১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

a = 3, m = 2, n = 1
∴ (a^m)ⁿ = (3²)¹ = 9

log_x(3/2) = -1/2
x^(-1/2) = 3/2
1/√x = 3/2
3√x = 2 
9x = 4 [উভয় পাশে বর্গ করে]
x = 4/9

ধরি,
প্রথম পদ = a এবং
সাধারণ অন্তর, d = 10
∴ পঞ্চম পদটি = a + (5 - 1)×10
⇒ 42 = a + 40
∴ a = 2
∴ দ্বাদশ পদটি = 2 + (12 - 1)×10 = 112

১ম পদ a =1
সাধারন অন্তর d = 5 - 1 = 4
n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 89 = 1 + (n-1) × 4
⇒ 89 = 1 + 4n - 4
⇒ 4n = 92
⇒ n = 23
সমষ্টি S_n = n/2 {2a + (n-1)d}
= 23/2 {2×1 + (23 -1) × 4}
= 23/2 × 90
= 1035

ধারাটির সমষ্টি = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)
= 1/6 × 18 (18 +1) (2 × 18 +1)
= 3 × 19 × 37
= 2109

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1 = aq = - 48
∴ a = - 48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ = aq^5-1 = aq⁴ = (-48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে]
= - 48q³

প্রশ্নমতে,
- 48q³ = 3/4
বা, q³ = -3/192
বা, q³ = -1/64
বা, q³ = (-1/4)³
∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.

সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 5
∴ পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা 2ⁿ = 2⁵ = 32

উভয় বিষয়ে ফেল x হলে,
100% = 70% + 60% - 50% + x
⇒ x = 150% - 130%
⇒ x = 20%

দ্যা মরগ্যানের সূত্র অনুসারে -
সার্বিক সেট U এর যে কোনো উপসেট A ও B এর জন্য -
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ এবং
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

প্রতি দলে ৩ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৬ জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৬C_৩ = (৬)!/{৩!(৬-৩)!} = ২০ ।
সমান সংখ্যক বা ৩ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২০/২ = ১০ ।
উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি।

12 টি পুস্তক হতে সর্বদা 1 টি অন্তর্ভুক্ত রেখে 5 টি বাছাই করা যায় - ¹¹C₄= 330

৬ টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে ১ টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ^৬C_২ = (৬×৫) / (২×১) = ১৫টি।

3, 4 ও 5 অর্থাৎ মোট 3 টি অঙ্ক থেকে 2 টি করে নিয়ে সংখ্যা গঠন করা যায় - ³P₂ = 6 টি

১০০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে মোট নম্বর = ৭০ x ১০০ = ৭০০০
৪০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = ৪০ x ৬২.৫ = ২৫০০
তাহলে, ৬০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = ৭০০০ – ২৫০০ = ৪৫০০
∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ৪৫০০/৬০ = ৭৫

কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত থাকে, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক।
৩, ৬, ৫, ৭, ৬, ৩, ৫, ৯, ৮, ৫, ১ উপাত্তগুলোর মধ্যে ৫ সর্বাধিক ৩ বার আছে।
সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ৫।

প্রথম ৪ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৬২ × ৪ = ২৪৮
শেষ ৫ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩৫ × ৫ = ১৭৫
∴ ৫ম সংখ্যাটি = ৪৮২ - (২৪৮ + ১৭৫)
= ৪৮২ - ৪২৩
= ৫৯

একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করলে নমুনা বিন্দু হবে, 2³ = 8 টি
(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)
নমুনা ক্ষেত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, প্রত্যেকবার T (TTT) আসার সম্ভাবনা 1 বার।
অর্থাৎ, সম্ভাব্যতা = 1/8

থলিতে মোট বল আছে = (১২+১৬+২০) = ৪৮ টি।
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = সাদা বলের অনুকূল ফলাফল / সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল
= ১৬ / ৪৮
= ১ / ৩

একটি ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা = 2, 3, 5
এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = 3, 6
মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য এমন সংখ্যা = 2, 3, 5, 6.
সুতরাং মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3।

সেপ্টেম্বর মাসের দিন সংখ্যা ৩০ দিন।
৫ দিন বৃষ্টি হয়ে থাকলে যে কোন একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৫/৩০ = ১/৬
অর্থাৎ, ১৭ তারিখ বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাব্যতা ১/৬

রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।
রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে।
রশ্মির প্রান্ত বিন্দু একটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।

ΔABC এ -
∠A + ∠B + ∠C = 180°
বা, 50° + 65° + ∠C = 180°
বা, ∠C = 180° - 115°
∴ ∠C = 65°
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোনদ্বয় সমান।
সুতরাং, ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

ABCD রম্বসের ∠B = 75°
∴ ∠D = 75°
∠C = ∠A = {(360 - 2×75) / 2}° = (210 / 2)° = 105°

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে,
ক্ষেত্রফল = b/4 × √(4a² - b²) বর্গ একক
= (60/4) × √{4 × 50² - 60²}
= 15 × √(10000 - 3600)
= 15 × 80
= 1200 বর্গ সেমি

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
এখানে,
৫^২ = ৩^২ + ৪^২
১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২
৮^২ + ৪^২ ≠ ১২^২
সুতরাং, ৮ : ৪ : ১২ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে না।

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x সেমি
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য x - 4 সেমি
এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য x + 4 সেমি
এখন,
x² + (x - 4)² = (x + 4)²
⇒ x² + x² - 8x + 16 = x² + 8x + 16
⇒ x² = 16x
⇒ x = 16
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য 16 + 4 = 20 সেমি।

বাড়ির দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ² = লম্ব² + ভূমি²
= ৪০²+৯²
= ১৬৮১
∴ অতিভূজ = √১৬৮১ = ৪১ ফুট
∴ মইয়ের উচ্চতা = ৪১ ফুট

ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = 3x মিটার
এখন, লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 9x2 + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
⇒ x = 5
ভূমির দৈর্ঘ্য (4×5) = 20 মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = (3 × 5) = 15 মিটার
∴ অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যর অনুপাত = 15 : 20 = 3 : 4

আমরা জানি,
(a,b) কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের সমীকরণ হবে,
(x -a)²+(y-b)² = r²
কেন্দ্র (0, 0) হলে বৃত্তের সমীকরণ হবে -
x² + y² = r²
সুতরাং, অপশন ক হবে বৃত্তের সমীকরণ।

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি:বৃত্তের ব্যাস =2πr/2r = π = ২২/৭

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 4r
∴ ব্যাসার্ধ = 2r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(2r)² = 4πr²
∴ 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে কর্ণ x√2.
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x = 4 বর্গ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² = 4² = 16

বৃত্তের ব্যাস ৫৬ ফুট হলে ব্যাসার্ধ ২৮ ফুট
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = ৩.১৪১৬ × ২৮² = ২৪৬১.৭৬ বর্গফুট
প্রশ্নমতে,বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪৬১.৭৬ বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৪৬১.৭৬ = ৪৯.৬ ফুট।