১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

2^{2x + 1} = 128
⇒ 2^{2x + 1} = 2⁷
⇒ 2x + 1 = 7
⇒ 2x = 7 - 1
⇒ 2x = 6
∴ x = 3

= 2ⁿ(2⁴ - 4 . 2¹)/2ⁿ(2²/2)
= 8/2
= 4

(- 3)³ × (- 1/2)²
= - 27 × 1/4
= - 27/4

a^b = b^a 
⇒ (2b)^b = b^2b
⇒ (2b)^b = (b²)^b
⇒ 2b = b²
⇒ b = 2

লগের ভিত্তি x হলে, 
log_x400 = 4
⇒ x⁴ = 400
⇒ (x²)² = (20)²
⇒ x² = 20
⇒ x = √20
⇒ x = 2√5

5^log₅2 + 7^log₇9
= 2 + 9 [ a^log_ab = b ]
= 11 

a > 1 এবং 0 < x < 1 শর্তে log_ax < 0 হবে। (স্বতসিদ্ধ)

log_a√a × log_b√b × log_c√c
= log_aa^1/2 × log_bb^1/2 × log_cc^1/2
= 1/2 log_aa × 1/2log_bb × 1/2 log_cc
= 1/2 ×1/2 ×1/2 log_aa × log_bb × log_cc
= 1/8

log_k(1 + x)/log_kx = 2
⇒ log_k(1 + x) = 2log_kx
⇒ log_k(1 + x) = log_kx²
⇒ 1 + x = x²
⇒ x² - x - 1 = 0
∴ x = {1 + √(1 + 4)}/2
       = (1 + √5)/2 
কিন্তু x ≠ (1 - √5)/2 কারণ x এর মান ঋণাত্মক হতে পারেনা

n = 1; cos(nπ/2) = cos(π/2) = 0
n = 2; cos(nπ/2) = cos(2π/2) = - 1
n = 3; cos(nπ/2) = cos(3π/2) = 0
n = 4; cos(nπ/2) = cos(4π/2) = 1
-----------------------------------
cos(nπ/2) এর অনুক্রম: 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, --- --- ---

1 - 1 + 1 - 1 + --- --- --- ধারাটির আংশিক সমষ্টি, S_n = 0 যখন n জোড় সংখ্যা
1 - 1 + 1 - 1 + --- --- --- ধারাটির আংশিক সমষ্টি, S_n = 1 যখন n বিজোড় সংখ্যা

a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- গুণোত্তর ধারাটির n তম পদ কত = ar^{n - 1}

প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং ।r। < 1 হলে,
a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- অসীম গুণোত্তর ধারাটির সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/3
সাধারণ অনুপাত, r = (1/3²) ÷ (1/3) = 1/3 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
= (1/3) ÷ (1 - 1/3)
= (1/3) ÷ (2/3)
= 1/2

কোন অনুক্রমের n তম পদ 1/n(n + 1) হলে,
৩য় পদ = 1/3(3 + 1) = 1/12

১ম পদ = 1/(a + 1)
সাধারণ অনুপাত = 1/(a + 1) ÷ 1/(a + 1)² = 1/(a + 1)
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ।1/(a + 1)। < 1 হয়।

n = 1 হলে, ধারাটির ১ম পদ (a) /১ম পদের সমষ্টি (s) = 1(1 + 1) = 2

n = 2 হলে, ধারাটির ১ম দুটি পদের সমষ্টি (s) = 2(2 + 1) = 6
∴ ধারাটির ২য় পদ = 6 – 2 = 4

n = 3 হলে, ধারাটির ১ম তিনটি পদের সমষ্টি = 3(3 + 1) = 12
∴ ধারাটির ৩য় পদ = 12 – (2 + 4) = 6

তাহলে, ধারাটি 2 + 4 + 6 +………………………

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/5
সাধারণ অনুপাত,
r = (- 2/5²) ÷ (1/5)
   = - 2/5 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
     = (1/5)/(1 + 2/5)
     = 1/7

পদ সংখ্যা = (59 - 5)/6 + 1 = 10
অতএব, সমষ্টি
= 10/2{2 × 5 + (10 - 1)6}
= 5(10 + 54)
= 5 × 64
= 320

পদ সংখ্যা
= (শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারন অন্তর + ১
= (- 23 - 29)/(- 4) + 1
= - 52/(- 4) + 1
= 13 + 1
= 14

1 + 3 + 5 + 7 + --- --- --- + (2p - 1) = p²

ধারাটির 100 তম পদ
= 5 + (100 - 1)3 [ ১ম পদ, a = 5 এবং সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3 এবং n = 100 ]
= 5 + 99 × 3
= 5 + 297
= 302

কোনো ধারার n তম পদ 7n - 2 হলে,
ধারাটির নবম পদ
= 7 × 9 - 2
= 63 - 2
= 61

কোনাে ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n²+1) হলে, ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি
= 7(7² + 1)
= 7(49 + 1)
= 7 × 50
= 350

সমস্যাটিকে ধারায় সাজালে আমরা পাই, 
1200 + (1200 + 100) + (1200 + 200) + --- --- ----
ধারাটির ১ম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 100 
18-তম মাসে সঞ্চয় করেন
= 1200 + (18 - 1)100
= 1200 + 17 × 100
= 1200 + 1700
= 2900