Math Master

x⁴ + 4 
= (x²)² + 2.x². 2 + 2² - 4x²
= (x² + 2)² - (2x)²
= (x² + 2 + 2x) (x² + 2 - 2x)
= (x² + 2x + 2)  (x² - 2x + 2)

a² + 3a - 40= 0 
a² + 8a - 5a - 40= 0 
a(a + 8) - 5(a + 8) = 0
(a + 8) (a - 5) = 0
হয়                       অথবা 
a + 8 = 0                 a - 5 = 0
a = - 8                     a = 5 

6x² - x - 15 
6x² - 10x + 9x - 15 
2x(3x - 5) + 3(3x - 5)
(3x - 5)(2x + 3)

(x² - x)² + 3(x² - x) - 40
ধরি,
x² - x = a 

এখন,
a² + 3a - 40 
a² + 8a - 5a - 40
a(a + 8) - 5(a + 8)
(a + 8)(a - 5)
(x² - x + 8)(x² - x- 5)

দেওয়া আছে,
g(a) = a³ + a² + 10a – 8
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে g (a) কে (a – 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে g (2)
g(2) = 2³ +2²+10 . 2 - 8
       =8 + 4 + 20 - 8
       =32 - 8
       = 24
g(2) = 24

x²  -1 - y(y - 2) 
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= {x  + (y - 1)}{x - (y - 1)}
= (x  + y - 1) (x  - y + 1) 

2x² + x - 15
2x² + 6x - 5x - 15 
2x(x + 3) - 5(x + 3)
(x + 3)(2x- 5)

দেওয়া আছে
f(a) = a⁴ - 4a + 3 
a = 1 হলে 
f(1) = 1⁴ - 4.1 + 3 
       = 1 - 4 + 3
       = 4 - 4
       = 0
(a - 1) হলো f(a) এর একটি উৎপাদক।

f(x) = x³ - 4x² - 2x -15
f(5) = 5³ - 4 .5² - 2.5 -15
      =125 - 100 - 10 - 15 
      = 125 - 125 
      = 0
f(x) = x³ - 4x² - 2x -15 এর একটি উৎপাদক হলো x - 5

P(x) কে x – 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে,
P(2) = 5(2)³ + 6(2)² — a(2) + 6
       = 40 + 24 – 2a + 6
        = 70 - 2a ¹
শর্তানুসারে,
70 – 2a = 6
বা, 2a = 70 – 6 
বা, 2a = 64
   a = 32

x² - y² + 4y - 4 
= x² - (y² - 4y + 4)
= x² - {(y)² - 2 .y . 2 + 2²}
= x² - (y - 2)²
= {x + (y - 2)}{x - (y - 2)}
 = (x + y - 2)(x - y + 2)

কোনো বহুপদীর সাধারণ পদ cx^P এ c কে x^P এর সহগ (coefficient) এবং p কে এই পদের মাত্রা বা ঘাত (degree) বলা হয়।
কোনো বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়।
বহুপদীতে গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদটিকে মূখ্যপদ ও মূখ্যপদের সহগকে মূখ্য সহগ এবং 0 মাত্রাযুক্ত অর্থাৎ, চলক-বর্জিত পদটিকে ধ্রুবপদ বলা হয়।

2x⁴ - 3x³ - 3x - 2 বহুপদীটির মূখ্যপদ = 2x⁴
মূখ্য সহগ = 2

a⁴ + a²b² + b⁴ এর একটি উৎপাদক হলো- 
(a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² 
(a² + b²)² - (ab)²
(a² + b² + ab) (a² + b² - ab)
(a² + ab + b² ) (a² - ab + b² )

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 2 ও 3 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মুলদ্বয়ের যোগফল)x + মুলদ্বয়ের গুণফল = 0 
⇒ x² - (2 + 3)x + 2 × 3 = 0
⇒ x² - 5x + 6 = 0

4a² - 12ab + 9b² -4c² 
(2a)² - 2.2a.3b + (3b)² - (2c)²
(2a - 3b)² - (2c)² 
{(2a - 3b) + 2c}{(2a - 3b) - 2c}
(2a - 3b + 2c)(2a - 3b - 2c)

ধরি,
f(x) = x² - kx - 48 

(x  - 8), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে f(8) = 0 হবে 

f(8) = 8² - k8 - 48
      = 64 - 8k - 48 
      = 16 - 8k 

তাহলে 
16 - 8k = 0
8k = 16 
k = 16/8
k = 2