ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

ধারাটির ৭ম পদ = cos(7π/2) [∵ n = 7]
= cos (7 × 90°)
= cos 630°
= 0

এখানে
a = ২,
d = ৫ - ২ = ৩,
∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ২ + ২০×৩
= ৬২

এখানে,
d = 5
∴ 11তম পদ = a + (11 - 1)d = 54
বা, a + 10 × 5 = 54
বা, a = 54 - 50 = 4
∴ 15তম পদ = 4 + (15 - 1)5
= 4 + 14 × 5
= 4 + 70
= 74

a = 4, d = 9 - 4 = 5
∴ n-তম পদ = a + (n - 1)d = 504
বা, 4 + (n - 1)5 = 504
বা, 4 + 5n - 5 = 504
বা, 5n = 505
∴ n = 101

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(150 - 10)/5} + 1
= (140/5) + 1
= 28 + 1
= 29

a =৫, d = ৪
শেষ পদ = ১০১
∴ পদ সংখ্যা (n) = {(১০১ - ৫)/৪} + ১
= (৯৬/৪) + ১
= ২৪ + ১
= ২৫
সুতরাং, সমষ্টি (s) = ১/২ × পদ সংখ্যা × (শেষ পদ + ১ম পদ)
= ১/২ × ২৫ × (১০১ + ৫)
= (২৫ × ১০৬)/২
= ২৫ × ৫৩
= ১৩২৫ 

১ম পদ (a) = 2,
সাধারণ অন্তর (d) = 4 - 2 = 2
শেষ পদ = 2n
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(2n - 2)/2} + 1
= n - 1 + 1 
= n 
∴ সমষ্টি (s) = ১/২ × পদ সংখ্যা × (শেষ পদ + ১ম পদ)
= (n/2)(2n + 2)
= {n. 2(n + 1)}/2
= n(n + 1)
= n² + n

১ম পদ (a) = ৮,
সাধারণ অন্তর (d) = ১৬ - ৮ = ৮
পদসংখ্যা (n) = ১০
∴ (১ম ১০টি পদের) সমষ্টি (s) = n/২ {২a + (n - ১)d}
= (১০/২){২.৮ + (১০ - ১) d}
= ৫(১৬ + ৯×৮)
= ৪৪০

ধরি,
১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = d

∴ পঞ্চম পদ = a + (5 - 1)d
বা, 18 = a + 4d...... (1)
আবার,
প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি = (5/2){2a +(5 - 1)d}
বা, 75 = (5/2)(2a + 4d)
বা, 150 = 2 × 5(a + 2d)
বা, 15 = a + 2d.....(2)
বা, 30 = 2a + 4d
বা, 30 = a + (a + 4d)
বা, 30 = a + 18 [যেহেতু, a + 4d = 18]
∴ a = 12

2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³ = (1³ + 2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³) - 1
= {10(10 + 1)/2}² - 1
= 55² - 1
= 3025 - 1
= 3024 

১ম পদ (a) = 2, 
সাধারণ অনুপাত (r) = 6/2 = 3
∴ সপ্তম পদ = ar^7-1 = 2.3⁶ = 1458

১ম পদ (a) = 1,
সাধারণ অনুপাত (r) = 2/1 = 2
∴ n-তম পদ = ar^n-1,
বা, 256 = 1.2^n-1
বা, 2⁸ = 2^n-1
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

১ম পদ (a) = 1/2,
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/√2)/(1/2)
= 1/√2 × 2
= √2
∴ n-তম পদ = ar^n-1 = 8√2
বা, 1/2 × (√2)^n-1 = 8√2
বা, (√2)^n-1 = 16√2
বা, (√2)^n-2 = 16
বা, (√2)^n-2 = 2⁴
বা, (√2)^n-2 = (√2)⁸
বা, n - 2 = 8
∴ n = 10

১ম পদ a, এবং সাধারণ অনুপাত r হলে,
২য় পদ ar = -3 .... (1)
৪র্থ পদ ar³ = - 3/16 .... (2)
∴ (2) নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
ar³/ar = (-3/16)/(-3/1)
বা, r² = (-3/16) × {-(1/3)}
বা, r²  = 1/16
∴ r = ±(1/4)

(1)নং থেকে পাই,
a(±1/4) = -3
∴ a = ±12

১ম পদ (a) = -3
সাধারণ অনুপাত (r) = 6/-3 = -2
∴ (১ম আটটি পদের) সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (-3){(1 - (-2)⁸)/(1 - (-2))}
= (-3){(1 - 256)/3}
= - (-255)
= 255

প্রথমপদ (a) = 4
সাধারণ অনুপাত (r) = 8/4 = 2
∴ n পদের সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 4.{(2ⁿ - 1)/(2 - 1)}
= 4.(2ⁿ - 1)

এখন 4.(2ⁿ - 1) = 252
বা, 2ⁿ - 1 = 63
বা, 2ⁿ = 64 = 2⁶
∴ n = 6

১ম পদ (a) = 1/2
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/4)/(1/2)
= 1/4 × 2
= 1/2 < 1
পদসংখ্যা (n) = 8

∴ সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (1/2){(1 - (1/2)⁸)/(1 - 1/2)}
= (1/2){(1 - 1/256)/(1/2)}
= 1 - 1/256
= 255/256

2² + 3² + 4² + …… + 11²
= (1² + 2² + 3² + 4² + …… + 11²) - 1
= [{11(11 + 1)(2.11+1)}/6] - 1
= {(11 × 12 × 23)/6} - 1
= (22 × 23) - 1
= 506 - 1
= 505