প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

বিহারীলাল চক্রবর্তী আধুনিক বাংলা গীতিকবিতার অন্যতম পুরোধা এবং রবীন্দ্রনাথের কাব্যগুরু হিসেবে পরিচিত।
- তিনি ১৮৩৫ সালের ২১ মে কলকাতায়  জন্মগ্রহণ করেন।
- তাঁদের আদি পারিবারিক পদবি ছিল ‘চট্টোপাধ্যায়’।
 
- আধুনিক বাংলা সাহিত্যে গীতি কবিতার প্রবর্তক বিহারীলাল চক্রবর্তী।
- রবীন্দ্রনাথ ঠাকুর বিহারীলাল চক্রবর্তীকে 'ভোরের পাখি' বলে আখ্যায়িত করেন।
- কারণ বিহারীলালই প্রথম বাংলায় ব্যক্তির আত্মলীনতা, ব্যক্তিগত অনুভূতি ও গীতোচ্ছ্বাস সহযোগে কবিতা রচনা করে বাংলা কবিতাকে নতুন এক প্রেরণা দান করেন। এ ক্ষেত্রে তিনি ছিলেন প্রথম।
- এইজন্য রবীন্দ্রনাথ ঠাকুর তাকে 'ভোরের পাখি' বলে আখ্যায়িত করেন।

বিহারীলাল চক্রবর্তী কাব্যগ্রন্থ গুলো:
- স্বপ্নদর্শন (১৮৫৮),
- সঙ্গীতশতক (১৮৬২)
- বন্ধুবিয়োগ (১৮৭০),
- প্রেমপ্রবাহিণী (১৮৭০),
- নিসর্গসন্দর্শন (১৮৭০),
- বঙ্গসুন্দরী (১৮৭০),
- সারদামঙ্গল (১৮৭৯),
- নিসর্গসঙ্গীত (১৮৮১),
- মায়াদেবী (১৮৮২),
- দেবরাণী (১৮৮২),
- বাউলবিংশতি (১৮৮৭),
- সাধের আসন (১৮৮৮-৮৯) এবং
- ধূমকেতু (১৮৯৯) উল্লেখযোগ্য।

[উৎসঃ বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর ও বাংলাপিডিয়া।]

রোকেয়া সাখাওয়াত হোসেন একজন সাহিত্যিক, শিক্ষাব্রতী, সমাজসংস্কারক এবং নারী জাগরণ ও নারীর অধিকার আন্দোলনের অন্যতম পথিকৃৎ।
- ১৮৮০ সালের ৯ ডিসেম্বর রংপুর জেলার মিঠাপুকুর থানার অন্তর্গত পায়রাবন্দ ইউনিয়নে এক সম্ভ্রান্ত মুসলিম জমিদার পরিবারে তিনি জন্মগ্রহণ করেন।
- নারী জাগরণের অগ্রদূত এবং আলোর দিশারী বেগম রোকেয়ার জীবনকাল ছিল মাত্র বায়ান্ন বছর। ১৯৩২ সালের ৯ ডিসেম্বর কলকাতায় তাঁর মৃত্যু হয়। 

বেগম রোকেয়া রচিত  গ্রন্থ -
- মতিচুর,
- অবরোধবাসিনী,
- Sultana's Dream ইত্যাদি।

উপন্যাস:
-পদ্মরাগ

উল্লেখ্য 
'বাঙালি মুসলমানের মন' প্রবন্ধটির রচিয়তা আহমদ ছফা
'যে তুমি হরণ করাে' গ্রন্থটির রচিয়তা আবুল হাসান
'স্বদেশ চিন্তা' গ্রন্থটির রচিয়তা আহমদ শরীফ

[উৎস: ড. সৌমিত্র শেখর রচিত বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা ও বাংলাপিডিয়া ]

আবু ইসহাক একজন কথাসাহিত্যিক, অভিধান-প্রণেতা।
 তিনি ১৯২৬ সালের ১ নভম্বরজন্ম শরিয়তপুর জেলার শিরঙ্গল গ্রামে জন্ম গ্রহণ করেন। 
- বিশ্বযুদ্ধ, দুর্ভিক্ষ, সাম্প্রদায়িক দাঙ্গা, দেশবিভাগ প্রভৃতি পরপর চারটি বড় ঐতিহাসিক ঘটনার পটভূমিতে তিনি রচনা করেন সূর্য দীঘল বাড়ী (১৯৫৫)।
- আবু ইসহাকের দ্বিতীয় উপন্যাস পদ্মার পলিদ্বীপ (১৯৮৬); এ উপন্যাসে পদ্মার বুকে জেগে-ওঠা চরের শ্রমজীবী মানুষের জীবন-সংগ্রামের কথা আছে।
- তাঁর তৃতীয় উপন্যাস 'জাল'। এটি গোয়েন্দা কাহিনী নির্ভর উপন্যাস।

 - কাজী নজরুল ইসলাম সম্পাদিত নবযুগ পত্রিকায় আবু ইসহাকের ‘অভিশাপ’ নামে একটি গল্প প্রকাশিত হয়।
- তাঁর স্মৃতিচারণমূলক রচনা 'স্মৃতিবিচিত্রা' প্রকাশিত হয় ২০০১ সালে।

তাঁর প্রকাশিত গল্পগ্রন্থ দুটি
- হারেম (১৯৬২) ও
- মহাপতঙ্গ  (১৯৬৩)।

তিনি ‘বাংলা একাডেমী সাহিত্য পুরস্কার’ (১৯৬৩), ‘একুশে পদক’ (১৯৯৭), ‘স্বাধীনতা পদক’ (মনণোত্তর, ২০০৪) লাভ করেন।  

[উৎসঃ বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর, বাংলাপিডিয়া ]

কবি জসীমউদ্দীন একজন প্রখ্যাত বাঙালি কবি।
- ফরিদপুর জেলার তাম্বুলখানা গ্রামে মাতুলালয়ে তাঁর জন্ম।
- পুরো নাম মোহাম্মদ জসীমউদ্দীন মোল্লা হলেও তিনি জসীমউদ্দীন নামেই পরিচিত।
- তিনি বাংলাদেশে পল্লীকবি হিসেবে পরিচিত।

কবি জসীমউদ্দিন রচিত 'নক্সী কাঁথার মাঠ' একটি বিখ্যাত গাথাকাব্য।
- এটি ১৯২৯ সালে প্রকাশিত হয়।
- E.M Millford গ্রন্থটি ''Field of the Embroidery Quilt'' শিরোনামে অনুবাদ করেন।

তাঁর রচিত অন্যান্য কাব্যগ্রন্থ-
- সোজন বাদিয়ার ঘাট 
- মা যে জননী কান্দে 

তাঁর রচিত নাটক
- পদ্মাপাড়,
- বেদের মেয়ে,
- মধুমালা,
- পল্লীবধূ,
- গ্রামের মায়া ইত্যাদি।

শিশুতোষ গ্রন্থঃ
- হাসু
- এক পয়সার বাঁশী
- ডালিমকুমার

তাঁর রচিত একমাত্র উপন্যাস: বোবা কাহিনী

[উৎসঃ বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর, বাংলাপিডিয়া।]

সন্ধির প্রচলিত নিয়ম না মেনে যে সন্ধি হয় তাকে নিপাতনে সিদ্ধ সন্ধি বলে

কয়েকটি নিপাতনে সিদ্ধ সন্ধির উদাহরণ হলো:
- প্র + ঊঢ় = প্রৌঢ়
- কুল + অটা = কুলটা
- গো + অক্ষ = গবাক্ষ
- গো + অস্থি = গবাস্থি
- গো + ইন্দ্র = গবেন্দ্র

[উৎস: ভাষা- শিক্ষা, ড. হায়াৎ মাহমুদ]

'কাছাঢিলা' বাগধারার অর্থ-'অসাবধান'
'ঊনপাঁজুরে' বাগধারার অর্থ- 'দূর্বল'
'অজগর বৃত্তি' বাগধারার অর্থ- 'অলস'
তুলসী বনের বাঘ বাগধারার অর্থ- 'ভন্ড / শয়তান'


[উৎস: ভাষা- শিক্ষা, ড. হায়াৎ মাহমুদ বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি সংস্করণ ২০২১]

কিছু কর্মধারয় সমাসে সমস্যমান পদের মধ্যবর্তী এক না একাধিক পদ লোপ পায়। এগুলো মধ্যপদলোপী কর্মধারয় সমাস নামে পরিচিত।
যেমনঃ
ঘি মাখানো ভাত= ঘিভাত
ঘরে আশ্রিত জামাই= ঘরজামাই
বিজয় নির্দেশক পতাকা = বিজয়-পতাকা

উপমান পদের সঙ্গে সাধারণ ধর্মবাচক পদের যে সমাস হয় তাকে উপমান কর্মধারয় সমাস বলে।
এই সমাসে একটা বিশেষণ পদ থাকে। 
যেমনঃ
- কুসুমের ন্যায় কোমল= কুসুমকোমল
- রক্তের ন্যায় লাল= রক্তলাল
- শশের ন্যায় ব্যস্ত = শশব্যস্ত
- মিশির মতো কালো= মিশকালো

যে কর্মধারয় সমাসে উপমান ও উপমেয় পদের সমাস হয়, তাকে উপমিত কর্মধারয় সমাস বলে।
- এই সমাসের দুটো পদই বিশেষ্য হয়। যেমনঃ 
- পুরুষ সিংহের ন্যায়= সিংহপুরুষ 
- আঁখি পদ্মের ন্যায়= পদ্মআঁখি
- মুখ চন্দ্রের ন্যায়= চন্দ্রমুখ

[উৎস: ভাষা- শিক্ষা, ড. হায়াৎ মাহমুদ বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি সংস্করণ ২০২১]

Fill in the gap with preposition:
Ashamed এর পরে preposition ‘of’ হয়।
Example:
- He is ashamed of himself.
- He is ashamed of what he has done.

In Linguistics,
Phonology (ধ্বনিতত্ত্ব) = The systematic organization of sounds in spoken languages and signs in sign languages.
Morphology (শব্দতত্ত্ব/রূপতত্ত্ব) = The study of the forms of words
Etymology (শব্দের ব্যুৎপত্তি-সম্বন্ধে বিজ্ঞান) = The origin of a word and the historical development of its meaning.
Syntax (বাক্যতত্ত্ব/পদক্রম) = The arrangement of words and phrases to create well-formed sentences in a language.
Semantics (অর্থতত্ত্ব) = The branch of linguistics and logic concerned with the meaning of a word, phrase, sentence, or text.

Source: Oxford Dictionary.

- বাক্যটি Negative হলে Tag question টি Affirmative হবে।
- আবার, বাক্যটি Affirmative হলে Tag question টি Negative হবে।
- Be Verb, Have Verb ও Modal Verb গুলো থাকলে সেগুলোর Negative form বসাতে হয়, আবার Negative form থাকলে Affirmative form বসাতে হয়।
- Tag Question –এ Pronoun Form বসাতে হয়। একের অধিক প্রাণি বা বস্তুকে বোঝালে they বসে।
- অতএব, সঠিক Tag question হলোঃ People can't fly, can they?

- সাধারণত কখন, কোথায়, কিভাবে, কেন, শর্ত, কারণ, ফলাফল ইত্যাদি বুঝালে Adverb হয়।
- Adverb এমন একটি part of speech যা একটি verb, adjective, অন্য আর একটি adverb অথবা পুরো একটি বাক্যকে মডিফাই করতে পারে। 
তাছাড়া always এখানে runs, verb কে মডিফাই করেছে। তাই always শব্দটি একটি Adverb।
Example:
Always lock your bicycle to something secure.
I’ve always wanted to go to Paris.

ব্যাখ্যা: কিছু verb দেখতে singular হলেও এরা plural subject এবং এরা plural verb গ্রহণ করে।
যেমন: Gentry, Nobility, Vermin, Perfumery, public, Mankind, People.

Source: Applied English Grammar and Composition by P C Das

প্রথমত, Direct speech এ reporting verb (said) past tense এ থাকায়, Indirect speech এ reported speech এর verb ও past tense এ থাকবে।
অর্থাৎ তা was হবে।
দ্বিতীয়ত, exclamatory sentence এ how থাকলে assertive sentence এ very বসে।
তাই, প্রশ্নোক্ত বাক্যটির সঠিক Indirect speech হচ্ছে-
He exclaimed that the sight was very charming.

- The Noun form of the given word cowardly will be cowardice.
- Meaning: lack of bravery.
- Ex: My cowardice got the better of me and I crept out of the room.

Allow (Verb)
Meaning: Let (someone) have or do something.
Synonym:
- permit,
- let,
- authorize,
- give someone permission to,
- give authorization to,
- give leave to,
- sanction,
- grant,
- grant someone the right,
- license

Source: Oxford Dictionary

তমদ্দুন মজলিশ:
তমদ্দুন মজলিশ  ইসলামী আদর্শাশ্রয়ী একটি সাহিত্য ও সাংস্কৃতিক সংগঠন। দেশে ইসলামী আদর্শ ও ভাবধারা সমুন্নত করার প্রত্যয় নিয়ে ভারত বিভাগের অব্যবহিত পরেই ঢাকায় গড়ে উঠে এই সংগঠনটি।
- ১৯৪৭ সালের ২ সেপ্টেম্বর ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের কিছু ছাত্র ও অধ্যাপকের উদ্যোগে তমদ্দুন মজলিশ প্রতিষ্ঠিত হয়।
- এই প্রতিষ্ঠানের উদ্দেশ্য ছিলো - বাংলা ভাষার মাধ্যমে সংস্কৃতির সেবা করা। পাকিস্তান সৃষ্টির পর বাংলা ভাষার পক্ষে সংস্থাটির ভূমিকা ছিলো প্রাথমিক ও গুরুত্বপূর্ণ।
- ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের পদার্থবিজ্ঞান বিভাগের অধ্যাপক আবুল কাশেমের উদ্যোগে এটি প্রতিষ্ঠিত হয় এবং তিনি এই সংগঠনের প্রতিষ্ঠাতা সাধারণ সম্পাদক ছিলেন।
- তমদ্দুন মজলিশের মুখপত্র ছিলো - সাপ্তাহিক সৈনিক পত্রিকা। এটি প্রথম প্রকাশিত হয় ১৯৪৮ সালের ১৪ নভেম্বর (২৮ কার্তিক ১৩৫৫)। শুরুতে সৈনিক পত্রিকার সম্পাদকমন্ডলীর সভাপতি ছিলেন শাহেদ আলী এবং পরে সভাপতি হন আবদুল গফুর।

১৯৪৭ সালের ১৬ সেপ্টেম্বর "পাকিস্তানের রাষ্ট্রভাষা বাংলা না উর্দু?" শিরোনামে বাংলা ভাষার পক্ষে তমদ্দুন মজলিশ একটি পুস্তিকা প্রকাশ করে।

উৎস: স্বাধীনতা যুদ্ধের দলিলপত্র (প্রথম খন্ড), পৃষ্ঠা - ৪৯ ও বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা : নবম-দশম শ্রেণী।

উল্লেখ্য,
বাজারের গাইড বই এমনকি অনেক বোর্ড বইতে "পাকিস্তানের রাষ্ট্রভাষা বাংলা না উর্দু?" পুস্তিকাটি প্রকাশের তারিখ হিসাবে ১৫ সেপ্টেম্বর দেওয়া যা সঠিক নয়।
তবে পরীক্ষায় প্রশ্নের অপশনে যদি ১৬ সেপ্টেম্বর না থাকে তাহলে ১৫ সেপ্টেম্বর উত্তর করা যাবে।

সুইডিশ ভাষায় Ombudsman বা ন্যায়পাল বলতে এমন একজন সরকারি মুখপাত্র বা প্রতিনিধি কিংবা সরকারি কর্মকর্তাকে বোঝায় যিনি সরকারি কর্তৃপক্ষের বিরুদ্ধে আনীত অভিযোগ তদন্ত করেন।
- জবাবদিহিতামূলক পদ বা প্রতিষ্ঠান হিসেবে ১৮০৯ সালে সুইডেনে প্রথম প্রবর্তিত হয়।
- ক্রমান্বয়ে অন্যান্য দেশে এই ব্যবস্থা চালু হয়।
যেমন- ফিনল্যান্ডে ১৯১৯ সালে , ডেনমার্কে ১৯৫৫ সালে , নিউজিল্যান্ডে ১৯৬১ সালে , নরওয়েতে ১৯৬৩ সালে , গ্রেট ব্রিটেনে ১৯৬৭ সালে , অস্ট্রেলিয়ায় ১৯৭৩ সালে।
- বাংলাদেশের সংবিধানের ৭৭ অনুচ্ছেদে জাতীয় সংসদ কর্তৃক ন্যায়পাল নিয়োগের বিধান রাখা হয়েছে।

সোর্স: বাংলাপিডিয়া এবং বাংলাদেশের সংবিধান ।

১৯৬৬ সালের ৫-৬ ফেব্রুয়ারি লাহোরে অনুষ্ঠিত বিরোধী দলসমূহের এক সম্মেলনে  বঙ্গবন্ধু শেখ মুজিবুর রহমান ৬ দফা কর্মসূচী উত্থাপন করেন । ৬ দফা কর্মসূচীর প্রথম দফা হলো- লাহোর প্রস্তাবের ভিত্তিতে সংবিধান রচনা করে পাকিস্তানকে একটি ফেডারেশনে পরিণত করতে হবে, যেখানে সংসদীয় পদ্ধতির সরকার থাকবে এবং প্রাপ্তবয়স্ক নাগরিকদের ভোটে নির্বাচিত আইন পরিষদ সার্বভৌম হবে অর্থাৎ প্রাদেশিক স্বায়ত্তশাসন প্রতিষ্ঠা করতে হবে।
অন্যান্য দফাগুলো হলো -
২। ফেডারেল সরকারের হাতে থাকবে শুধু দুটি বিষয়, প্রতিরক্ষা ও বৈদেশিক সম্পর্ক, এবং অপর সব বিষয় ফেডারেশনে অন্তর্ভুক্ত রাজ্যসমূহের হাতে ন্যস্ত থাকবে
৩। মুদ্রাব্যবস্থা
৪। দুই অঞ্চলের বৈদেশিক মুদ্রা আয়ের পৃথক হিসাব থাকবে
৫।বৈদেশিক বাণিজ্য সংক্রান্ত 
৬। আধা-সামরিক বাহিনী গঠন সংক্রান্ত

সোর্স: বাংলাদেশ ও বিশ্ব পরিচয় এবং  বাংলাপিডিয়া ।

- টেস্টে এক বর্ষপঞ্জিতে  সবচেয়ে বেশি রান করেন পাকিস্তানের সাবেক তারকা ক্রিকেটার মোহাম্মদ ইউসুফ ।
-  ২০০৬ সালে মোহাম্মদ ইউসুফ ১৯ ইনিংস ১ হাজার ৭৭৮ রান করেন যা এখন পর্যন্ত এক পঞ্জিকা বর্ষে সর্বোচ্চ রানের রেকর্ড।

- শচীন টেন্ডুলকার ভারতের সাবেক এই ক্রিকেটার সব ধরনের ক্রিকেট মিলিয়ে ১০০ টি সেঞ্চুরি করেন ।
- ২০০৮ সালে এক পঞ্জিকা বর্ষে অধিনায়ক হিসেবে ১ হাজার ৬৫৬ রান করেন স্মিথ। 
- ২০২১ সালে এক পঞ্জিকা বর্ষে ইংল্যান্ডের অধিনায়ক জো রুট করেন ১ হাজার ৭০৮ রান।

উৎস: ক্রিক ইনফো ও যমুনা টেলিভিশন রিপোর্ট।

- ফুয়েরার বা নেতা/পথ প্রদর্শক হলো হিটলারের উপাধি ।
- অস্ট্রীয় বংশোদ্ভূত জার্মান রাজনীতিবিদ যিনি ন্যাশনাল সোশ্যালিস্ট জার্মান ওয়ার্কার্স পার্টির নেতৃত্ব দিয়েছিলেন। 
- হিটলার ১৯৩৩ থেকে ১৯৪৫ সাল পর্যন্ত জার্মানির চ্যান্সেলর এবং ১৯৩৪ থেকে ১৯৪৫ সাল পর্যন্ত সে দেশের ফুয়েরার ছিলেন।
- তার গোপন পুলিশ বাহিনীর নাম গেস্টাপো ।
- তার আত্নজীবনী হলো Mein Kampf ।
- ’যুদ্ধই জীবন,যুদ্ধই সার্ব্জনীন’  তার বিখ্যাত উক্তি।
উৎস: ব্রিটানিকা

বাংলাপিডিয়া - বাংলাদেশের জাতীয় জ্ঞানকোষ। 
- এ জ্ঞানকোষে প্রায় ১৪৫০ জন পণ্ডিতের সৃজনশীল কাজের সমন্বয় ঘটেছে।
- বাংলাদেশের প্রাচীনতমকাল থেকে বর্তমান পর্যন্ত সকল গুরুত্বপূর্ণ বিষয়ের বর্ণনা বাংলাপিডিয়ায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।
- বাংলাপিডিয়া হলো একটি তথ্য ভান্ডার সাইট যেখানে অসংখ্য তথ্যের সন্নিবেশ করা আছে ।

- ফেসবুক হলো সামাজিক যোগাযোগের একটি মাধ্যম যা ২০০৪ সালে প্রতিষ্ঠিত হয়।
- এর প্রতিষ্ঠাতা হলো মার্ক জাকারবার্গ, সার্গেই ব্রেন, ডাস্টিন মস্কোভিতস, ক্রিস হিউজেস।

- টুইটার  হলো সামাজিক যোগাযোগের একটি মাধ্যম যা ২০০৬ সালে যাত্রা শুরু করে।
- ব্যবহারকারীরা সর্বোচ্চ ২৮০ অক্ষরের বার্তা আদান-প্রদান ও প্রকাশ করতে পারবে ।

- লিংকড ইন হলো পেশাজীবীদের জন্য সামাজিক যোগাযোগের একটি মাধ্যম । 
- ২০০২ সালে এটি প্রতিষ্ঠিত হয়।

উৎস: সংশ্লিষ্ট ওয়েবসাইট ও ব্রিটানিকা।

তাপ ইঞ্জিন: তাপশক্তিকে কাজে পরিণত করার জন্য একটি যন্ত্রের বা যান্ত্রিক ব্যবস্থার প্রয়োজন হয়।
এ যন্ত্র বা যান্ত্রিক ব্যবস্থাকে তাপীয় ইঞ্জিন বা তাপ ইঞ্জিন বলে।
যে যন্ত্র দ্বারা তাপশক্তিকে যান্ত্রিক শক্তিতে রূপান্তর করা যায় তাকে তাপীয় ইঞ্জিন বলে।
যেমন বাষ্পীয় ইঞ্জিন, পেট্রোল ইঞ্জিন, ডিজেল ইঞ্জিন ইত্যাদি।

উৎস: এইচ এস সি, উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

১ম রাশি = (m - 3n)
২য় রাশি = (m² - 3mn) = m(m - 3n)
৩য় রাশি = (m² - 9n²) = {m² - (3n)²} = (m + 3n)(m - 3n)
অতএব, রাশি তিনটির ল.সা.গু. = m(m - 3n)(m + 3n) = m(m² - 9n²)

সংখ্যাটি ক হলে, ৩ক + ৫ = ক + ১১
বা, ২ক = ৬
বা, ক = ৩

p⁴ + p² + 1
= (p²)² + 2.p².1 + 1² - p²
= (p² + 1)² - p²
= (p² + 1 + p)(p² + 1 - p)
= (p² - p + 1)(p² + p + 1)
অতএব, p⁴ + p² + 1 এর একটি উৎপাদক p² - p + 1 হলে, অপর উৎপাদক (p² + p + 1)

একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল। একে ট্রাপিজিয়াম বলে।

উল্লেখ্য যে, 
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান হলে তা সামান্তরিক।
কারণ - 
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান হলে, অপর বিপরীত বাহু অবশ্যই সমান্তরাল ও সমান হবে।
তাই একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান হলে তা সামান্তরিক।

একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান এবং ১টি কোণ এক সমকোণ হলে তা আয়ত।
কারণ -
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান এবং ১টি কোণ এক সমকোণ হলে, উক্ত চতুর্ভুজের অপর বিপরীত বাহু দুইটি অবশ্যই সমান্তরাল ও সমান এবং অবশিষ্ট তিনটি কোণের প্রত্যেকটি অবশ্যই এক সমকোণ হবে। তাই একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান এবং ১টি কোণ এক সমকোণ হলে তা আয়ত।

কিন্তু একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল হলে, উক্ত চতুর্ভুজটি ট্রাপিজিয়াম।
কারণ -
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল কিন্তু বাহু দুইটি সমান নাকি অসমান তা বলা হয়নি। তাই চতুর্ভুজটি ট্রাপিজিয়াম।
মোট কথা - একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল হলেই তা ট্রাপিজিয়াম।

x + 1/x = 2
বা, (x² + 1)/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² + 1 + x = 2x + x
বা, x² + x + 1 = 3x

অতএব,
x/(x² + x + 1)
= x/3x
= 1/3

২৭° কোণের সম্পূরক কোণ
= ১৮০° - ২৭°
= ১৫৩°

উল্লেখ্য যে, পূরক কোণ নির্ণয় করতে বললে, ৯০° থেকে বিয়োগ করতে হবে।
যেমন - 
২৭° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ২৭° = ৬৩°

x = 3y --- --- --- (1)
3x + y = 60 --- --- --- (2)
⇒ 3 × 3y + y = 60 [ (1) হতে, x = 3y বসিয়ে ]
⇒ 9y + y = 60
⇒ 10y = 60
⇒ y = 60/10
⇒ y = 6

∴ x = 3y
⇒  x = 3 × 6
⇒  x = 18

১ ডেকামিটার
= ১০ মিটার
= ১০ × ১০০০ মিলিমিটার
= ১০০০০ মিলিমিটার

অতএব, ১ মিলিমিটার ১ ডেকামিটারের ১/১০০০০ অংশ

(৭/৩) এর (১/৭) ÷ (১/১২)
= (১/৩) ÷ (১/১২)
= (১/৩) × (১২/১)
= ৪

একটি বাঁশের ১/৪ অংশ কাঁদায়, ১/২ অংশ পানিতে আছে।

অতএব, কাঁদায় ও পানিতে আছে
বাঁশটির ( ১/৪ + ১/২) অংশ
= বাঁশটির ৩/৪ অংশ 

অবশিষ্ট আছে
= বাঁশটির (১ - ৩/৪) অংশ
= বাঁশটির ১/৪ অংশ

বাঁশটির ১/৪ অংশ = ১২ মিটার
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য
= ১২ × ৪ মিটার
= ৪৮ মিটার

৫/২১ ⇔ ৭/৩১ ⇒ ১৫৫ ⇔ ১৪৭ ⇒ ৫/২১ > ৭/৩১
৭/৩১ ⇔ ১১/৪৫ ⇒ ৩১৫ ⇔ ৩৪১ ⇒ ৭/৩১ < ১১/৪৫
৭/৩১ ⇔ ৭/৯ ⇒ ৬৩ ⇔ ১২৭ ⇒ ৭/৩১ < ৭/৯
৭/৩১ সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম।

১ + ২ + ৩ + --- --- --- + ১৯৯
= ১৯৯ × (১৯৯ + ১)/২
= ১৯৯ × ২০০ / ২
= ১৯৯ × ১০০
= ১৯৯০০

১৬০ এর ১৬০%
= ১৬০ এর ১৬০/১০০
= ১৬ × ১৬
= ২৫৬

প্রস্থ ক মিটার হলে, দৈর্ঘ্য ৩ক মিটার
প্রশ্নানুসারে, 
ক × ৩ক = ৪৩২
⇒ ৩ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/৩
⇒ ক^২= ১৪৪
⇒ ক = ১২
অতএব, প্রস্থ ১২ মিটার

১০% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০/৯০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪৫,০০০ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০ × ৪৫,০০০/৯০ টাকা = ৫০,০০০ টাকা
৫% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য ১০৫ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য ১০৫/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৫০,০০০ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য ১০৫ × ৫০,০০০/১০০ টাকা = ৫০০ × ১০৫ টাকা = ৫২,৫০০ টাকা

মনে করি,
আসল = P
অতএব, মুনাফা-আসল = 3P
মুনাফা, I = 3P - P = 2P
মুনাফার হার, r = 10% = 10/100 = 1/10

আমরা জানি, মুনাফা, I = Pnr
⇒ n = I/Pr
⇒ n = 2P/(P × 1/10) = 20
 অতএব, 20 বছর পর সুদে-আসলে তিনগুণ হবে।

একটি গোলকের ব্যাস ১২ সেমি। অতএব, ব্যাসার্ধ = ১২/২ সেমি = ৬ সেমি 
সুতরাং, গোলকের আয়তন = (৪π × ৬^৩) / ৩ = ২৮৮π

অনুপাতের যোগফল = ১ + ৯ = ১০
অতএব, এসিডের পরিমান = ৬০ এর ১/১০ = ৬ লিটার
পানির পরিমান = ৬০ এর ৯/১০ = ৫৪ লিটার

মনে করি, ক লিটার এসিড মিশ্রিত করলে, নতুন মিশ্রণের অনুপাত ২ঃ৩ হবে।
অতএব, (৬ + ক)/৫৪ = ২/৩
১৮ + ৩ক = ১০৮
৩ক = ১০৮ - ১৮ = ৯০
ক = ৩০
অতএব, ৩০ লিটার এসিড মিশ্রিত করলে, নতুন মিশ্রণের অনুপাত ২ঃ৩ হবে।