১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

A ⊂ B এবং B ⊂ A হলে, A = B

n এর উপাদান বিশিষ্ট একটি সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1

x ∈ A ∪ B হলে,
x ∈ A অথবা x ∈ B

A ∩ B = {b},
(A ∩ B) ∪ C = {b, 1, 2}

স্বাভাবিক গণনার কাজে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলোর সেটকে স্বাভাবিক সংখ্যার সেট বলে,
যা {1, 2, 3, 4....} দ্বারা প্রকাশিত।
প্রশ্নানুসারে সেটটি হবে {1, 2, 3, 4}.

বাংলায় ফেল ২৫%
গণিতে ফেল ৩৫%
উভয় বিষয়ে ফেল ১৫%
যেকোন একটি বিষয়ে ফেল = (২৫ + ৩৫ - ১৫)%
= ৪৫%
∴ সব বিষয়ে পাশ = (১০০ - ৪৫)%
= ৫৫%

n(A) = 38,
n(B) = 47,
n(C) = 45
n(A ∩ B) = 10,
n(B ∩ C) = 12,
n(A ∩ C) = 13
n(A ∩ B ∩ C) = 5

∴ n(A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
= 38 + 47 + 45 - 10 - 12 - 13 + 5
= 135 - 35
= 100

মোট লোকের সংখ্যা = ৪৫০,
ইংরেজিতে কথা বলে = ২৫০
ফরাসিতে কথা বলে = ২৬০
∴ ইংরেজি অথবা ফরাসিতে কথা বলে = ২৫০ + ২৬০
= ৫১০
∴ উভয় ভাষায় কথা বলে = ৫১০ - ৪৫০
= ৬০ জন

ডি মরগানের সূত্রানুসারে,
(A ∪ B ∪ C)' = A' ∩ B' ∩ C'

(ক) এর ছেদ সেট = {1, 2, 3}

(খ) এর ছেদ সেট = {0}

(গ) এর সেটসমূহ {2, 3} ও {5}
∴ ছেদ সেট = Φ

(ঘ) এর সেট সমূহ = {4, 8, 12, 16, 20, 24....} ও {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24......}
∴ ছেদ সেট = {12, 24....}

ⁿc_r + ⁿc_r-1 = ⁿ⁺¹c_r
n = 6, r = 4 হলে,
⁶c₃ + ⁶c₄ = ⁷c₄

মান হিসেবে খ) ও গ) সমান। তবে এই ক্ষেত্রে সূত্র হিসাব করা উচিত।
এসকল ক্ষেত্রে নিকট তম উত্তর বাছাই করতে হবে; এই টাইপের প্রশ্ন কিছু কিছু ক্ষেত্রে হয়।
আমাদের কাছে এই মুহূর্তে গনিতের এই প্যাটার্নের প্রশ্ন মনে পড়ছে না।
তবে ২৫তম বিসিএস এর সাধারণ জ্ঞান বাংলাদেশ অংশে " কিশোর সংশোধন কেন্দ্র কোথায় অবস্থিত? -- গাজীপুর, টঙ্গী, কোনাবাড়ি, ঢাকা --  এই চারটি অপশনের প্রথম তিনটি সঠিক। নিকটতম বিচারে টঙ্গী সঠিক।
এই প্রশ্নে সবচেয়ে গ্রহণযোগ্য হিসাবে গ) সঠিক উত্তর।

এখানে গণনার যোজন বিধি হবে।
∴ মোট ভ্রমনের উপায় হবে ৬ + ৫ = ১১

শব্দটিতে 6টি বর্ণ আছে যাদের 2টি E
সুতরাং সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায়,
= 6!/2!
= 360

৫,০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা ক্ষেত্রে সংখ্যাগুলো চার অংকের হবে,
এবং ১ম অংকে ৫ অথবা ৬ নির্দিষ্ট করতে হবে?
∴ ১ম অংকটি পূর্ণ করা যায় = ^২p_১ = ২ উপায়ে।
অবশিষ্ট ৩টি ঘর পূর্ণ করা যায় = ৩! = ৬ উপায়ে।
∴ সংখ্যা তৈরি করা যাবে = ২ × ৬ = ১২টি

AMERICA শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে যাদের 2টি A অর্থাৎ, 6 ধরণের বর্ণ রয়েছে।
প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠনের ক্ষেত্রে
(i) সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন
(ii) 2টি A বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন

(i) এর ক্ষেত্রে শব্দ সংখ্যা = ⁶p₃ = 120
(ii) এর ক্ষেত্রে শব্দ সংখ্যা = ⁵c₁ × 1 × 3!/2! = 15

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135

১০ জন থেকে সমানসংখ্যক অর্থ্যাৎ, ৫ জন করে নিয়ে দল গঠন করার মোট উপায় = ১০!/(৫!)^২
= ৩৬২৮৮০০/১৪৪০০
= ২৫২

এখন, সমান সংখ্যক বা ৫ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২৫২/২
= ১২৬

উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি।

৪ জন বালিকা থেকে ২ জন বালিকা বাছাই করা যায় ^৪c_২ = ৬
৬ জন বালক থেকে ৫ - ২ = ৩ জন বালক বাছাই করা যায় ^৬c_৩ = ২০
∴ ৫ জন নির্বাচন করার উপায় = ৬ × ২০ = ১২০ [গগণনার গুণন বিধি অনুসারে]

অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় বাতিল করা হয়েছে।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হচ্ছে - গড়, মধ্যক, প্রচুরক।

30, 40 এর গড় = (30 + 40)/2
= 35
∴ গড় ব্যবধান = {।30 - 35। + ।40 - 35।}/2
= (5 + 5)/2
=10/2
= 5

প্রশ্নানুসারে সংখ্যাগুলো = ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪
মোট 6টি সংখ্যা আছে,
∴ মধ্যক = ৬/২, (৬/২ + ১)
= ৩য়, ৪র্থ পদের গড়
= (১২ + ১৬)/২
= ২৮/২
= ১৪

মোট সংখ্যা = 6টি
4 থেকে বড় নয় এরুপ সংখ্যা = 4টি
∴ সম্ভবনা = 4/6 = 2/3

মোট তাস = 52টি,
টেক্কা 4টি সুতরাং,
2টি তাস তোলা হলে তাসগুলো টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ⁴c₂/⁵²c₂
= 6/1326
= 1/221

থলেতে,
নীল বল আছে = 6টি
সাদা বল আছে = 8টি
কালো বল আছে = 10টি
∴ মোট বল আছে = 24টি
দু'টি বল ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা
= (⁶c₁ × ⁸c₁ + ⁶c₁ × ¹⁰c₁ + ⁸c₁ × ¹⁰c₁)/²⁴c₂
= (48 + 60 + 80)/276
= 188/276
= 47/69

মোট নমুনা বিন্দু বা ফল = {জয়, পরাজয়, ড্র}
= 3টি
জয়ের অনূকুলে নমুনা বিন্দু = 1টি
∴ সম্ভাবনা = 1/3

এখানে B স্বাধীন ঘটনা এবং A, B এর সাপেক্ষ অধীন ঘটনা
∴ P(A ∩ B) = P(B) × P(A/B)
= B ঘটার সম্ভাবনা × B এর সাপেক্ষে A ঘটার সম্ভাবনা