ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
এখন,
a² + a² = 10²
2a² = 100
a² = 50
a = √50

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × (√50) × (√50)
                                = (1/2) × (50)
                                = 25 বর্গ সে.মি. 

প্রশ্ন: ΔXYZ এ ∠X = 65°, ∠Y = 25° হলে, ত্রিভুজটি কী ধরণের হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

এখন,
 ∠X + ∠Y + ∠Z  = 180°
 65° + 25° + ∠Z = 180°
90° + ∠Z = 180°
∠Z =180° - 90° 
∠Z =90°

ΔXYZ একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?  

সমাধান: 
 তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
7² + x² = 25²
49 +  x² = 625
x² = 625 - 49 
x² = 576
x² = 24²
x = 24 

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের চারভাগের ভাগের সমান। কোণটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
দুটি কোণের যোগফল 90° হলে তাকে বলে পূরক কোণ। 
ধরি,
একটি কোণ x 
পূরক কোণ =  90° - x

প্রশ্নমতে,
x = (90° - x)/4
4x = 90° - x
4x + x = 90°
5x = 90°
x = 90°/5
x = 18°

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 20 মিটার এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি 16 মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য b = 20 মিটার
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 16 মিটার

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (b/4) × √(4a² - b²)
 = (20/4) × √(4 × 16² - 20²)
= 5 × √(1024 - 400)
= 5 ×√624
= 5 × 4√39
= 20√39 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে হতে ∠PEA এর মান কত 
 
সমাধান: 
∠PEA + ∠AEC  = 180° 
∠PEA + 50° =  180° 
∠PEA = 180°  -  50°
 ∠PEA = 130°

প্রশ্ন: ΔABC এ  AB = AC, ∠A = 40° হলে, ∠C = কত? 
 

সমাধান: 
ΔABC এ  AB = AC
 ∠C =  ∠B 

আবার,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40 + ∠C + ∠C= 180°
2∠C = 180° - 40°
2∠C = 140°
∠C = 140°/2
∠C = 70°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ও প্রস্থের অনুপাত 5 : 1। যদি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 216বর্গ সে.মি. হয় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = y 

প্রশ্নমতে,
y = a .............(1)
আবার,
2(x + y) = 5a
2x + 2y = 5a
2x + 2a = 5a
2x = 3a
x = 3a/2

এখন 
(3a/2) × a = 216
3a² = 216 × 2
a² = (216 × 2)/3
a² = 144
a² = 12²
a = 12
y = 12

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 12 সে.মি. 

সমাধান:
- দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হবে।
- দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
- দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক। I

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠C= 100° হলে, ∠B = কত? 


সমাধান: 
আমরা জানি,
সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান। 
 ∠C = 100° হলে ∠A = 100°
∠B = ∠D 

এখন,
 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
100° + 100° +  ∠B +  ∠D = 360°
∠B +  ∠D = 360° - 200
∠B + ∠B = 160°
2∠B = 160°
∠B = 160°/2
∠B = 80°

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ ।। MR হলে, ∠MRN এর মান কত?
 

সমাধান: 
PQ ।। MR হলে
∠PQR = ∠MRL = 55° [অনুরুপ কোণগুলো সমান]  

∠LRN =  ∠MRL  + ∠MRN
90° = 55° + ∠MRN
∠MRN = 90° - 55°
∠MRN = 35°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 8° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 8°

এখন
x + x +8° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 98°
⇒ x = 82°/2
∴ x = 41°

ক্ষুদ্রতম কোণ 41°

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে নিচের কোনটি সঠিক? 
 

সমাধান: 
AB ও CD রেখা পরস্পর সমান্তরাল EF তাদের ছেদক। 
 ∠3 এবং ∠6, ∠4 এবং ∠5 পরস্পর একান্তর কোণ 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের 15 সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর 3 সে.মি.। সবেচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি
সমকোণী ত্রিভুজের এক বাহু = x
সমকোণী ত্রিভুজের অপর বাহু = x + 3
এখন 
∴ (x + 3)² + x² = 15²
x² + 2.x.3 + 3² + x² = 225
x² + 6x +9 + x² = 225 
2x² + 6x + 9 - 225 = 0
2x² + 6x - 216 = 0
2(x² + 3x - 108) = 0
x² + 3x - 108 = 0
x² + 12x - 9x - 108 =0
x(x + 12) - 9(x + 12) = 0
(x + 12)(x - 9) = 0

হয় 
x - 9 = 0
x = 9
অথবা 
x + 12 = 0
x = - 12[দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না ]

সবেচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = 9 সে.মি.

রম্বসের বৈশিষ্ট্য হলো, এর 
ⅰ) চারটি বাহু পরস্পর সমান,
ⅱ) বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল,
ⅲ) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 140° হলে, ∠ACD এর মান কত?

সমাধান: 
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।I
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
∠ABC + ∠BAC = 140°
∠ACD = 140°