৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

রেখা ( Line ): 
- দুইটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা (Line) উৎপন্ন হয়।
- রেখার শুধু দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই।
 - রেখা একমাত্রিক (One-dimensional)।

প্রশ্ন: বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে একটি বৃত্তে-

সমাধান: 
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়। 

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিসীমা 18π মিটার, RSTO এর পরিসীমা কত? 


সমাধান: 
বৃত্তের পরিসীমা = 2πr = 18π
⇒ r = 18π/2π
⇒ r = 9

RSTO এর পরিসীমা = {(60°/360°) 18π} + 9 + 9 
= 18π/6 + 18 
= 3π + 18

প্রশ্ন: এক বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত অংকন করা যাবে?

সমাধান: 
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

প্রশ্ন: 3 cm, 4 cm এবং 5 cm ব্যসার্ধ বিশিষ্ট ৩টি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যসার্ধ কত?

সমাধান: 
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, {(4/3)π3³}, {(4/3)π4³}, {(4/3)π5³}।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন ={(4/3)π3³} + {(4/3)π4³} + {(4/3)π5³}
= (4/3) π (3³ + 4³ + 5³)
= (4/3) π × 216
= (4/3)π × 6³

নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

প্রশ্ন: চিত্রে, ∠ACB = 90° , AC = 4 m ও BC = 3m হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত? 


সমাধান: 
বৃত্তস্থ কোণ ১ সমকোণ। AB ব্যস। 

AB² = AC² + BC² 
⇒ AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 
∴ AB = √25 m = 5 মিটার 
ব্যাসার্ধ = 5/2
= 2.5 মিটার   

প্রশ্ন: ABCD একটি আয়তক্ষেত্র। ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল 25 বর্গমিটার হলে, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত? 


সমাধান: 
ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ BCD এর ক্ষেত্রফল = 25 বর্গমিটার

আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ BCD এর ক্ষেত্রফল
= 25 + 25 
= 50 বর্গমিটার 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৫২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৫২ × ২ 
 ∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১০৪ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬৮°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

সমাধান:
ধরি, বাহুর সংখ্যা n
সুষম বহুভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n - 2) x 180

 168 x n = (n - 2) x 180
বা, 168n = 180n - 360
বা, 12n = 360
বা, n = 360/12 = 30

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ৯ √৩ বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত ? 

সমাধান:
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ × বাহু^২  = ৯ √৩  
⇒ বাহু^২ = ৩৬
⇒ বাহু = ৬ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = ৩ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৩ × ৬ মিটার 
= ১৮ মিটার ।

ইউক্লিডের স্বীকার্য (Euclid's Postulates)
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

সূত্র- ৮ম শ্রেণির গণিত বই।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গ কিলোমিটার, এর কর্ণ বরাবর ৬ কিমি/ঘণ্টা বেগে হেটে যেতে কতক্ষণ লাগবে ? 

প্রশ্ন:
ধরি , বর্গের এক বাহু ক মিটার, 

ক^২  =  ৩৬
ক = ৬ কিমি

কর্ণ ^২ = ৬^২ + ৬^২
= ৩৬ + ৩৬ 
= ৭২  
= ৬√২ কি মি 

সময় লাগবে =  ৬√২ /৬ ঘণ্টা
= √২ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার । এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের কতগুণ ?

সমাধান: 
ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = ৬ × বাহু^২  
= ৬ × ৩৬
= ২১৬ বর্গমিটার

∴ ঘনকের আয়তন = ৬^৩ ঘনমিটার = ২১৬ ঘনমিটার

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য:
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

প্রশ্ন: চিত্রে, x এর মান কত? 


সমাধান: 
3x + 2x = 90 
⇒ 5x = 90 
⇒ x = 90/5 
= 18° 

প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসেব করার সময় ৪ % অতিরিক্ত হিসেব করা হয় । বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বেশী হবে ?  

সমধান:
ধরি ,
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ।
ক্ষেত্রফল = ২৫^২ বর্গমিটার
= ৬২৫ বর্গমিটার 

৪% বেশীতে  বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ২৫ + ২৫ এর ৪% মিটার = ২৬  মিটার 

 ক্ষেত্রফল = ২৬^২ বর্গমিটার
= ৬৭৬ বর্গমিটার


∴ বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা  বেশী হবে = (৬৭৬-৬২৫)/৬২৫ × ১০০ %
=৮.১৬ %

প্রশ্ন : একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

সমাধান :
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)^২
বা, বাহু^২ = (৪ × ১৬√৩)/√৩ 
বা, বাহু = √৬৪
∴ বাহু = ৮ সেমি

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
⇒ (১/২) × ৮ × উচ্চতা = ১৬√৩
⇒ ৪ × উচ্চতা = ১৬√৩
⇒ উচ্চতা = ১৬√৩/৪
= ৪√৩ মিটার

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের মান কেন্দ্রস্থ কোণের কত গুণ?

সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গ মিটার । বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ৩৬π =   π৬^২
আমরা জানি , বৃত্তের ক্ষেত্রফল =  π × ব্যাসার্ধ^২
ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার
∴ ব্যাস = ১২ মিটার

 প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের মান ৩√২ মিটার হলে , এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
ধরি, সমান বাহু ক ।
ক^২ + ক^২ =  (৩√২)২
⇒ ২ ক^২ = ১৮
⇒ ক^২  = ৯ 
∴ ক = ৩

∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৩ × ৩ 
= ৪.৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত  ২ : ৪ : ৬ । ত্রিভুজটি কী ধরণের ? 

সমাধান: 
ত্রিভুজের কোণগুলো ২ক, ৪ক, ৬ক 

২ক + ৪ক + ৬ক = ১৮০
⇒ ১২ক = ১৮০ 
⇒ ক = ১৫ 

৬ক = ৬ × ১৫ = ৯০°
সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী ।