৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: a = √3 + √2 হলে, a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √3 + √2
বা, 1/a = 1/(√3 + √2)
= {1 × (√3 - √2)} / {(√3 + √2) (√3 - √2)}
= (√3 - √2) / (√3)² - (√2)²
= (√3 - √2) / (3 - 2)
= √3 - √2

∴ ‍a + (1/a) = √3 + √2 + √3 - √2 = 2√3

এখন, 
a³ + (1/a)³ = {a + (1/a)}³ - 3.a.(1/a) {a + (1/a)}
= (2√3)³ - 3 × (2√3)
= 8 × 3√3 - 6√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

প্রশ্ন: a > b এবং ab < 0 হলে, নিচের কোনটি ঋণাত্মক?

সমাধান:
ab < 0 হলে a এবং b এর যে কোনো একটি ঋণাত্মক হবে।

যেহেতু a > b 
সেহেতু b অবশ্যই ঋণাত্মক হবে।

প্রশ্ন: x - 1/x = 1 হলে, x³ - (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 1

এখন, 
x³ - (1/x)³ = {x - (1/x)}³ + 3.x.(1/x) {x - (1/x)}
= 1³ + 3 × 1
= 4

প্রশ্ন: সাদিক 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্ধ্ব 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে তা নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
x টি কলমের ক্রয়মূল্য 3x টাকা 
আবার,
(x + 2) টি খাতার ক্রয়মূল্য 6(x + 2) টাকা 

প্রশ্নমতে,
3x + 6(x + 2) ≤ 93 
বা, 3x + 6x + 12 ≤ 93
বা, 9x + 12 ≤ 93
বা, 9x + 12 - 12 ≤ 93 - 12 [উভয় পক্ষ হতে 12 বিয়োগ করে] 
বা, 9x ≤ 81
∴ ‍x ≤ 9

∴ ‍নির্ণেয় সাদিক সর্বাধিক 9 টি কলম কিনেছে। 

প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে?

সমাধান:
মনে করি,
x/y + p = y/x
বা, p = y/x - x/y
বা, p = (y² - x²) / xy

প্রশ্ন: x² - 8x - 8y + y² + 16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x² - 8x - 8y + y² + 16
= (- x)² + (- y)² + (4)² + 2(- x)(- y) + 2(- x).4 + 2(- y).4 - 2xy 
= (- x - y + 4)² - 2xy
= (4 - x - y)² - 2xy

∴ ‍2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 4x² - 4xy + y² - z²

সমাধান:
4x² - 4xy + y² - z²
= (2x)² - 2 × 2x × y + (y)² - z²
= (2x - y)² - z²
= (2x - y + z) (2x - y - z)

প্রশ্ন: x² - y² = 15 এবং x + y = 5 হলে, 8xy(x² + y²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² - y² = 15
বা, (x + y)(x - y) = 15
বা, 5(x - y) = 15
∴ x - y = 3

প্রদত্ত রাশি, 
 8xy(x² + y²)
= 4xy.2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= (5² - 3²)(5² + 3²)
= 16 × 34
= 544

প্রশ্ন: 2x - 5 ≤ 15 হলে, x = ?

সমাধান:
2x - 5 ≤ 15
⇒ 2x ≤ 15 + 5
⇒ 2x ≤ 20
⇒ x ≤ 10
∴ ‍x ≤ 10

প্রশ্ন: t + 1/t = 2 হলে t⁵ - 1/t⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
t + 1/t = 2
বা, t² + 1 = 2t
বা, t² - 2t + 1 = 0
বা, (t - 1)² = 0
বা, t - 1 = 0
∴ t = 1

∴ ‍t⁵ - 1/t⁵
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

প্রশ্ন: x যদি y এর চেয়ে বড় হয়, তবে 1/x এর চেয়ে 1/y - 

সমাধান:
x > y
⇒ 1/x < 1/y [ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়]

প্রশ্ন: a³ - 3a²b + 2b³ এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 3a²b + 2b³
= a³ - a²b - 2a²b + 2ab² - 2ab² + 2b³
= a²(a - b) - 2ab(a - b) - 2b²(a - b)
= (a - b) (a² - 2ab - 2b²)

প্রশ্ন: a + 1/a = 3 হলে, a² + 1/a² = ?

সমাধান:
a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2.a.(1/a)
= (a + 1/a)² - 2
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

প্রশ্ন: x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক - 

সমাধান:
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: (2x + 3y) (4x - 5y) এর দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ -

সমাধান:
আমরা জানি,
ab = {(a + b)/2}² - {(a - b)/2}²

∴ ‍(2x + 3y) (4x - 5y)
= {(2x + 3y + 4x - 5y)/2}² - {(2x + 3y - 4x + 5y)/2}²
= {(6x - 2y)/2}² - {(8y - 2x)/2}²
= (3x - y)² - (4y - x)²

প্রশ্ন: (a + b)³ + (a - b)³ এর মান কত হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ,
(a + b)³ + (a - b)³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + a³ - 3a²b + 3ab² - b³
= 2a³ + 6ab²

প্রশ্ন: x⁴ - 64 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x⁴ - 64
= (x²)² - (8)²
= (x² + 8) (x² - 8)
= (x² + 8) {(x)² - (2√2)²}
= (x² + 8) (x + 2√2) (x - 2√2)

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 11x - 6 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
∴ ‍f(1) = (1)³ - 6.(1)² + 11.(1) - 6
= 1 - 6 + 11 - 6
= 12 - 12
= 0

∴ ‍(x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,
x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - x² - 5x² + 5x + 6x - 6
= x²(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1) (x² - 5x + 6)

প্রশ্ন: f(x) = 6x² - ax - 3 এবং (3x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে a এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = 6x² - ax - 3
∴ ‍f(1/3) = 6(1/3)² - a(1/3) - 3 = 0
⇒ 6/9 - a/3 - 3 = 0
⇒ 6 - 3a - 27 = 0
⇒ - 3a = 21
∴ ‍a = - 7

প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হলে ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14

আমরা জানি,
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca)
বা, (6)² = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 36 - 14 = 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 22
∴ ‍ab + bc + ca = 11

প্রশ্ন: 3x + 2 > 5x - 6 এর সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
3x + 2 > 5x - 6
⇒ 3x + 2 - 5x + 6 > 0
⇒ - 2x + 8 > 0
⇒ - 2x > - 8
⇒ - x > - 4
∴ ‍x < 4

প্রশ্ন: |x - 4| < 7 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
|x - 4| < 7
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ - 7 + 4 < x - 4 +4 < 7 + 4
⇒ - 3 < x < 11

প্রশ্ন: x - [x - {x - (x + 1)}] এর মান কত?

সমাধান:
x - [x - {x - (x + 1)}]
= x - {x - (x - x - 1)}
= x - (x + 1)
= x - x - 1
= - 1

প্রশ্ন: |2x + 1| < 3 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
|2x + 1| < 3 
⇒ - 3 < 2x + 1 < 3
⇒ - 3 - 1 < 2x + 1 - 1 < 3 - 1
⇒ - 4 < 2x < 2
⇒ - 2 < x < 1

প্রশ্ন: x² - 3x + 1 = 0 হলে x² - 1/x² এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 3x + 1 = 0
বা, x² + 1 = 3x
বা, x + 1/x = 3

এখন,
(x - 1/x)² = {x + (1/x)}² - 4.x.(1/x)
= (3)² - 4
= 9 - 4
= 5

∴ ‍x - 1/x = √5

প্রদত্ত রাশি,
x² - 1/x² = (x + 1/x) (x - 1/x)
= 3 . √5 
= 3√5

প্রশ্ন: x + y = 2, x² + y² = 4 হলে, x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
বা, 2² = 4 + 2xy
বা, 2xy = 0
∴ ‍xy = 0

প্রদত্ত রাশি,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 2³ - 3 × 0 × 2
= 8 - 0
= 8

প্রশ্ন: |2x + 5| < 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|2x + 5| < 7
⇒ - 7 < 2x + 5 < 7
⇒ - 7 - 5 < 2x + 5 - 5 < 7 - 5
⇒ - 12 < 2x < 2
⇒ -  6 < x < 1

∴ ‍x এর সর্বোচ্চ মান 1

প্রশ্ন: 3a³ + 2a² - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = 3a³ + 2a² - 21a - 20
∴ ‍f(- 1) = 3.(- 1)³ + 2.(- 1)² - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 23 - 23
= 0

∴ ‍(a + 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।