৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 11 এবং পঞ্চম পদ 17 হলে ধারটি প্রথম পদ কত?

সমাধান: 
মনেকরি 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a 
সাধারণ অন্তর d 

দেওয়া  আছে,
২য় পদ = 11
∴ a +  (2 - 1)d = 11
a + d = 11 ....... (i)

৫ম পদ = 17
∴ a + (5 - 1)d = 17
a + 4d = 17 ...........(ii)

(ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই।
3d = 6
d = 2

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
a = 11 - 2 = 9

প্রশ্ন: (3x + 4y, 2) = (11, 4x - y) হলে, (y, x) এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4y = 11..........(i)
4x - y = 2........(ii)

(ii) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে (i) নং এর সাথে যোগ করে পাই,
3x + 4y + 16x - 4y = 11 + 8
19x = 19
x = 1

(ii) হতে পাই,
4 - y = 2
y = 2

∴(y, x) = (2, 1)

প্রশ্ন: - 5 - 1 + 3 + 7 + 11 + ................ ধারাটির ২০তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = - 5
সাধারন অন্তর, d = - 1 + 5 = 4

20তম পদ = a + (n - 1)d
= - 5 + (20 - 1)4
= 71

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3; লব থেকে 3 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/2 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
মনেকরি,
ভগ্নাংশের লব x 
ভগ্নাংশের হর  x + 3

ভগ্নাংশটি = x /(x + 3)

প্রশ্নমতে,
 (x - 3)/(x + 2 + 3) = 1/2
2x - 6 = x + 5
2x - x = 6 + 5
x = 11

ভগ্নাংশটি = 11/14

প্রশ্ন: 1 + 3¹ + 3² + .... + 3⁵ এর সমষ্টি কত?

সমাধান: 
a = 1
r = 3/1 = 3
n = 6

S = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 1 × {(3⁶ - 1)/(3 - 1)}
= 364

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 3 ও - 5 হলে, সমীকরণটি - 

সমাধান: 
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 3 ও - 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0 
বা, x² - (3 - 5)x + (3 × - 5) = 0
বা, x² + 2x - 15 = 0
∴ x² + 2x = 15

প্রশ্ন: x + (x + 1) + (x + 2) + ....... ধারাটির প্রথম ১০ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
x + (x + 1) + (x + 2) + .......
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = x
সাধারন অন্তর, d = x + 1 - x = 1

প্রথম ১০ পদের সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
= 10/2 {2x + (10 - 1)1}
= 5(2x + 9)
= 10x + 45

প্রশ্ন: ax² + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি - 

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + .... ধারাটির প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারন অনুপাত, r = 6/2 = 3

যেহেতু,
r > 1

সমষ্টি, S = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 2 × {(3⁵ - 1)/(3 - 1)}
= 242

প্রশ্ন: যদি 3x² + mx + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m>0 হয় তাহলে m এর মান কত?

সমাধান:
দ্বীঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক b² = 4ac

∴ m² = 4 × 3 × 3
m = 6

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৫ম পদ ৪১ হলে, ১১তম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে,
d = 9
ধরি,
প্রথম পদ = a

∴ 41 = a + (n - 1)d
বা, 41 = a + 36
বা, a = 41 - 36
∴ a = 5

১১তম পদ = a + (11 - 1)d
= 5 + (10)9
= 95

প্রশ্ন: x² - x - 20 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
x² - x - 20
= x² - 5x + 4x - 20
= x(x - 5) + 4(x - 5)
= (x - 5)(x + 4)

∴ x = - 4, 5

মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

প্রশ্ন: (1/2) + (1/√2) + 1 +...................... ধারাটির কোন পদ 8√2 ?

সমাধান:
এখানে,
a = 1/2
r = 1/√2 ÷ 1/2 = √2

ধরি,
nতম পদ = 8√2
বা, ar^{n - 1} = 8√2
বা, r^{n - 1} = 16√2
বা, (√2)^{n - 1} = (√2)⁹
বা, n - 1 = 9
∴ n = 10

প্রশ্ন: x + y = 8, x - y = 2 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
x + y = 8 ...............(1)
x - y = 2 ...............(2)

(1) - (2) ⇒
x + y - x + y = 8 - 2
⇒ 2y = 6
∴ y = 3

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
x + 3 = 8
∴ x = 5

∴ (x, y) = (5, 3)

প্রশ্ন: (x - 5) + (x - 3) + (x - 1) + (x + 1) + ........ ধারাটির কততম পদ (x + 27)?

সমাধান: 
এখানে,
a = x - 5
d = x - 3 - x + 5 = 2

ধরি,
nতম পদ = x + 27
বা, a + (n - 1)d = x + 27
বা, (x - 5) + (n - 1)2 = x + 27
বা, (n - 1)2 = x + 27 - x + 5
বা, n - 1 = 32/2
∴ n = 17

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি ৯ এবং সংখ্যাটি থেকে ৪৫ বিয়োগ করলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = y 
দশক স্থানীয় অংক = x
∴ x + y = 9.........(i)

প্রশ্নমতে,
10x + y - 45 = 10y + x
বা, 9x - 9y = 45
∴ x - y = 5.............(ii)

(i), (ii) নং যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 9 + 5
2x = 14
x = 7

∴ y = 2

সংখ্যাটি = 72

প্রশ্ন: 2² + 4² + 6² + .... + 16² = কত?

সমাধান:
2² + 4² + 6² + . . . + 16²
= 2²(1² + 2² + 3² + . . . + 8²)
= 4 [{8(8 + 1)(16 + 1)}/6]
= 816

প্রশ্ন: x² - 11x + 30 এর একটি মূল 6 হলে অপর মূল কত?

সমাধান:
x² - 11x + 30
= x² - 6x - 5x + 30]
= x(x - 6) - 5(x - 6)
= (x - 6)(x - 5)

∴ x = 5, 6

∴ x এর মূলদ্বয় যথাক্রমে 5 ও 6

প্রশ্ন: 4 + 12 + Q + 108 +............. একটি গুণোত্তর ধারা হলে Q এর মান কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

ধারাটির তৃতীয় পদ, Q = ar²
= 4 × 3²
= 4 × 9
= 36

^{প্রশ্ন:} p এর মান কত হলে 9x² - px + 25 সমীকরণটি পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান:
(3x)² - 2.3x.5 + (5)²
= (3x - 5)²

∴ px = 2.3x.5
p = 30

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
2 + 6 + 10 + 14 + ..............

এখানে
১ম  পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d =২য় পদ - ১ম পদ 
= 6 - 2 = 4

আবার 
৩য় পদ - ২য় পদ
= 10 - 6
= 4
পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য = 4
2 + 6 + 10 + 14 + .............. ধারাটি সমান্তর ধারা। 

প্রশ্ন: x + 3y = 7 এবং y/x = 1/4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x + 3y = 7.......(i)
y/x = 1/4
x = 4y

(i) হতে পাই,
4y + 3y = 7
7y = 7
y = 1

x = 4y = 4

প্রশ্ন: 4, 2, 1, 1/2...... ধারাটির ১০ম পদ কত?

সমাধান: 
ধারটির,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারন অনুপাত, r = 2/4 = 1/2

10ম পদ = ar^n-1
= 4(1/2)⁹
= 1/128