৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ ১০ মিটার, এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার। যদি দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত: d₁= ১০ মিটার, ক্ষেত্রফল A = ১২০ বর্গমিটার।

রম্বসের ক্ষেত্রফল A সূত্র:
A = ১/২ × d₁ × d₂
⇒ ১২০ = ১/২ ​× ১০ × d₂​
⇒ ৫d₂​ = ১২০
⇒ d_{2 ​}= ২৪

দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করলে:
d₂′ = ২৪ × ১.২
= ২৮.৮ মিটার

নতুন ক্ষেত্রফল A′:
A′ = ১/২ × ১০ × ২৮.৮ = ২৮৮/২ = ১৪৪ বর্গমিটার
 
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১৪৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ৮ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

সমাধান:
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের সূত্র:
= [(n - ২) × ১৮০°] / n
= [(8 - ২) × ১৮০°] / ৮
= (৬ × ১৮০°) / ৮
= ১০৮০°/ ৮
= ১৩৫°

∴ ৮ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৩৫° 

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা 24 মিটার। যদি বর্গের পরিসীমা দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
বর্গের পরিসীমা P = 4a, যেখানে a হল বাহু।
4a = 24  
⇒ a = 6 মিটার

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল:
A = a² = 6² = 36 বর্গমিটার

পরিসীমা দ্বিগুণ করলে:
P′ = 2 × 24 = 48  মিটার
⇒ 4a′ = 48  মিটার
⇒ a′= 12 মিটার

নতুন ক্ষেত্রফল: 
A′ = (a′)² = 12² = 144 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি: = (A′- A)/36 × 100
= (144 - 36)/36 × 100
= 108/36 × 100
= 300%

∴ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = 300%

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = ১৮০°
ধরা যাক, কোণগুলো ৩ক, ৪ক, ৫ক 
প্রশ্নমতে, 
৩ক + ৪ক + ৫ক = ১২ক = ১৮০°
ক = ১৮০°/১২
ক = ১৫° 

তাহলে,
বৃহত্তম কোণ = ৫ক = ৫ × ১৫° = ৭৫°
 
∴বৃহত্তম কোণ = ৭৫°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসকে ভূমি ধরে যদি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হয়, তবে ত্রিভুজটি কী ধরনের?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসকে ভূমি ধরে ত্রিভুজ অঙ্কন করলে, বৃত্তের ব্যাসের বিপরীত কোণ সর্বদা ৯০° হয়। এটি “বৃত্তের ব্যাস থিওরেম” বা Thales’ theorem দ্বারা প্রমাণিত। 

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। 

উৎস: Britannica [Link]

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১৪ মিটার হলে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের বাহু কত মিটার?

সমাধান:
একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ  এবং বাহু এর মধ্যে সম্পর্ক:
ব্যাসার্ধ =  বাহু / √৩ 
প্রদত্ত ব্যাসার্ধ = ব্যাস/২ = ১৪/২ = ৭

তাহলে,
৭ = বাহু / √৩
বাহু = ৭√৩ মিটার 

∴সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = ৭√৩ মিটার 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ ১২ মিটার হলে বর্গের পরিধি কত?

সমাধান:
বর্গের কর্ণ = ১২ মিটার
বর্গের বাহু  এবং কর্ণের সম্পর্ক,
কর্ণ  = বাহু√২ 
⇒ বাহু = কর্ণ /√২ 
⇒ বাহু = ১২/√২
⇒ বাহু = ৬√২ মিটার
 
পরিধি = ৪ × ৬√২ = ২৪√২ মিটার
 
∴ বর্গের পরিধি = ২৪√২ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের উচ্চতা 4 একক ও ভূমি 3 একক। অতিভুজের উপর বর্গ আঁকলে, বর্গ ও ত্রিভুজের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র:
A = 1/2 ​× ভূমি × উচ্চতা
A = 0.5 × 3 × 4
A = 6 বর্গ একক 

অতিভুজ নির্ণয়:
অতিভুজ = √(4²+3²)​
= √(16 + 9​)
= √(25) ​
= 5 একক 

অতিভুজের ওপর বর্গ আঁকলে বর্গের বাহু = 5 একক
বর্গের ক্ষেত্রফল: 
A = 5²
= 25 বর্গ একক 

মোট ক্ষেত্রফল:
25 + 6 = 31 বর্গ একক

∴ মোট ক্ষেত্রফল 31 বর্গ একক

প্রশ্ন: আয়তাকার চতুর্ভুজের ভূমি ১২ একক ও উচ্চতা ৮ একক হলে ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
আয়তাকার চতুর্ভুজ বা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১২ × ৮
= ৯৬ বর্গ একক

পরিধি = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১২ + ৮) = ৪০ একক

ক্ষেত্রফল : পরিধি = ৯৬ : ৪০
= ২৪ : ১০
= ১২ : ৫
∴ ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত = ১২ : ৫

প্রশ্ন: একটি রেখা 2x + 3y = 6, x–অক্ষ ও y–অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
X-ছেদ বিন্দু: y = 0 ধরলে,
⇒ 2x + 3(0) = 6  
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
X ছেদ বিন্দু = (3, 0)

Y-ছেদ বিন্দু: x = 0 ধরলে,
⇒ 2(0) + 3y = 6  
⇒ 3y = 6  
⇒ y = 2
Y ছেদ বিন্দু = (0, 2)

∴ ছেদবিন্দু: (3, 0) এবং (0, 2) 

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত? 

সমাধান:
রেখার ঢাল m বের করতে রেখাকে y = mx + c আকারে আনতে হবে।

প্রদত্ত সমীকরণ:
3x - 4y = 12
⇒ - 4y = -3x + 12 [উভয় পাশে ৪ দিয়ে ভাগ করে:]
⇒ y = 3/4x - 3

এখান থেকে ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4 

প্রশ্ন: রেখা y = 2x + 3 এর উপর উৎপত্তি বিন্দু (0, 0)থেকে লম্ব দূরত্ব কত?

সমাধান:
রেখা y = 2x + 3 কে সাধারণ আকারে লিখি:
⇒ 2x - y + 3 = 0

উৎপত্তি (0, 0) থেকে দূরত্ব সূত্র:
⇒ d = ( ∣Ax ​+ By ​+ C∣ ​) / √(A² + B²)

এখানে A = 2, B = -1, C = 3, (x₀, y₀) = (0, 0)
⇒ d = ( ∣2 × 0 - 1 × 0 + 3∣​ ) / √(4² + (-1)²)
⇒ d = 3 / √5

∴ y = 2x + 3 এর উপর উৎপত্তি বিন্দু (0, 0) থেকে লম্ব দূরত্ব 3/√5 

প্রশ্ন: একটি রেখা x-অক্ষের সাথে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে, তার ঢাল কত?

সমাধান:
রেখার ঢাল m = tan⁡θ, যেখানে θ = x-অক্ষের সাথে কোণ।
প্রদত্ত কোণ θ = 45°
m = tan⁡45° = 1 
অতএব, ঢাল = ১

∴ রেখাটির ঢাল = ১ 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 6 মিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মিটার এবং 10 মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A=1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= 1/2 × (12 + 10) × 6 
= 1/2 × (22) × 6 
= 22 × 3
= 66 বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল 66 বর্গমিটার

প্রশ্ন: দুটি রেখা 2x + y = 2 এবং y = kx - 3 পরস্পর লম্ব হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালগুলির গুণফল হয় -1।
প্রথম রেখার ঢাল m₁ = -2
দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = k

সুতরাং,
m_1​ × m₂ ​= -1
(-2) × k = -1
⇒ k = 1/2

∴ k-এর মান = 1/2

প্রশ্ন: ১০ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r =10 একক 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল:
A = πr² = 100π = 314.16 বর্গএকক  

বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = 2r = 20 একক
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু: 
a = কর্ণ/√2
= 10√2 একক 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
A = a² = (10√2) = 100 × 2 = 200 বর্গএকক

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ২৫ মিটার এবং একটি বাহু ১৫ মিটার হলে অপর বাহু কত?

সমাধান:
প্রদত্ত: d = ২৫ মিটার, a = ১৫ মিটার
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ d এবং বাহু a, b এর মধ্যে সম্পর্ক:
d^২ = a^২ + b^২
২৫^২ = ১৫^২ + b^২
৬৫৫ = ২৫৫ + b^২
b^২ = ৪০০
b = ২০মিটার 

∴ অপর বাহু = ২০ মিটার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস r হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ব্যাস r একক হলে,
ব্যাসার্ধ = r/2 একক

তাহলে ক্ষেত্রফল = πr²
= π(r/2)²
= πr²/4 বর্গএকক

∴ ক্ষেত্রফল = πr²/4 বর্গএকক

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 625 বর্গমিটার। এই বৃত্তের সমান ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে, সেই বর্গক্ষেত্রের পরিধি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A_square = A_circle = 625 m²

বর্গক্ষেত্রের বাহু a হবে:
a = √625 = 25 m

বর্গক্ষেত্রের পরিধি P হলো:
P = 4 × a
= 4 × 25
= 100m

∴বর্গক্ষেত্রের পরিধি 100m

প্রশ্ন: দুইটি বর্গের বাহুর অনুপাত 2 : 3 হলে বর্গ দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম বর্গের বাহু = 2x এবং দ্বিতীয় বর্গের বাহু = 3x
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
A₁​ = (2x)² = 4x² 
A₂ = (3x)² = 9x²

ক্ষেত্রফলের অনুপাত
A₁ : A₂ = 4x² : 9x² = 4 : 9

সুতরাং অনুপাত = 4 : 9

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ২০ হলে পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধির সূত্র:
C = π × d

যেখানে d হলো ব্যাস।
এখানে d = 20
C = π × 20 = 20π

∴ বৃত্তের পরিধি হবে ২০π একক।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাসার্ধ 3গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (3r + r) = 4r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(4r)² = 16πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr² - πr2 = 15πr²
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তুলনায় ২.৫ গুণ। ক্ষেত্রফল ২৫০ বর্গ একক হলে দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরা যাক,
প্রস্থ = B একক
দৈর্ঘ্য L = ২.৫ B একক

ক্ষেত্রফল:
L × B = ২৫০
⇒ ২.৫B × B = ২৫০
⇒ ২.৫B^২ = ২৫০
⇒ B^২ = ২৫০/২.৫
⇒ B = √১০০
⇒ B = ১০ একক

দৈর্ঘ্য L = ২.৫ × ১০ = ২৫একক

∴ দৈর্ঘ্য = ২৫ একক 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 50 ও 25 মিটার, দৈর্ঘ্য 10 মিটার কমালে ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে? 

সমাধান:
মূল ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 50 × 25 = 1250 বর্গমিটার

নতুন দৈর্ঘ্য = 50 - 10 = 40 
নতুন দৈর্ঘ্য দিয়ে ক্ষেত্রফল = 40 × 25 = 1000 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফল হ্রাস = 1250 - 1000 = 250 বর্গমিটার

শতকরা হ্রাস = 250/1250 × 100 = 20%

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস = 20%

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24y হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা P = 3a
⇒ a = P/3 = 24y/3 = 8y মিটার

ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = √3/4a²
⇒ A = (√3/4) × (8y)²
⇒ A = (√3/4) × 64y²
⇒ A = 16√3​y² বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = 16√3​y² বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল 1600 বর্গফুট। মাঠের চারপাশে 3 ফুট প্রশস্ত একটি রাস্তা রয়েছে। এই রাস্তায় প্রতি 1.5 বর্গফুটের টাইল বসানো হলে মোট কতটি টাইল লাগবে? 

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = 1600 বর্গফুট
⇒ মাঠের এক পাশ = √1600 = 40 ফুট

ভেতরের রাস্তায় চারদিকে ৩ ফুট রাস্তা থাকায়,
= 40 - 3 - 3 = 34 ফুট

রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল
= 40² - 34²
= 1600 - 1156
= 444 বর্গফুট

প্রতি টাইলের ক্ষেত্রফল = 1.5 বর্গফুট
টাইলের সংখ্যা = 444 / 1.5 = 296 টাইল

∴ টাইলের সংখ্যা 296 টি