ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান:
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = 3x মিটার

এখন,
লম্ব² + ভূমি ²⁼ অতিভুজ²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
⇒ x = 5

ভূমির দৈর্ঘ্য (4 × 5) = 20 মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = (3 × 5) = 15 মিটার

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = (25 +  20 + 15) মিটার = 60 মিটার

প্রশ্ন: একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 616 বর্গমি. হলে, গোলকের ব্যাসার্ধ কত মিটার?

সমাধান-
ব্যাসার্ধ r হলে,
পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²

প্রশ্নমতে 
4πr² = 616
4(22/7)r² = 616
(88/7)r² = 616
r² = (616 × 7)/88
r² = 49
r² = 7

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = AC, BC এর সমান্তরাল EF রেখা AB ও AC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। ∠B= 70° হলে,  ∠EAF +  ∠AFE = কত?

সমাধান: 
ABC ত্রিভুজে AB = AC
∴  ∠B = ∠C

 ∠B = 70°,  ∠C = 70° 
 ∠A = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40° 
যেহেতু, BC ।। EF
∠B = ∠AEF =  70° 
∠C = ∠AFE = 70° 
∴  ∠EAF + ∠AFE  = 40°  + 70°  = 110°

প্রশ্ন:  একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৪ : ৬ হলে, ত্রিভুজটি কি ধরণের? 

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের কোণগুলো হল ২ক, ৪ক, ৬ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ৪ক + ৬ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০° 
⇒ ক = ১৫° 

∴৬ক = ৬ × ১৫° = ৯০°, সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন:একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের মান ৩√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, সমান বাহুদ্বয় ক 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
ক^২ + ক^২ = (৩√২)^২
২ক^২= ১৮
ক^২ = ৯
∴ক = ৩

∴ক্ষেত্রফল = ১/২ ×৩ × ৩ 
= ৪.৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে 6√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)²/4

প্রশ্নমতে,
{√3(a + 2)²/4} - {√3a²/4} = 6√3
⇒ (√3/4){(a + 2)² - a²} = 6√3
⇒ a² + 4a + 4 - a² = 24
⇒ 4a + 4 = 24
⇒ 4a = 24 - 4
⇒ 4a = 20
a = 5

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
মনে করি,
সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি.

সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 2πr(r +  h)
= 2 × (22/7) × 7 (7 + 10) বর্গমিটার
= 44 × 17 বর্গমিটার
= 748 বর্গমিটার

প্রশ্ন:একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গ মিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ৩৬×π = π×৬^২

আমরা জানি , বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π× ব্যাসার্ধ^২

∴ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার
অতএব, ব্যাস =৬ × ২ = ১২ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুণ করা হলে এর ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
মনে করি,
১ম বর্গের বাহু = x একক
২য় বর্গের বাহু = 3x একক

১ম বর্গের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ একক
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল = (3x)² = 9x² বর্গ একক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = 9x² - x² = 8x²

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (8x²/x²) × 100 = 800%

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 37 সে.মি. এবং প্রস্থ 29 সে.মি. হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 37 সে.মি. এবং প্রস্থ 29 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 

প্রশ্নমতে,
2πr = 2(37 + 29)
(22/7)r =66
r/7 = 3
r = 21

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৮ মিটার। ১.৬ কিলোমিটার যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান: 
চাকার পরিধি ৮ মিটার । 
ফলে চাকাটি একবার ঘুরলে ৮ মিটার যায়।

∴ ১.৬ কিমি বা ১৬০০ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে = ১৬০০/ ৮ = ২০০ বার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার। এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান:
ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = ৬ ×বাহু^২ = ৬ × ৩৬ = ২১৬ বর্গমিটার
ঘনকের আয়তন = ৬^৩ ঘনমিটার = ২১৬ ঘনমিটার 

∴ এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের (২১৬/২১৬) বা ১ গুণ

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৯√৩ বর্গ মিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪ ) ×বাহু^২ = ৯ √৩
⇒ বাহু^২ = ৩৬
⇒ বাহু = √৩৬ মিটার
⇒ বাহু = ৬ মিটার

∴সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = ৩ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= ১৮ মিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাকমে ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি., এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৪ × ৬
= ১/২ ×২৪
= ১২ বর্গসে.মি.

প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান : 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r   
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r   
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²  
 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ  পাবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৪ : ১ হলে  এবং এর পরিসীমা ২০০ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪ক , প্রস্থ ক

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )
= ২ ( ৪ক + ক )
= ২ × ৫ক 
= ১০ক 

∴১০ক = ২০০ 
ক = ২০ মিটার 
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার, প্রস্থ ২০ মিটার 

∴ক্ষেত্রফল = (৮০×২০) বর্গ মিটার
=১৬০০  বর্গ মিটার

 প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 3/4 অংশ এবং ক্ষেত্রফল 363 বর্গমিটার হলে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনেকরি, 
সামান্তরিকের উচ্চতা = x মিটার
 সামান্তরিকের ভূমি = 3x/4 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা

শর্তমতে,
(3x/4)× x = 363
বা,3x² = 363 × 4
বা, x² = (363 × 4)/3
বা, x² = 484
   ∴ x = 22 

সামান্তরিকের উচ্চতা = 22 মিটার