Math Master

প্রশ্ন: PQRS চতুর্ভুজের PS।। QR, PQ = SR এবং ∠QPS  = 90° হলে, PQRS চতুর্ভুজটি হলো- 

সমাধান: 
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং PQRS চতুর্ভুজের PS।। QR, PQ = SR এবং ∠QPS  = 90° হলে,  PQRS চতুর্ভুজটি হলো একটি আয়তক্ষেত্র ।

প্রশ্ন:  চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
দেয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮
ক্ষুদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)° = ৪৫°

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র হতে ∠EFD এর মান কত? 

সমাধান:
   
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল 
PQ তাদের ছেদক। 
∠AEF ও ∠EFD পরস্পর একান্তর 
∠AEF = ∠EFD = 50°

ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ঠ্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল,
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না,
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে,
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে,
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ০.১১ মি. এবং ১২ সে. মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে 
০.১১ মি. = (০.১১ × ১০০) সে. মি. = ১১ সে.মি. 
আমরা জানি
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)(কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
                            = (১/২)(১১ × ১২) বর্গ সে.মি. 
                            = ৬৬ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের AB ভূমিকে E `পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ ADC = 105° হলে, ∠CBE = কত?

সমাধান:
 

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান 
∠ADC = ∠ABC =105°
আবার,
∠ABC + ∠CBE =180°
105°  + ∠CBE =180°
 ∠CBE =180° - 105°
 ∠CBE = 75°

 প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 55° হলে ∠LRS এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান:
 

PQ = PR হলে 
∠PRQ = ∠PQR = 55°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক 
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ 
∠PQR = ∠LRS = 55°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 16 মি এবং উচ্চতা 4 মি হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
                                    = 16 × 4
                                    = 64 মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ মি.
ক^২ = 64
ক = √64 = 8

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক
                                     = 8√2 মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান: 
মনে করি,
দৈর্ঘ্য = x একক এবং প্রস্থ = y একক
∴ ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক

২০% বৃদ্ধিতে
নতুন দৈর্ঘ্য = x + x এর ২০%
                 = ১২x /১০ একক
 ১০% হ্রাসে
প্রস্থ = y - y এর ১০%
        = ৯y/১০ একক
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (১২x/১০) ×( ৯y/১০) = ১০৮xy/১০০ বর্গ একক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি =১০৮xy/১০০ - xy
                      =(১০৮xy - ১০০xy)/১০০
                      = ৮xy/১০০
শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = {(৮xy/১০০) × (১/xy) × ১০০}% = ৮%

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান:


স্থুলকোণ : ৯০° থেকে বড় এবং ১৮০° থেকে ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।
 ∠AOD একটি স্থূলকোণ 

সূক্ষ্মকোণ: ৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
∠AOC একটি সূক্ষ্মকোণ

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য অপর একটি বর্গ ক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে, বর্গক্ষেত্র দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত হলো-

সমাধান: 
২য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ক
২য় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক 

১ম বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ৪ক 
১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৪ক)^২ = ১৬ক^২
২য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ক
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২

নির্ণেয় অনুপাত = ১৬ক^২ : ক^২ = ১৬ : ১

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1058 বর্গমিটার হলে, এর প্রস্থ কত? 

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার 
দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
                                      = 2x²
শর্তমতে,
2x² = 1058
বা, x² = 529
বা, x = 23
 
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 23 মিটার

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ? 

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ): দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
195° হলো প্রবৃদ্ধ কোণ। 

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র হতে ∠ x এর মান কত?

সমাধান: 
 
চিত্র 
∠ARS = 115° 
এখানে 
∠ARS + ∠ARC= 180°
115° + ∠ARC= 180°
 ∠ARC = 180° - 115°
 ∠ARC = 65°

আবার
∠ARC = ∠SRT [পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ]
∠ARC = ∠SRT = 65°

∠SRT = ∠x = 65° 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 30 বর্গমিটার হলে, বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
মনেকরি 
সমান্তরাল বাহুদ্বয় a এবং a + 2 মিটার 

প্রশ্নমতে,
(1/2) × (a + a + 2) × 3  = 30
(3/2)(2a + 2) = 30 
3(a + 1) = 30 
a + 1 = 10
a = 10 - 1
a = 9

বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য =  9 + 2 = 11 মিটার