ইউনিয়ন সমাজকর্মী প্রস্তুতি [Archived]

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + ......... ধারাটির কোন পদ 109 হবে?

সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

ধরি, r তম পদ = 109

তাহলে,
a + (r - 1)d = 109
⇒ 5 + (r - 1)4 = 109
⇒ 5 + 4r - 4 = 109
⇒ 4r = 109 - 1
⇒ 4r = 108
∴ r = 27

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11} হলে, A ∩ B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9, 11}

সুতরাং, A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {3, 5, 7, 9}

প্রশ্ন: নিচের উপাত্তসমূহের গড় কত?
৫, ৮, ১২, ১৫, ২৫

সমাধান:
উপাত্তসমূহের গড় = (৫ + ৮ + ১২ + ১৫ + ২৫)/৫
= ৬৫/৫
= ১৩

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + ........... ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 6560 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 >1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 6560
⇒ a{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 6560
⇒ 2 × {(3ⁿ - 1)/(3 - 1)} = 6560
⇒ 3ⁿ - 1 = 6560/2
⇒ 3ⁿ = 6560 + 1
⇒ 3ⁿ = 6561
⇒ 3ⁿ = 3⁸
∴ n = 8

প্রশ্ন: A = {2, 3, 7, 9} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A সেটের উপাদান = 4 টি
A এর প্রকৃত উপসেট = 2⁴
= 16 টি

∴ প্রকৃত উপসেট = 16 - 1
= 15 টি

প্রশ্ন: প্রদত্ত উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
২, ৬, ৭, ৭, ৮, ৪, ২, ৯, ১০, ১১

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই ২, ২, ৪, ৬, ৭, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১
মোট উপাত্তের সংখ্যা, (n) = ১০ (যা একটি জোড় সংখ্যা) 

∴ মধ্যক = {(১০/২) তম পদ + (১০/২ + ১) তম পদ}/২
= (৫ তম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৭ + ৭)/২
= ১৪/২
= ৭

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + … + 64 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 64
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1 = 1

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (64/2){2 · 1 + (64 - 1) · 1}
= 32(2 + 63)
= 32 × 65
= 2080

প্রশ্ন: সেট P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা
2 এর চেয়ে ছোটো নয় আবার 12 এর চেয়ে বড়ো নয়
প্রতিটি সংখ্যা 2 এর গুণিতক

সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে,
P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 2 এর গুণিতক, 2 ≤ x ≤ 12}

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 24 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)
প্রথম 24টি পদের সমষ্টি = 24(24 + 1)
= 24 × 25
= 600

প্রশ্ন: 0.9 + 0.09 + 0.009 + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.9 = 9/10 
সাধারণত অনুপাত, r = 0.09/0.9
= 1/10 < 1

সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (9/10) ÷ {1 - (1/10)}
= (9/10) ÷ (9/10)
= (9/10) × (10/9)
= 1

প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x² > 10 এবং x³ < 70} হলে, A = কত?

সমাধান:
x² > 10; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {4, 5, 6 .......}
x³ < 70; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3, 4}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {4, 5, 6 .......} ∩ {1, 2, 3, 4}
= {4}

প্রশ্ন: ৩, ২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮, ৯ সংখ্যাগুলোয় প্রচুরক কোনটি?

সমাধান:
কোন উপাত্তসমূহের মধ্যে কোন উপাত্ত সর্বাধিকবার থাকলে তাকে প্রচুরক বলে।

৩, ২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮, ৯ সংখ্যাগুলোয় কোন সংখ্যা একাধিকবার নেই।

∴ ৩, ২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮, ৯ সংখ্যাগুলোয় প্রচুরক নেই।

প্রশ্ন: প্রথম 8টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান :
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 8টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {8(8 + 1)/2}²
= {(8 × 9)/2}²
= (72/2)²
= 36²
= 1296

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 18² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {18(18 + 1)(2 · 18 + 1)}/6
= (18 · 19 · 37)/6
= 12654/6
= 2109

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + … গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 972 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

ধরি,
n তম পদ = 972
⇒ ar^{n - 1} = 972
⇒ 4 × 3^{n - 1} = 972
⇒ 3^{n - 1} = 243
⇒ 3^{n - 1} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1
⇒ n = 6

∴ ধারাটির 6 তম পদ 972 হবে।

প্রশ্ন: ৫ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

সমাধান:
অসীম সেট: যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে।
৫ এর গুণিতকসমূহ = ৫, ১০, ১৫, ২০, ...............ইত্যাদি
∴ ৫ এর গুণিতকের সেট = {৫, ১০, ১৫, ২০,.................}

অর্থাৎ, ৫ এর গুণিতকের সেট অসীম সেট।

প্রশ্ন: 2 + 6 + p + q + 162 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে q - p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, p = ar²
= 2 × 3²
= 2 × 9
= 18
ধারাটির চতুর্থ পদ, q = ar³
= 2 × 3³
= 2 × 27
= 54
∴ q - p = 54 - 18 = 36

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + ............... + 67 ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
এখানে ধারাটির,
১ম পদ = 3
শেষ পদ = 67
সাধারণ অন্তর = 7 - 3 = 4

সুতরাং, পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(67 - 3)/4} + 1
= (64/4) + 1
= (16 + 1)
= 17