Math Master

প্রশ্ন: SUCCESS শব্দের সব বর্ণ নিয়ে কতটি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে?
 
সমাধান:
SUCCESS শব্দে ৭ টি বর্ণ আছে যেখানে C = ২ এবং S = ৩
সবগুলো নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৭!/(২!৩!) = ৪২০

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ 

∴ ১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক = ৯

প্রশ্ন: 5টি বইয়ের মধ্যে 2টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
2টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই 4টি
4টি বই সাজানোর মোট উপায় = 4!

বিশেষ বই দুটি সাজানোর মোট উপায় 2!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 4! × 2!
= 24 × 2
= 48

প্রশ্ন: যদি P(X) = 0 হয়, তাহলে X ঘটনাটি হলো- 

সমাধান:
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল
কোনো ঘটনা ঘটার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০।
অর্থাৎ কোনো ঘটনা যখন অবশ্যই ঘটবে তার মান ১
এবং যখন অবশ্যই ঘটবেনা অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনা তার মান ০।

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে ARTICLE শব্দকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 7টি
স্বরবর্ণ আছে (A, I, E) 3টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ³P₃ = 3! = 6
বাকি 4টি বর্ণ 4টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ⁴P₄ = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 24 = 144

প্রশ্ন: প্রদত্ত ভেনচিত্রে, যদি A ∩ B = B ∩ C হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
A ∩ B = x
B ∩ C = 4

A ∩ B = B ∩ C
∴ x = 4
 

প্রশ্ন: একজন শিক্ষার্থীকে 12 টি প্রশ্ন থেকে 6 টি প্রশ্নের উত্তর করতে হবে। প্রথম 5 টি প্রশ্ন থেকে ঠিক 4 টি প্রশ্ন বাছাই করে কত প্রকারে 6 টি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যাবে?

সমাধান:
12 - 5 = 7
6 - 4 = 2

প্রথম 5 টি থেকে 4 টি বাছাই করার উপায় = ⁵C₄ = 5

7 টি থেকে 2 টি বাছাই করে ⁷C₂ = 21 উপায়ে উত্তর করা যাবে। 
∴ মোট বাছাই করার উপায় = 5 × 21 = 105
--------------------------------------------------

বিকল্প পদ্ধতিঃ
প্রথম পাঁচটি প্রশ্ন থেকে চারটি বাছাই করার উপায়
1234, 1235, 1345, 1342, 1452
প্রথম পাঁচটি প্রশ্ন থেকে চারটি উপর্যুক্ত পাঁচ উপায়ে বাছাই করা যায়।

পরবর্তী 7 টি প্রশ্ন থেকে 2 টি বাছাই করার উপায়
67, 68, 69, 6(10), 6(11), 6(12), 78, 79, 7(10), 7(11), 7(12), 89, 8(10), 8(11), 8(12), 9(10), 9(11), 9(12), 10(11), 10(12), 11(12)
শেষ সাতটি প্রশ্ন থেকে দুইটি প্রশ্ন উপর্যুক্ত একুশ উপায়ে বাছাই করা যায়।

মোট বাছাই করার উপায় = 5 × 21 বা 105
 

প্রশ্ন: ২১, ১৩, ৫০, ৪২, ৯, ৫০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ৯ 
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০ 

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ৯) + ১
= ৪১ + ১
= ৪২

প্রশ্ন: অনিল ৬০% ক্ষেত্রে সত্য কথা বলে এবং নিখিল ৩০% ক্ষেত্রে মিথ্যা কথা বলে। একই ঘটনা বর্ণনা দেওয়ার সময় তাদের একই রকম উত্তর দেয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
অনিলের সত্য বলার সম্ভাবনা = ৬০% = ৬০/১০০ = ০.৬
∴ অনিলের মিথ্যা বলার সম্ভাবনা = ১ - ০.৬ = ০.৪

নিখিলের মিথ্যা বলার সম্ভাবনা = ৩০% = ৩০/১০০ = ০.৩
∴ নিখিলের সত্য বলার সম্ভাবনা = ১ - ০.৩ = ০.৭

তারা দুইজন একই ঘটনা বর্ণনা করার সময় একইরকম উত্তর দিতে পারবে দুইভাবেঃ
১) দুইজনই সত্য বলবে অথবা
২) দুইজনই মিথ্যা বলবে

দুইজনই সত্য বলার সম্ভাবনা = ০.৬ × ০.৭ = ০.৪২
দুইজনই মিথ্যা বলার সম্ভাবনা =০.৪ × ০.৩ = ০.১২

∴ তাদের একইরকম উত্তর দেয়ার সম্ভাবনা = ০.৪২ + ০.১২ = ০.৫৪

প্রশ্ন: প্রদত্ত ভেনচিত্রে U = A ∪ B ∪ C এবং n(U) = 50 হলে, x এর মান কত?

  
সমাধান: 
U = A ∪ B ∪ C এবং n(U) = 50 

এখন 
2x + 2 + 3 + x + 1 + x - 1 + 0 + x + 5 = 50
⇒ 5x + 10 = 50
⇒ 5x = 50 - 10
⇒ 5x = 40
∴ x = 8 

প্রশ্ন: 8 জন বালক এবং 7 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?

সমাধান:
3 জন বালক বাছাই করা যায় = ⁸C₃ = 56
2 জন বালিকা বাছাই করা যায় = ⁷C₂ = 21
∴ বেছে নেওয়ার মোট উপায় =  56 × 21 = 1176

প্রশ্ন: কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ নয় কোনটি?

সমাধান:
কেন্দ্রীয় প্রবণতা:
কোনো পরিসংখ্যানে উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি বা কেন্দ্রের মানের দিকে পুঞ্জিভূত হয়। মাঝামাঝি বা কেন্দ্রের মানের দিকে উপাত্তসমূহের পুঞ্জিভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে। কোনো একটি শ্রেণির শিক্ষার্থীদের বয়সের গড় হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতার উদাহরণ।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ তিনটি। কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলো হলো:
১) গাণিতিক গড়,
২) মধ্যক,
৩) প্রচুরক।

গাণিতিক গড়: উপাত্তসমূহের সংখ্যাসূচক মানের সমষ্টিকে যদি উপাত্তসমূহের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়, তবে গাণিতিক গড় পাওয়া যায়।
প্রচুরক: উপাত্ত সমূহে যে মানটি সবচেয়ে বেশি বার থাকে তাই প্রচুরক।
মধ্যক: উপাত্তের মানগুলো ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজানো হলে মধ্যম মানকে মধ্যক বলে।

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস টানলে, তাসটি লাল অথবা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট লাল তাসের সংখ্যা = ২৬টি
∴ লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ২৬/৫২
= ১/২

মোট টেক্কার সংখ্যা = ৪টি
∴ টেক্কার হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২
= ১/১৩ 

মোট লাল টেক্কার সংখ্যা = ২টি
∴ লাল টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৫২
= ১/২৬

এখন,
লাল অথবা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা =
লাল হওয়ার সম্ভাবনা + টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা - লাল টেক্কা  হওয়ার সম্ভাবনা  [লাল টেক্কার সম্ভাবনা দুইবার হিসেবে আসে তাই একবারের হিসাব বিয়োগ করা হলো ]
= ১/২ + ১/১৩ - ১/২৬
= (১৩ + ২ - ১)/২৬
= ১৪/২৬
= ৭/১৩ 
 

প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অংক শুধুমাত্র একবার করে নিয়ে 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 সংখ্যাগুলো দ্বারা চার অংক বিশিষ্ট কয়টি সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
এখানে মোট সংখ্যা 7 টি ।
4 টি করে নিয়ে গঠন করা যাবে = ⁷P₄ = 840

প্রশ্ন: ৫ জন মানুষ কত উপায়ে বসে একটি গোল টেবিলে বৈঠক করতে পারবে?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
গোল টেবিলে বৈঠক করার উপায় = (n - 1)!
= (৫ - ১)!
= ২৪

প্রশ্ন: একটি পাত্রে ৫টি লাল এবং ৪টি সবুজ বল এবং অপর একটি পাত্রে ৩টি লাল ও ৬টি সবুজ বল আছে। প্রত্যেক পাত্র হতে একটি করে বল তোলা হলে, প্রত্যেক বলের মধ্যে কমপক্ষে একটি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
 
সমাধান:
১ম পাত্রে 
লাল বল = ৫টি
সবুজ বল = ৪টি 
মোট বল = (৫ + ৪)টি = ৯টি 

২য় পাত্রে 
লাল বল = ৩টি
সবুজ বল = ৬টি 
মোট বল = (৩ + ৬)টি  = ৯টি 

১ম পাত্রে হতে লাল এবং ২য় পাত্রে সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = (৫/৯) × (৬/৯) = ১০/২৭
১ম পাত্রে হতে সবুজ এবং ২য় পাত্রে লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৯) × (৩/৯) = ৪/২৭
১ম পাত্রে হতে লাল এবং ২য় পাত্রে লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (৫/৯) × (৩/৯) = ৫/২৭

মোট লাল বল হওয়ার সম্ভবনা  = (১০/২৭) + (৪/২৭) + (৫/২৭)
= (১০ + ৪ + ৫)/২৭
= ১৯/২৭