শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: x - 1, x² - 1 এবং x³ - 1 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x - 1
২য় রাশি = x² - 1
= x² - 1²
= (x + 1)(x - 1)

৩য় রাশি = x³ - 1
= x³ - 1³
= (x - 1)(x² + x + 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 1)

প্রশ্ন: a - b = 7 এবং ab = 60 হলে a² + b² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a - b = 7 এবং ab = 60

আমরা জানি,
a² + b² = (a - b)² + 2ab 
= (7)² + (2 × 60)
= 49 + 120 
= 169 

∴ a² + b² এর মান = 169

প্রশ্ন: যদি x² + 2x - 15 এবং x² - 25 এর গ.সা.গু x + a হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5)(x - 3)

২য় রাশি = x² - 25
= x² - 5²
= (x + 5)(x - 5)

∴ গ.সা.গু = x + 5

প্রশ্নমতে,
x + a = x + 5
∴ a = 5

প্রশ্ন: যদি x + y = 20 এবং xy = 75 হলে x এর ধনাত্বক মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 20 .............. (1)
xy = 75

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (20)² - 4 . 72
= 400 - 300
= 100
(x - y)² = 100
x - y = 10................. (2)

(1) + (2) নং হতে পাই,
x + y + x - y = 20 + 10
⇒ 2x = 30
∴ x = 15

সঠিক উত্তর: ১৪ টাকা। 
অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
------------------------- 

প্রশ্ন: একটি পেনসিলের দাম একটি স্কেল এর দামের চেয়ে 6 টাকা বেশি। যদি মোট দাম 34 টাকা হয়, তবে স্কেলটির দাম কত?
 
সমাধান:
মনেকরি,
স্কেলের মূল্য = x টাকা
∴ পেনসিলের মূল্য = x + 6 টাকা 

প্রশ্নমতে,    
x + x + 6 = 34
⇒ 2x + 6 = 34
⇒ 2x = 28
∴ x = 14
 
অতএব, স্কেলটির মূল্য = 14 টাকা। 

প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = - 1 হলে, a³ - b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a/b + b/a = - 1
⇒ (a² + b²)/ab = - 1
⇒ a² + b² = - ab
∴ a² + ab + b² = 0

আমরা জানি,
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
= (a - b) × 0
= 0

প্রশ্ন: x² - 9 এবং x² - 6x + 9 এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)

২য় রাশি = x² - 6x + 9
= x² - 2. x. 3 + 3²
= (x - 3)²
= (x - 3)(x - 3)

∴ ল.সা.গু = (x + 3)(x - 3)(x - 3)
= (x² - 9)(x - 3)

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হয়, তবে ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14

আমরা জানি,
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ (ab + bc + ca) = {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}/2
= (6² - 14)/2
= (36 - 14)/2
= 22/2
= 11

প্রশ্ন: (2p + 5q)² - 2. (2p + 5q)(5q - 2p) + (5q - 2p)² = কত?

সমাধান:
ধরি,
2p + 5q = a 
এবং, 5q - 2p = b

∴ প্রদত্ত রাশি = a² - 2ab + b²
= (a - b)²
= (2p + 5q - 5q + 2p)² 
=(4p)²
=16p²

প্রশ্ন: x² - 4x + 3 এবং x² - 5x + 6 এর ল.সা.গু = কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

২য় রশি = x² - 5x + 6
= x² - 2x - 3x + 6
= x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন: x - y = 3 এবং xy = 40 হলে, x³ - y³ - 3xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 3
এবং xy = 40

প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 3xy
= {(x - y)³ + 3xy(x - y)} - 3xy
= (3³ + 3. 40. 3) - 3. 40
= (27 + 360) - 120
= 387 - 120
= 267

প্রশ্ন: x³ + 2x² - 8x, x³ - 4x² + 4x এবং x² - 2x এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x³ + 2x² - 8x
= x(x² + 2x - 8)
= x(x² + 4x - 2x - 8)
= x{x(x + 4) - 2(x + 4)}
= x(x + 4)(x - 2)

২য় রাশি = x³ - 4x² + 4x
= x(x² - 4x + 4)
= x(x² - 2. x. 2 + 2²)
= x(x - 2)²

৩য় রাশি = x² - 2x
= x(x - 2)

∴ গ.সা.গু = x(x - 2)
= x² - 2x

প্রশ্ন: 60 বর্গ সে.মি. ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 4) সে.মি. হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 4) সে.মি.

প্রশ্নমতে,
x(x - 4) = 60
⇒ x² - 4x = 60
⇒ x² - 4x - 60 = 0
⇒ x² - 10x + 6x - 60 = 0
⇒ x(x - 10) + 6(x - 10) = 0
∴ (x - 10)(x + 6) = 0

হয়
x - 10 = 0
x = 10

অথবা
x + 6 = 0
x  = - 6 [কিন্তু, দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না]

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি.

প্রশ্ন: সামি ও তুহিনের কাছে কিছু মার্বেল আছে। সামি যদি তুহিনকে ১০টি মার্বেল দিয়ে দেয় তবে তাদের মার্বেলের সংখ্যা সমান হবে। আবার তুহিন যদি সামিকে ২০টি মার্বেল দেয় তবে সামির মার্বেলের সংখ্যা তুহিনের মার্বেলের সংখ্যা দ্বিগুণ হবে। তুহিনের কাছে কতটি মার্বেল আছে?

সমাধান:
ধরি,
সামি ও তুহিনের কাছে x ও y টি মার্বেল আছে।

শর্তমতে,
x - 10 = y + 10
∴ x = y + 20 ……(i)

আবার,
2(y - 20) = x + 20
⇒ 2y - 40 = x + 20
⇒ 2y - 40 = y + 20 + 20 [(i) নং হতে পাই]
⇒ y = 80

∴ তুহিনের 80 টি মার্বেল আছে।

প্রশ্ন: 4x² + 4x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
4x² + 4x
= (2x)² + 2 . 2x. 1 + (1)² -  (1)² 
= (2x + 1)²  - 1

∴ 1 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: a = - 3 এবং b = 2 হলে, 27a³ + 135a²b + 225ab² + 125b³ এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = - 3 এবং b = 2;

প্রদত্ত রাশি = 27a³ + 135a²b + 225ab² + 125b³
=(3a)³ + 3 · (3a)² · 5b + 3 · 3a · (5b)² + (5b)³
= (3a + 5b)³
= {3(- 3) + 5(2)}³
= (- 9 + 10)³
=(1)³
= 1

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি √5 হলে, ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = √5

এখন
x³ + (1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3. x. (1/x)(x + 1/x)
= (√5)³ - 3√5
= 5√5 - 3√5
= 2√5

প্রশ্ন: a³ + b³ = 91, a + b = 7 হলে, ab = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a³ + b³ = 91
a + b = 7

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - {3ab × (a + b)}
⇒ 91 = 7³ - (3ab × 7)
⇒ 91 = 343 - 21ab
⇒ 21ab = 343 - 91
⇒ ab = 252/21
∴ ab = 12

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 1 যোগ করলে 1/2 হয় এবং হরের সাথে 1 যোগ  করলে তা 1/3 হয়, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি 
ভগ্নাংশের লব = x 
ভগ্নাংশের হর = y 

∴ ভগ্নাংশটি = x/y

১ম শর্তমতে
(x + 1)/y = 1/2
⇒ 2x + 2 = y
∴ 2x - y = - 2 ....................(1)

২য় শর্তমতে  
x/(y + 1) = 1/3
⇒ 3x = y + 1
∴ 3x - y = 1.....................(2)

(2) - (1) ⇒
3x - y - 2x + y = 1 - (- 2)
⇒ x = 1 + 2 
∴ x = 3

(1) নং হতে পাই 
2 × 3 - y = - 2
⇒ 6 - y = - 2
⇒ - y = - 2 - 6
⇒ - y = - 8
∴ y = 8

∴ ভগ্নাংশটি = 3/8

প্রশ্ন: x³ + 2x² - 3x এবং 2x³ + 5x² - 3x এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = x³ + 2x² - 3x
= x(x² + 2x - 3)
= x(x² + 3x - x - 3)
= x{x(x + 3) - 1(x + 3)}
= x(x + 3)(x - 1)

২য় রাশি = 2x³ + 5x² - 3x
= x(2x² + 5x - 3)
= x(2x² + 6x - x - 3)
= x{2x(x + 3) - 1(x + 3)}
= x(x + 3)(2x - 1)

∴ ল.সা.গু = x(x + 3)(x - 1)(2x - 1)

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অর্ধেকের যোগফল 40। তাদের পার্থক্যের এক চতুর্থাংশ সমান 18। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
বড় সংখ্যাটি x
এবং ছোট সংখ্যাটি y

১ম শর্তমতে,
(x/2) + (y/2) = 40
⇒ (x + y)/2 = 40
∴ x + y = 80 ............... (1)

২য় শর্তমতে
(x - y)/4 = 18
∴ x - y = 72 ..............(2)

(1) নং + (2) নং
x + y + x - y = 80 + 72
⇒ 2x = 152
∴ x = 76

প্রশ্ন: x²y³z, x³y²z⁴ এবং xy⁴z² এই তিনটি রাশির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x²y³z = x. x. y. y. y. z
২য় রাশি = x³y²z⁴ = x. x. x. y. y. z. z. z. z
৩য় রাশি = xy⁴z² = x. y. y. y. y. z. z

এখানে,
x, y এবং z গুণনীয়ক সমূহের সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে x³, y⁴ এবং z⁴

∴ ল.সা.গু = x³y⁴z⁴

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে 12, 60 এবং 2448। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = 12x ও 12y
12x - 12y = 60
∴ x - y = 5 .............. (1)

এবং 12xy = 2448
xy = 104

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)²+ 4xy
(x + y)² = 5² + 4 × 204
(x + y)² = 841
∴ x + y = 29 ......... (2)

এখন, (1) + (2) করে পাই,
x = 17

(2) - (1) করে পাই,
y = 12

∴ সংখ্যা দুইটি হল = 144 ও 204

প্রশ্ন: p² - p - (y + 1)(y + 2) এর পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
p² - p - (y + 1)(y + 2)
= p² - p - y² - 2y - y - 2
= p² - p - y² - 3y - 2

∴ নির্ণেয় পদসংখা = 5 টি।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে শিক্ষার্থী বসলে 5 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয় কিন্তু 5 জন করে বসলে 4টি বেঞ্চ খালি থাকে। ঐ শ্রেণিতে শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?  

সমাধান: 
ধরি,
বেঞ্চের সংখ্যা x টি

4 জন করে বসলে শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 4x + 5 জন।

5 জন করে বসলে শিক্ষার্থীর সংখ্যা 5(x - 4) জন। 

প্রশ্নমতে,
5(x - 4) = 4x + 5 
⇒ 5x - 20 = 4x + 5
∴ x = 25

∴ শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 4 × 25 + 5 জন
= 105 জন