১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: x² - √3x + 1 = 0 হলে, x² + 1/x² এর মান কত?

সমাধান:
x² - √3x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √3x
⇒ x + 1/x = √3

এখন,
x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2.x.(1/x)
= (√3)² - 2
= 3 - 2
= 1

প্রশ্ন: x² + 2x - 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
x² + 2x - 3
= x² + 3x - x - 3
= x(x + 3) - 1(x + 3)
= (x + 3)(x - 1)

প্রশ্ন: 3x² - 7x + 11 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে, α + β এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ 3x² - 7x + 11 = 0
মূলদ্বয়ের যোগফল = α + β = - (x এর সহগ/ x² এর সহগ) =  7/3

প্রশ্ন: সমাধান করুন a(x + b) < c [যেখানে a ≠ 0]।

সমাধান:
 a(x+b) < c 
বা, ax + ab < c 
বা, ax < c - ab
বা, x < (c - ab)/a

প্রশ্ন: 7x - 3y = 31 এবং 9x - 5y = 41 হলে, (x, y) =?

সমাধান:
7x - 3y = 31 ................(1)
9x - 5y = 41 ...............(2)

(1) × 5 - (2) × 3 ⇒ 
35x - 15y - 27x + 15y = 155 - 123
8x = 32
x = 32/8
x = 4 

(1)  ⇒ 
7x - 3y = 31
28 - 3y = 31
3y = - 3
y = - 1 

(x, y) = (4, - 1)

প্রশ্ন: 3^x + 3^{1 - x} = 4 হলে, x = কত?

সমাধান:
3^x + 3^{1 - x} = 4
⇒ 3^x + 3/3^x = 4
⇒ a + 3/a = 4   [3^x = a ধরি]
⇒ a² + 3 = 4a
⇒ a² - 4a + 3 = 0
⇒ a² - 3a - a + 3 = 0
⇒ a(a - 3) - 1(a - 3) = 0
⇒ (a - 3)(a - 1) = 0
∴ a = 3    অথবা   a = 1
⇒ 3^x = 3¹       ⇒ 3^x = 3⁰
∴ x = 1                x = 0

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৭ম পদটি ২১ এবং প্রথম ৭টি পদের যোগফল ১১৫.৫ হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রথম পদ = a

দেওয়া আছে, 
৭ম পদ = ২১
∴ a + (৭ - ১)d = ২১
⇒ a + ৬d = ২১

এখন,
৭টি পদের যোগফল = ১১৫.৫
⇒ (৭/২){২a + (৭ - ১)d} = ১১৫.৫
⇒ ২a + ৬d = ৩৩
⇒ a + (a + ৬d) = ৩৩
⇒ a + ২১ = ৩৩
⇒ a = ১২

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5} এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A = {1, 2, 3, 4, 5}

আমরা জানি,
কোন সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1

এখানে,
n = সেটের উপাদান সংখ্যা = 3

∴ প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2⁵ - 1
= 32 - 1
= 31

প্রশ্ন: 5 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

সমাধান:
যেহেতু 1 জন মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকবে তাই
(5 - 1) + 6  = 4 + 6 = 10 জন থেকে বাকি 3 সদস্য বাছাই করা যাবে = ¹⁰C₃ = 120

প্রশ্ন: 2, 11, 12, 17, 19, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 35 সংখ্যাগুলোর মধ্যক ও প্রচূরক এর গুণফল কত?

সমাধান:
মোট পদ সংখ্যা আছে ১৯ টি, এর ১০ম পদ হচ্ছে মধ্যক।
∴ মধ্যক = 23

উপাত্তগুলোর মধ্যে সর্বাধিক ২ বার আছে 19 সংখ্যাটি।
∴ প্রচুরক = 19

∴ মধ্যক ও প্রচূরক এর গুণফল = 23 × 19 = 437

প্রশ্ন: যদি (x - 3)² + (y - 4)² + (z + 7)² = 0 হয়, তবে x³ + y³ + z³ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(x - 3)² + (y - 4)² + (z + 7)² = 0

ব্যবহৃত সূত্র:
(1.) a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) যদি a + b + c = 0, তবে a³ + b³ + c³ = 3abc
(2.) যদি (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = 0, তবে x = a, y = b এবং z = c

প্রশ্ন অনুযায়ী,
⇒ (x - 3)² + (y - 4)² + (z + 7)² = 0 অতএব, ⇒ x = 3, y = 4, z = - 7

অতএব,
? = x³ + y³ + z³
⇒ ? = 3³ + 4³ + (-7)³
⇒ ? = 27 + 64 - 343
⇒ ? = 91 - 343
⇒ ? = - 252

প্রশ্ন: f(x) = x³ - kx² + 6x - 4, k এর মান কত হলে x - 2, f(x) এর একটি উৎপাদক হবে?

সমাধান:
x - 2, f(x) এর একটি উৎপাদক হলে f(2) = 0
বা, 2³ - k.2² + 6.2 - 4 = 0
বা, 8 - 4k + 12 - 4 = 0
বা, 16 - 4k = 0
বা, 4k = 16
∴ k = 4 

প্রশ্ন: 7 : 13 = (7.82 - x) : (x - 7.62) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
7 : 13 = (7.82 - x) : (x - 7.62)
বা, 7/13 = (7.82 - x)/(x - 7.62)
বা, 13(7.82 - x) = 7(x - 7.62)
বা, 101.66 - 13x = 7x - 53.34
বা, 20x = 155
∴ x = 7.75

প্রশ্ন: পরমমানে প্রকাশ করুন: 3 < x < 5 

সমাধান: 
3 + 5 = 8, 8/2 = 4 

3 - 4 < x - 4 < 5 - 4
বা, - 1 < x - 4 < 1 

∴ ।x - 4। < 1

প্রশ্ন: x + 3y = 11, 7x - 2y = 8 হলে, 2xy এর মান কত? 

সমাধান: 
 x + 3y = 11................(1)
7x - 2y = 8................(2)

(1) × 2 + (2) × 3 ⇒ 
2x + 6y + 21x - 6y = 22 + 24
23x = 46
x =46/23
x = 2

(1)  ⇒ 
x + 3y = 11
2 + 3y = 11
3y =9
y = 3 

2xy = 2(2 × 3) = 12

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ ২০ এবং ষষ্ঠ পদ ১৬০ হলে সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 20
⇒ ar² = 20 ------------ (1)

৬ষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = 160
⇒ ar⁵ = 160 ----------- (2)

(2) ÷ (1) হতে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 23
∴ r = 2

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = 2

প্রশ্ন: যদি n(U) = 20, n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ⋂ B) = 4, যেখানে U হল সর্বজনীন সেট, A এবং B হল U এর উপসেট হয়, তাহলে n{(A ⋃ B)^c} = কত?

সমাধান:
n(U), n(A), এবং n(B) যথাক্রমে U, A, এবং B সেটে উপাদানের সংখ্যা নির্দেশ করে।
A ⋃ B = A + B - (A ∩ B)
(A ⋃ B)^c = U - (A ⋃ B)

n(U) = 20, n(A) = 12, n(B) = 9 এবং n(A ∩ B) = 4

সূত্র অনুযায়ী,
n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 12 + 9 - 4 = 17

আবার, উপরে উল্লিখিত সূত্র অনুযায়ী,
n(A ⋃ B)^c = n(U) - n(A ⋃ B) = 20 - 17 = 3

প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দের অক্ষর থেকে মোট কতগুলি 7 অক্ষরের শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
'EQUATION' শব্দে মোট অক্ষর = 8টি
মোট 6 অক্ষরের শব্দ হল:- ⁸P₇ = 8!/(8 - 7)! = 8!/1! 
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 40320

∴ 7- অক্ষরের মোট 40320 শব্দ গঠিত হতে পারে।

প্রশ্ন: A এবং B দুটি ঘটনা যেখানে P(A) = 3/8, P(B) = 1/2 এবং P(A ∩ B) = 1/4, এখন P(A̅ ∩ B̅) নির্ণয় করুন।

সমাধান:
P(A) = 3/8
P(B) = 1/2
P(A ∩ B) = 1/4

অনুসৃত সূত্র:
P(A̅ ∩ B̅) = 1 - P(A ∪ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

∴ P(A ∪ B) = 3/8 + 1/2 - 1/4
⇒ P(A ∪ B) = (3 + 4 - 2)/8
⇒ P(A ∪ B) = 5/8

∴ P(A̅ ∩ B̅) = 1 - 5/8
⇒ P(A̅ ∩ B̅) = (8 - 5)/8 = 3/8

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:

প্রশ্ন: a² + 2ab - 2b - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a² + 2ab - 2b - 1
= a² - 1² + 2ab - 2b
= (a + 1)(a - 1) + 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 2b + 1)

প্রশ্ন: x + y = 8 ও x - y = 2 হলে, 2x + 3y এর মান কত?

সমাধান:
x + y =8..................(1)
x - y = 2.................(2)

(1) + (2) ⇒
x + y + x - y = 8 + 2
2x = 10
x = 5

(1) ⇒
x + y = 8
5 + y = 8
y = 8 - 5
y = 3

2x + 3y = 2 × 5 + 3 × 3 = 10 + 9 = 19

প্রশ্ন: সমাধান করুন ।x - 3। < 5

সমাধান: 
।x - 3। এটা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক ও হতে পারে।   

x - 3 ধনাত্মক হলে,
⇒ x - 3 < 5
⇒ x < 8

আবার, x -3 ঋণাত্মক হলে,
- (x - 3)< 5
⇒ x > - 5 + 3
⇒ x > - 2

∴ - 2 < x < 8

প্রশ্ন: x² - x - 6 = 0 এর সমাধান করুন?

সমাধান: 
x²- x - 6 = 0 
⇒ x² - 3x + 2x − 6 = 0 
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒ (x - 3) (x + 2) = 0 
এখন, 
x - 3 = 0
⇒ x = 3

আবার, 
x + 2 = 0 
⇒ x = - 2 

∴ x = 3, - 2

প্রশ্ন: 2 + 2/3 + 2/9 + ............ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? 

সমাধান:
১ম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত r = (2/3)/2
= (2/3) × (1/2)
 = 1/3

অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 2/{1 - (1/3)}
= 2/{(3 - 1)/3}
 = 2/(2/3)
 = 2 × (3/2)
 = 3

প্রশ্ন: A = {x : x ∈ N, x² < 36} সেটটির শক্তি সেটের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
A = {x : x ∈ N, x² < 36} 
A = {1, 2, 3, 4, 5}

A সেটের শক্তি সেট P(A)
P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ [ n হলো A সেটের সদস্য সংখ্যা]
= 2⁵
= 32

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা কতগুলি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে? (অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তির অনুমতি রয়েছে)

সমাধান:
ধরি,
অঙ্ক 3 টি হল যথাক্রমে H T U (শতক, দশক, একক অঙ্ক)
3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে
কেবলমাত্র 5, 7, 9 কে একক অঙ্কের স্থানে ব্যবহার করা সম্ভব
শতক এবং দশকের স্থানে 5 টি অঙ্কই ব্যবহার করা সম্ভব

একক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 3
দশক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5
শতক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5

3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা = 3 × 5 × 5 = 75
∴ 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা 75 টি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে, যদি অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয়।

প্রশ্ন: 40 থেকে 50 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: ১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি। - এগুলো হলো - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।


40 থেকে 50 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 41, 43, 47
আবার, 
40 থেকে 50 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সংখ্যা = 40, 45, 50
∴ 40 থেকে 50 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 11 টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা 5 এর গুণিতক মোট সংখ্যা = (3 + 3) টি = 6টি 

∴ সম্ভাবনা = 6/11