১.
সুষম দশভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n এবং প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ θ হলে,
মোট বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ nθ = 360°
তাহলে,
দশভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের মান, θ = 360°/10 = 36°
Math Master
মোট প্রশ্ন১৬
সিলেবাস
পরীক্ষা – ১০:
টপিক:
বহুভুজ ও বৃত্তসংক্রান্ত উপপাদ্য, ত্রিভুজ সংক্রান্ত ও পীথাগোরাসের উপপাদ্য
[Live Class – 14 & 15]
Math Master
Math Master · তারিখ অনির্ধারিত · ১৬ প্রশ্ন
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n এবং প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ θ হলে,
মোট বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ nθ = 360°
তাহলে,
দশভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের মান, θ = 360°/10 = 36°
২.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ৫ সে.মি. হলে OF= কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ৫ সে.মি. হলে OF= কত?
সমাধান:
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = ৫ সে.মি. হলে OF =৫ সে.মি. হবে।
সমাধান:
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = ৫ সে.মি. হলে OF =৫ সে.মি. হবে।
৩.
কোন বৃত্তের ব্যাস d হলে এর পরিধি ও ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাস d এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে, r = d/2 হয়
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2π(d/2) = πd
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π(d/2)2 = πd2/4
এখন
পরিধি ও ক্ষেত্রফলের অনুপাত = πd ÷ (πd2/4)
= 1 ÷ d/4
= 4/d
∴ পরিধি : ক্ষেত্রফল = 4 : d
বৃত্তের ব্যাস d এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে, r = d/2 হয়
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2π(d/2) = πd
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π(d/2)2 = πd2/4
এখন
পরিধি ও ক্ষেত্রফলের অনুপাত = πd ÷ (πd2/4)
= 1 ÷ d/4
= 4/d
∴ পরিধি : ক্ষেত্রফল = 4 : d
৪.
সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60⁰
এবং ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।
সুতরাং,
সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60⁰ + 60⁰ = 120⁰
৫.
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৫ সে.মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৫ সে.মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?
সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
এখানে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৮ সে.মি. এবং অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি.
সুতরাং,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৮ - ৫ সে.মি. = ৩ সে.মি.
সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
এখানে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৮ সে.মি. এবং অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি.
সুতরাং,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৮ - ৫ সে.মি. = ৩ সে.মি.
৬.
ত্রিভুজের শীর্ষ গুলি থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব গুলির ছেদবিন্দুকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের শীর্ষ গুলি থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব গুলির ছেদবিন্দুকে কী বলে?
ভরকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের মধ্যমা গুলির ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র (Centroid) বলে।
পরিকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির সমদ্বিখন্ডকগুলির ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র (Circumcenter) বলে।
লম্বকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের শীর্ষ গুলি থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব গুলির ছেদবিন্দুকে লম্বকেন্দ্র (Orthocenter) বলে।
অন্তঃকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের কেন্দ্রকে অন্তঃকেন্দ্র (Incenter) বলে।
৭.
নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব
২, ৩, ৪
৫, ৭, ৯
৪, ৮, ১২
৯, ১২, ১৫
সমাধান:
৯, ১২, ১৫
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি উহার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
১ম ক্ষেত্রে,
২ + ৩ = ৫ < ৬ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
২য় ক্ষেত্রে,
৫ + ৭ = ১২ < ১৩ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
৩য় ক্ষেত্রে,
৪ + ৮ = ১২ যা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
৪র্থ ক্ষেত্রে,
৯ + ১২ = ২১ > ১৫ এবং ৯ + ১৫ = ২৪ > ১২ এবং ১২ + ১৫ = ২৯ > ৯ যা ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত মানে।
২, ৩, ৪
৫, ৭, ৯
৪, ৮, ১২
৯, ১২, ১৫
সমাধান:
৯, ১২, ১৫
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি উহার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
১ম ক্ষেত্রে,
২ + ৩ = ৫ < ৬ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
২য় ক্ষেত্রে,
৫ + ৭ = ১২ < ১৩ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
৩য় ক্ষেত্রে,
৪ + ৮ = ১২ যা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
৪র্থ ক্ষেত্রে,
৯ + ১২ = ২১ > ১৫ এবং ৯ + ১৫ = ২৪ > ১২ এবং ১২ + ১৫ = ২৯ > ৯ যা ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত মানে।
৮.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ মিটার
শর্তমতে,
(√3/4) × a2 = √3
বা, a2 = 4
বা, a = 2
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 3a = 3 × 2 মিটার = 6 মিটার
৯.
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক?
সমাধান:
দেয়া আছে,
ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
অতিভুজ2 = উচ্চতা2 + ভূমি2
c2 = b2 + a2
সমাধান:
দেয়া আছে,
ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
অতিভুজ2 = উচ্চতা2 + ভূমি2
c2 = b2 + a2
১০.
৪০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = 40/4 = 10 মিটার
বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = 10√2 মিটার
ব্যাসার্ধ = 10√2/2 = 5√2 মিটার
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(5√2)2 = 25 × 2π = 50π বর্গমিটার
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = 40/4 = 10 মিটার
বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = 10√2 মিটার
ব্যাসার্ধ = 10√2/2 = 5√2 মিটার
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(5√2)2 = 25 × 2π = 50π বর্গমিটার
১১.
কোনো একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?
সমাধান:
তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
72 + x2 = 252
49 + x2 = 625
x2 = 625 - 49
x2 = 576
x2 = 242
x = 24
সমাধান:
তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
72 + x2 = 252
49 + x2 = 625
x2 = 625 - 49
x2 = 576
x2 = 242
x = 24
১২.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 2 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 2 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.
এখন,
a2 + a2 = 22
2a2 = 4
a2 = 2
a = √2
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × √2 × √2 বর্গ মিটার
= 1 বর্গ মিটার
সমাধান:
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.
এখন,
a2 + a2 = 22
2a2 = 4
a2 = 2
a = √2
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × √2 × √2 বর্গ মিটার
= 1 বর্গ মিটার
১৩.
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x+৯) মিটার, (২x + ১) মিটার এবং ২(২x - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ২৯ মিটার হলে
বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x+৯) মিটার, (২x + ১) মিটার এবং ২(২x - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ২৯ মিটার হলে
বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
শর্তমতে,
(x+৯) + (২x + ১) + ২(২x - ১) =২৯
বা, x + ৯ + ২x +১ + ৪x - ২ = ২৯
বা, ৭x + ৮ = ২৯
বা, ৭x = ২১
বা, x = ৩
এখন বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে,
৩+৯ = ১২ মিটার
৬+১ = ৭ মিটার
২ × ৫ = ১০ মিটার
বৃহত্তম বাহুটি হবে ১২ মিটার।
বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
শর্তমতে,
(x+৯) + (২x + ১) + ২(২x - ১) =২৯
বা, x + ৯ + ২x +১ + ৪x - ২ = ২৯
বা, ৭x + ৮ = ২৯
বা, ৭x = ২১
বা, x = ৩
এখন বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে,
৩+৯ = ১২ মিটার
৬+১ = ৭ মিটার
২ × ৫ = ১০ মিটার
বৃহত্তম বাহুটি হবে ১২ মিটার।
১৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২সে. মি. বড়। সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২সে. মি. বড়। সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x সে.মি.
অতিভূজ = x + 2 সে.মি.
শর্তমতে
x2+ (x - 2)2 = (x + 2)2
বা, x2 + x2 - 4x + 4 = x2 + 4x + 4
বা, x2 - 8x = 0
বা, x - 8 = 0
∴ x = 8
∴ সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের = x - 2 = 8 - 2 = 6 সে. মি.
সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x সে.মি.
অতিভূজ = x + 2 সে.মি.
শর্তমতে
x2+ (x - 2)2 = (x + 2)2
বা, x2 + x2 - 4x + 4 = x2 + 4x + 4
বা, x2 - 8x = 0
বা, x - 8 = 0
∴ x = 8
∴ সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের = x - 2 = 8 - 2 = 6 সে. মি.
১৫.
সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪০⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪০⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?
সমাধান:
ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ ৩৬০⁰
সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰
১ টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰/x
এখন,
৩৬০⁰/x = ৪০⁰
বা, x = ৩৬০⁰/৪০⁰
বা, x = ৯ টি
১৬.
∠ABC এর মান কত?
∠ABC এর মান কত?
ব্যাখ্যা
বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC = কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC/2
= 110°/2
= 55°
এখানে,
∠ADC ও ∠ABC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°
∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 55° = 125°
= 110°/2
= 55°
এখানে,
∠ADC ও ∠ABC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°
∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 55° = 125°