ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ..... + 38 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 38
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1
= 1

∴ সমষ্টি = (n/2)/{2a + (n - 1)d}
= (38/2){2 · 1 + (38 - 1)1}
= 19(2 + 37)
= 19 × 39
= 741

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং সপ্তম পদটি 55 হলে, দশম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a
এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
পঞ্চম পদ = 55
∴ a + (7 - 1)5 = 55
⇒ a + 30 = 55
⇒ a = 55 - 30
⇒ a = 25

∴ নবম পদ = 25 + (10 - 1) × 5
= 25 + 45
= 70

প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + ....... ধারাটির কোন পদ 295 হবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 7 = 3

ধরি, r-তম পদ = 295

তাহলে,
a + (r - 1) d = 295
⇒ 7 + (r - 1)3 = 295
⇒ 7 + 3r - 3 = 295
⇒ 3r = 291
⇒ r = 97

অতএব, ধারাটির 97 তম পদ 295 হবে।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = ৪

∴ অনুপাত, r = 8/16
= 1/2

.. অষ্টম পদ = ar^{9 - 1}
= 16 × (1/2)⁸ 
= 16/256
= 1/16 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 36 এবং প্রথম 6টি পদের যোগফল 144 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (6 - 1)d = 36
⇒ a + 5d = 36 .......... (1)

এবং (6/2){2a + (6 - 1)d} = 144
⇒ 2a + 5d = 48 ........ (2)

(2) নং (1) নং হতে পাই,
2a + 5d - a - 5d = 48 - 36
∴ a = 12

প্রশ্ন: 4 + 16 + 64 + ........... গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 1024 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 16/4 = 4

ধরি,
n তম পদ = 1024
⇒ ar^{(n - 1)} = 1024
⇒ 4 × 4^{(n - 1)} = 1024
⇒ 4^{(1 + n - 1)} = 4⁵ 
⇒ 4ⁿ = 4⁵ 
∴ n = 5

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
• সমান্তর ধারা:
- সমান্তর বলতে 'সমান অন্তর' বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
- যেমন: ১ + ৬ + ১১ + ১৬  + ........+  ৩১, একটি সমান্তর ধারা।

∴ 3 - 5 - 13 - 21 একটি সমান্তর ধারা। 
এখানে, প্রথম পদ, a = 3 আবার, - 13 -  ( - 5) = - 8
সাধারণ অন্তর, d = (- 5 - 3) = - 8
- 21 - (- 13) = - 8

প্রশ্ন: 5 + (5/6) + (5/36) + ....... ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 5
২য় পদ = 5/6

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (5/6)/5
= (5/6) × (1/5)
= 1/6

প্রশ্ন: 1, 3, 6, 10, ..... অনুক্রমটির নবম পদ কত?

সমাধান:
অনুক্রমটির,
১ম পদ = 1
২য় পদ = 1 + 2 = 3
৩য় পদ = 3 + 3 = 6
৪র্থ পদ = 6 + 4 = 10
৫ম পদ = 10 + 5 = 15
৬ষ্ঠ পদ = 15 + 6 = 21
৭ম পদ = 21 + 7 = 28
৮ম পদ = 28 + 8 = 36
৯ম পদ = 36 + 9 = 45

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r(r < 1) এবং পদসংখ্যা n হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
একটি গুণোত্তর ধারা প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r(r < 1) এবং পদসংখ্যা n হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r) 

আবার,
একটি গুণোত্তর ধারা প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r(r > 1) এবং পদসংখ্যা n হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² +.....+ 23² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {23(23 + 1)(2 · 23 + 1)/6}
= (23 · 24 · 47)/6
= 4324

প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা:
- যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।

যেমন:
২ + ৪ + ৮ + .......
৩, ৯, ২৭, ......
১/২, ১/৪, ১/৮......

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ...... + (2a - 1) = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = 1
সাধারণ অন্তর = 3 - 1 = 2
শেষ পদ = 2a - 1

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(2a - 1 - 1)/2} + 1
= {2(a - 1)/2} + 1
= a - 1 + 1
= a

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(2a - 1 + 1)/2} × a
= (2a/2) × a
= a²

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 +..... ধারাটির প্রথম কতটি পদের সমষ্টি 242?

সমাধান:
ধরি,
2 + 6 + 18 +..... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 242

এখানে,
১ম পদ, a = 2 ,
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 > 1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 242
⇒ a{(rⁿ - 1)/(3 -1)} = 242
⇒ 2 × {(3ⁿ - 1)/2} = 242
⇒ 3ⁿ - 1 = 242
⇒ 3ⁿ = 243
⇒ 3ⁿ = 3⁵
⇒ n = 5

প্রশ্ন: 213 + 173 + ...... + 93 শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ = 213
২য় পদ = 213 - 40 = 173
৩য় পদ = 173 - 40 = 133
৪র্থ পদ = 133 - 40 = 93

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + ......... ধারাটির কোন পদ 384 হবে? 

সমাধান:
১ম পদ a = 3
সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ
= 3√2/3 = √2 
∴ n তম পদ = ar^{n - 1} 

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 384
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 384
⇒ (√2)^{n - 1} = 128
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁷
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 2⁷
⇒ (n - 1)/2 = 7
⇒ n - 1 = 14
∴ n = 15

প্রশ্ন: (1/7) - (2/7²) + (4/7³) - (8/7⁴) + ........ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? 

সমাধান:
ধারাটির, প্রথম পদ, a = 1/7
সধারণ অনুপাত, r = (- 2/7²)/(1/7)
= (- 2/49) × (7/1)
= (- 2/7)

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/7)/{1 - (- 2/7)}
= (1/7)/{7/(7 + 2)}
= (1/7)/(7/9)
= 1/9

প্রশ্ন: প্রথম ষোলটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = (১৬)^২ = ২৫৬

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) +.... ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n = 5
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2; যা 1 থেকে ছোট

∴ 5 টি পদের সমষ্টি = a{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= 1 × [{1 - (1/2)⁵}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/32)}/{1 - (1/2)}
= {(32 - 1)/32}/{(2 - 1)/2}
= (31/32)/(1/2)
= (31/32) × (2/1)
= 31/16

প্রশ্ন: ৭ + ১৩ + ১৯ + ২৫ + ....... ধারাটির ১৭ তম পদ কত?

সমাধান:
সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = ৭
এবং সাধারণ অন্তর, d= ১৩ - ৭ = ৬

সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d 
১৭ তম পদ = ৭ + (১৭ - ১) × ৬
= ৭ + ১৬ × ৬
= ৭ + ৯৬
= ১০৩

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 162 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^{2 - 1} = aq = - 162
∴ a = - 162/q ........ (1)

আবার, পঞ্চম পদ = aq ^{5 - 1} = aq⁴ = (- 162/q)q⁴ = - 162q³

প্রশ্নমতে,
- 162q³ = 3/4
⇒ q³ = - 3/648
⇒ q³ = - 1/216
⇒ q³ = (- 1/6)³
∴ q = - 1/6

সুতরাং, ১ম পদ = - 162/(-1/6)
= 972

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমাপ্ত n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 18টি পদের সমাষ্ট কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)
প্রথম 18টি পদের সমষ্টি = 18(18 + 1)
= 18 × 19
= 342

প্রশ্ন: প্রথম দিনে 4টি, ২য় দিনে 8টি, ৩য় দিনে 16টি বই রাখা হয়। এভাবে বই রাখা হলে 10 দিনে মোট কতটি বই জমা রাখা হবে?

সমাধান:
বই জমা রাখার অনুক্রম: 4, 8, 16, ...., n

এখানে অনুক্রমটির,
মোট পদ, n = 10
১ম পদ, a = 4
অনুপাত, r = 8/4 = 2

∴ 10টি পদের সমষ্টি = 4 × {(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)}  [∴ n তম পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}]
= 4 × (1024 - 1)/1
= 4 × 1023
= 4092

অতএব, 10 দিনে মোট 4092 টি বই জমা করবে।

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + ...... + 77 ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির, ১ম পদ = 1
শেষ পদ = 77
সাধারণ অন্তর = 5 - 1 = 4

সুতরাং, পদসংখ্যা = {(শেষ পদ ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(77 - 1)/4} + 1
= (76/4) + 1
= 19 + 1
= 20