৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: ১২ বছর আগে শান্তার বয়স ছিল স্বর্ণার বয়সের অর্ধেক। যদি শান্তা ও স্বর্ণার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৩ : ৪ হয়, তবে বর্তমানে তাদের মোট বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
শান্তা এবং স্বর্ণার বর্তমান বয়স  যথাক্রমে = ৩ক এবং ৪ক বছর

আবার, ১০ বছর আগে শান্তার বয়স ছিল = (৩ক - ১২) বছর
১০ বছর আগে স্বর্ণার বয়স ছিল = (৪ক - ১২) বছর

প্রশ্নমতে,
৩ক - ১২ = (১/২) (৪ক - ১২)
⇒ ৩ক - ১২ = ২ক - ৬
⇒ ৩ক - ২ক = - ৬ + ১২
∴ ক = ৬

শান্তার বর্তমান বয়স = (৩ × ৬) = ১৮ বছর
স্বর্ণার বর্তমান বয়স = (৪ × ৬) = ২৪ বছর

∴ বর্তমানে তাদের মোট বয়স = (১৮ + ২৪) = ৪২ বছর।

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে ১২ জন ছাত্রের ৪০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ২০ দিনে ঐ খাদ্য শেষ হলে নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত?

সমাধান:
৪০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে = ১২ জন ছাত্রের
১ দিনের খাদ্য মজুদ আছে = (১২ × ৪০) জন ছাত্রের
২০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে = (১২ × ৪০)/২০ জন ছাত্রের
= ২৪ জন ছাত্রের

সুতরাং, নতুন ছাত্রের সংখ্যা = (২৪ - ১২) জন
= ১২ জন

প্রশ্ন: ১৮ ক্যারেটের ২৪ গ্রাম ওজনের সোনার গহনায় সোনা এবং খাদের অনুপাত ৩ : ১। এতে আর কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান:
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের যোগফল = ৩ + ১ = ৪

গহনায় সোনার পরিমাপ = {২৪ × (৩/৪)} গ্রাম = ১৮ গ্রাম
গহনায় খাদের পরিমাপ = {২৪ × (১/৪)} গ্রাম = ৬ গ্রাম

ধরি,
গহনায় ক গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
(১৮ + ক)/৬ = ৪/১
⇒ ১৮ + ক = ২৪
∴ ক = ৬

সুতরাং, গহনায় ৬ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা ১৫ বছরে সবৃদ্ধিমূল ৫২০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সবৃদ্ধিমূল, C = ৫২০
সুদের হার, r = ৪/১০০
বয়স, n = ১৫
এবং আসল, p = ?

আমরা জানি,
C = P + Pnr
C = P(১ + rn)
⇒ ৫২০ = P {১ + (৪/১০০) × ১৫}
⇒ ৫২০ = P {১ + (৬০/১০০)}
⇒ ৫২০ = P (১৬০/১০০)
⇒  P = (৫২০ × ১০০)/১৬০
∴ P = ৩২৫ টাকা

প্রশ্ন : ১৮০০ টাকা করিম এবং রহিম ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। রহিমের অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে। মা কত টাকা পাবে?

সমাধান :
করিম : রহিম = ১ : ৪
অনুপাতের যোগফল = (১ + ৪) = ৫

রহিম পায় = ১৮০০ এর (৪/৫) = ১৪৪০ টাকা

রহিম : মা : মেয়ে = ২ : ১ : ১
অনুপাতের যোগফল = (২ + ১ + ১) = ৪

সুতরাং, মা পায় = ১৪৪০ এর (১/৪) = ৩৬০ টাকা।

প্রশ্ন: শতকরা ৪ টাকা হার সুদে ১২৫ টাকা তিন বছরে সুদে আসলে কত হয়?

সমাধান:
সুদের হার, r = ৪/১০০
= ১/২৫
আসল, P = ১২৫ টাকা

I = Pnr
⇒ I = ১২৫ × ৩ × (১/২৫)
⇒ I = ১৫

∴ সুদে-আসলে হয় = (১২৫ + ১৫) টাকা
= ১৪০ টাকা

প্রশ্ন: দৈনিক ৫ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৯ জন ব্যক্তি একটি কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। দৈনিক ৬ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৮ জন ব্যক্তি কাজটি কত দিনে করবে?

সমাধান:
দৈনিক ৫ ঘণ্টা করে ১৬ দিনে = (১৬ × ৫)
= ৮০ ঘণ্টা

কাজটি ৯ জন ব্যক্তি করতে পারে = ৮০ ঘণ্টায়
কাজটি ১ জন ব্যক্তি করতে পারে = (৮০ × ৯) ঘণ্টায়
কাজটি ৮ জন ব্যক্তি করতে পারে = (৮০ × ৯)/৮ ঘণ্টায়
= ৯০ ঘণ্টায়

∴ দৈনিক ৬ ঘণ্টা কাজ করলে কাজটি করতে পারবে = ৯০/৬ দিনে
= ১৫ দিনে

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ২। সংখ্যা দুইটির উভয় পদ থেকে ২ বিয়োগ করলে সংখ্যা দুইটির অনুপাত হয় ১১ : ৪। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৫ক এবং ২ক

প্রশ্নমতে,
(৫ক - ২)/(২ক - ২) = ১১/৪
⇒ ২২ক - ২২ = ২০ক - ৮
⇒ ২২ক - ২০ক = ২২ - ৮
⇒ ২ক = ১৪
∴ ক = ৭

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে = ৫ × ৭ = ৩৫ এবং (২ × ৭) = ১৪।

প্রশ্ন: ৫০০ টাকায় ৪ বছরের সুদ এবং ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ একত্রে ৯৫০ টাকা হলে, সুদের হার কত?

সমাধান:
৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = (৫০০ × ৪) = ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৬০০ × ৫) = ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ

এখন,
৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৯৫০ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৯৫০/৫০০০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (৯৫০ × ১০০)/৫০০০ টাকা।
= ১৯%

প্রশ্ন: ক একটি কাজ করে ১০ দিনে। খ সেই কাজ করে ১৫ দিনে। ক ও খ একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
ক ১ দিনে করে = ১/১০ অংশ
খ ১ দিনে করে = ১/১৫ অংশ

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে = (১/১০) + (১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

এখন,
ক ও খ ১/৬ অংশ করে = ১ দিনে
ক ও খ সম্পূর্ণ বা ১ অংশ করে = ৬ দিনে

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ১০ বছর পূর্বে ছিল ৪ : ১। ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল ৪ক বছর এবং পুত্রের বয়স ছিল ক বছর।

পিতার বর্তমান বয়স = (৪ক + ১০) বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = (ক + ১০) বছর

প্রশ্নমতে,
(৪ক + ১০) + (ক +১০) = ৬০
⇒ ৫ক + ২০ = ৬০
⇒ ৫ক = ৪০
∴ ক = ৮

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৪ × ৮ + ১০) = ৪২ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৮ + ১০) = ১৮ বছর

∴ ১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে = (৪২ + ১০) : (১৮ + ১০)
= ৫২ : ২৮
= ২৬ : ১৪ = ১৩ : ৭

প্রশ্ন: কোন আসল ৫ বছরের মুনাফা আসলে ৫৬০০ টাকা হয়। মুনাফার আসলের ২/৫ অংশ হলে মুনাফা হার কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ৫ টাকা এবং মুনাফা = ২ টাকা
∴ মুনাফা-আসল = (৫ + ২) = ৭ টাকা

মুনাফা-আসল ৭ টাকা হলে আসল = ৫ টাকা
মুনাফা-আসল ১ টাকা হলে আসল = ৫/৭ টাকা
মুনাফা-আসল ৫৬০০ টাকা হলে আসল = (৫ × ৫৬০০)/৭ = ৪০০০ টাকা
∴ মুনাফা = (৫৬০০ - ৪০০০) = ১৬০০ টাকা

মুনাফার হার = (সুদ × ১০০)/(আসল × সময়)
= (১৬০০ × ১০০)/(৪০০০ × ৫)
= ৮%

প্রশ্ন: জবা ১৬ মিনিটে ৪৫০ শব্দ এবং শিপা ১৬ মিনিটে ৩৫০ শব্দ টাইপ করে। দুজনে একসাথে কাজ করে ৩৬০০ শব্দ মোট কত সময়ে টাইপ করেবে?

সমাধান:
জবা ও শিপা ১০ মিনিটে টাইপ করে = (৪৫০ + ৩৫০) = ৮০০ শব্দ

৯০০ শব্দ টাইপ করে = ১৬ মিনিটে
১ শব্দ টাইপ করে = ১৬/৮০০ মিনিটে
৩৬০০ শব্দ টাইপ করে = (১৬ × ৩৬০০)/৮০০ মিনিটে
= ৭২ মিনিট

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে আম ও পেয়ারার অনুপাত ৩ : ২। ৫টি আম পঁচে যাওয়ায় এগুলো সরিয়ে নেওয়ায় অনুপাত হয় ১ : ১। ঝুড়িতে কতটি আম ছিল?

সমাধান:
ধরি,আম = ৩ক টি
এবং পেয়ারা = ২ক টি

প্রশ্নমতে,
(৩ক - ৫)/২ক = ১/১
⇒ ৩ক - ৫ = ২ক
∴ ক = ৫

∴ আমের পরিমাণ = ৩ × ৫ = ১৫টি

প্রশ্ন: ৫০০ টাকা ৩ বছরে সুদ-আসলে ৬৫০ টাকা হলে ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ কত?

সমাধান:
সুদ = সুদাসল - আসল
= (৬৫০ - ৫০০) = ১৫০ টাকা

এখন,
৫০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = ১৫০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ১৫০/(৫০০ × ৩) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১৫০ × ১০০)/(৫০০ × ৩) টাকা
= ১০ টাকা

প্রশ্ন: একজন ঠিকাদার একটি কাজ ৬০ দিনে শেষ করার জন্য ৩০ জন লোক নিয়োগ করল। ১৫ দিন পর দেখা গেলো ঐ কাজের মাত্র ১/৬ অংশ শেষ হয়েছে। নির্দিষ্ট সময়ে কাজটি শেষ করতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোক নিয়োগ করতে হবে?

সমাধান:
অবশিষ্ট কাজ = ১ - (১/৬) অংশ
= (৬ - ১)/৬ = ৫/৬ অংশ
অবশিষ্ট সময় = (৬০ - ১৫) = ৪৫ দিন

১/৬ অংশ কাজ ১৫ দিনে করে = ৩০ জন লোক
১ অংশ কাজ ১ দিনে করে = (৩০ × ৬ × ১৫) জন লোক
৫/৬ অংশ কাজ ৪৫ দিনে করে = (৩০ × ৬ × ১৫ × ৫)/(৬ × ৪৫) জন লোক
= ৫০ জন লোক

∴ অতিরিক্ত লোক নিয়োগ করতে হবে = (৫০ - ৩০) জন
= ২০ জন

প্রশ্ন: ১৭৬৪ টাকা তিন জন বালকের মাঝে এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া হলো যেন ১ম বালক পায় ২য় বালকের অর্ধেক টাকা এবং ২য় বালক পায় ৩য় বালকের অর্ধেক টাকা। তাহলে ৩য় বালক কত টাকা পেল?

সমাধান:
ধরি,
৩য় বালক পায় = ক টাকা
২য় বালক পায় = ক/২ টাকা
এবং ১ম পায় = (ক/২) × (১/২) = ক/৪ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক + (ক/২) + (ক/৪) = ১৭৬৪
⇒ (৪ক + ২ক + ক)/৪ = ১৭৬৪
⇒ ৭ক =১৭৬৪ × ৪
⇒ ক = (১৭৬৪ × ৪)/৭
∴ ক = ১০০৮

সুতরাং, ৩য় বালক পায় = ১০০৮ টাকা।

প্রশ্ন: আরিফ ৮% হার সুদে ১২০০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলো। সুদের হার বেড়ে ১২% হলে আরিফ ১ বছরে সুদ হিসেবে কত টাকা বেশি পাবে?

সমাধান:
৮% সুদে,
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৮ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৮/১০০ টাকা
১২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (৮ × ১২০০০)/১০০ = ৯৬০ টাকা

১২% সুদে,
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ১২ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ১২/১০০ টাকা
১২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১২ × ১২০০০)/১০০ = ১৪৪০ টাকা

সুতরাং,  সুদ বেশি হবে = (১৪৪০ - ৯৬০) = ৪৮০ টাকা

প্রশ্ন: ৪, (৫/২), ৮ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?

সমাধান:
মনে করি,
চতুর্থ সমানুপাতিক = ক

আমরা জানি,
১ম : ২য় = ৩য় : ৪র্থ
বা, ৪/(৫/২) = ৮/ক
বা, (৪ × ২)/৫ = ৮/ক
বা, ৮ক = ৫ × ৮
∴ ক = ৫

প্রশ্ন: সোহেল এবং রুবেলের বেতনের অনুপাত ৭ : ৫। সোহেল, রুবেল অপেক্ষা ১২০০ টাকা বেশি বেতন পেলে রুবেলের বেতন কত?

সমাধান:
ধরি,
সোহেলের বেতন = ৭ক টাকা
রুবেলের এর বেতন = ৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৭ক - ৫ক = ১২০০
⇒ ২ক = ১২০০
∴ ক = ৬০০

সুতরাং, রুবেলের বেতন = (৫ × ৬০০) = ৩০০০ টাকা।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হার সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ৫ বছরে তা থেকে ৬৭০ টাকা সুদ পাওয়া যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়)/১০০
∴ আসল = (সুদ × ১০০)/(হার × সময়)
= (৬৭০ × ১০০)/(১০ × ৫)
= ১৩৪০ টাকা

∴ বার্ষিক ১০% হার সুদে ১৩৪০ টাকা বিনিয়োগ করলে ৫ বছরে তা থেকে ৬৭০ টাকা সুদ পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন: সিফাত, শাকিল এবং নয়ন একা একটি কাজ যথাক্রমে ৮, ১২ ও ২৪ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে ২ দিন কাজ করার পর কতটুকু কাজ বাকি থাকবে?

সমাধান:
সিফাত, শাকিল এবং নয়ন একত্রে ১ দিনে করে = (১/৮) + (১/১২) + (১/২৪) অংশ কাজ
= (৩ + ২ + ১)/২৪ অংশ কাজ
= ৬/২৪ অংশ কাজ
= ১/৪ অংশ কাজ

একত্রে ২ দিনে করে = (১/৪) + (১/৪) অংশ
= ২/৪ = ১/২ অংশ

∴ তারা প্রত্যেকে একত্রে ২ দিন কাজ করার পর কাজ বাকি থাকবে = ১ - (১/২) অংশ
= ১/২ অংশ

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ৬৬০ জন এবং ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ১৩ : ৯। কিছুদিন পর ৩০ জন নতুন ছাত্রী বিদ্যালয়ে যোগ দেয় এবং কিছু ছাত্র বিদ্যালয় পরিত্যাগ করে, ফলে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ৬ : ৫ হয়। কতজন ছাত্র বিদ্যালয় পরিত্যাগ করেছিল?

সমাধান:
ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত = ১৩ : ৯
∴ অনুপাতের যোগফল = (১৩ + ৯) = ২২

ছাত্র সংখ্যা = ৬৬০ × (১৩/২২) জন
= ৩৯০ জন

ছাত্রী সংখ্যা = (৬৬০ - ৩৯০) জন
= ২৭০ জন

ধরি,
বিদ্যালয় পরিত্যাগ করা ছাত্র সংখ্যা = ক জন

প্রশ্নমতে,
(৩৯০ - ক)/(২৭০ + ৩০) = ৬/৫
⇒ (৩৯০ - ক)/৩০০ = ৬/৫
⇒ ১৯৫০ - ৫ক = ১৮০০
⇒ ৫ক = ১৯৫০ - ১৮০০
⇒ ৫ক = ১৫০
∴ ক = ৩০