⁴ +x² - 20 
=x⁴ + 5x² - 4x² - 20
= x²( x² + 5) - 4(x² + 5)
= (x²+ 5) (x² - 4)
= (x²+ 5) (x² - 2²)
= (x²+ 5) (x + 2)(x - 2)

দেওয়া আছে,
x² + y² = 8 
xy = 7 

আমরা জানি, 
( x + y)² = x² + y² + 2xy 
              = 8 + 2 × 7 
              = 8 + 14 
               = 22

দেওয়া আছে, 
a + b = √5
a - b= √3 

আমরা জানি,
4ab = (a+b)² - (a - b)² 
       = (√5)² - (√3)²
       = 5 - 3 
       = 2

দেওয়া আছে,
x + y = 13
x - y = 3

 x² + y² = (1/2) {(x + y)²+(x - y)²}
              = (1/2) (13² + 3²)
              = (1/2) (169 + 9)
              = 178/2
              = 89

7 - 2[ - 6 + 3 { - 5 + 2(4 - 3)}] 
⇒7 - 2[ - 6 + 3 { - 5 + 2×1}]
⇒7 - 2[ - 6 + 3 { - 5 + 2}]
⇒7 - 2[ - 6 + 3 {- 3}]
⇒7 - 2[ - 6 - 9]
⇒7 - 2[ - 15]
⇒7 + 30 
∴ 37

দেওয়া আছে, 
a - b = 3 
a² + b² =29

আমরা জানি,
 a² + b² = (a - b)² + 2ab
29 = 3² + 2ab
29 - 9 = 2ab 
20 = 2ab
ab= 20/2
ab = 10

a² - 1 - b(b - 2) 
= a² - 1 - b² + 2b 
= a² - (b² - 2b + 1)
= a² - (b - 1)²
= {a + (b - 1)}{a - (b - 1)}
= (a + b - 1) (a - b + 1)

দেওয়া আছে, 
             p - q = r

এখানে 
p³ - q³ - r³ = (p - q)³ + 3pq(p - q) - r³
                   = r³ + 3pqr - r³
                   = 3pqr

দেওয়া আছে,
x² - 5x +1 =0
x² + 1= 5x

এখন 
x/(x² - 2x +1) = x/(x² +1- 2x )
                      = x/(5x - 2x)
                      = x/3x
                       = 1/3

   - a - [ - 3b - { - 2a - (- a - 4b)}]
= - a - [ - 3b - { - 2a + a + 4b}
= - a - [ - 3b - { - a + 4b }
= - a - [ - 3b + a - 4b] 
= - a - [ - 7b +a ]
= - a +7b - a 
∴ 7b - 2a 

দেওয়া আছে, 
    x² − √6x + 1=0
⇒ x² + 1 =√6x
⇒ x²/x + 1/x = √6
⇒ x + 1/x = √6

এখন 
(x - 1/x)² = (x  + 1/x)² - 4.x.1/x
(x - 1/x)² = (√6)² - 4 
(x - 1/x)² = 6 - 4 
(x - 1/x)² = 2 
x - 1/x =√2

x² - (1/x)² = (x + 1/x)(x - 1/x)
                 = √6 × √2 
                 = √12
                 = 2√3

দেওয়া আছে
a + b = √7,   
a - b  = √5

এখন,
8ab(a²+b²) = 4ab. 2(a²+b²)
                  = {(a+b)² - (a - b)² }.{(a+b)² + (a - b)² }
                  = {(√7)² - (√5)²}.{(√7)² + (√5)²}
                  = (7 - 5) .( 7 + 5)
                  = 24

   3x² - x - 14 
= 3x² - 7x + 6x - 14 
= x(3x - 7) + 2(3x - 7)
= (3x - 7)(x + 2)

দেওয়া আছে, 
x + y = 7 
x - y = 5

x² + y² = (1/2){(x + y)² + (x - y)²}
            = (1/2) (7²+ 5²)
            = (1/2) (49 + 25 )
            = 74/2
            = 37 
 

দেওয়া আছে,
      x² - 3x + 1 = 0
=> x² + 1 = 3x
=> (x² + 1)/x = 3x/x (x দ্বারা ভাগ করে)
=> x + 1/x = 3

এখন,
      (x- 1/x)² = (x + 1/x)² - 4x.(1/x)
      (x- 1/x)²  = (3² - 4)
      (x- 1/x)  = √5

∴  x² - (1/x)² =  (x + 1/x) (x- 1/x)
                 = 3√5