শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

অমূলদ সংখ্যা:
- যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা     বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
   যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ...,  ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
- কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটিপূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
-  অমূলদ সংখ্যাকে একটি মূলদ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়। 
-  ২√৩ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: 2x + 3y = 7, 6x - 7y = 5 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত? 

সমাধান: 
 2x + 3y = 7..............(1)
6x - 7y = 5..............(2)

(1) × 7 + (2) × 3 ⇒ 
14x + 21y + 18x - 21y = 49 + 15
32x = 64
x = 2

(1) ⇒
2 × 2 + 3y = 7
4 + 3y = 7
3y = 7 - 4
3y = 3
y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (2,1)

প্রশ্ন: 3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে?

সমাধান: 
মনেকরি 
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
15 + 5x = 20 + 4x
5x - 4x = 20 - 15
x = 5 

• যে সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮ তা পূর্ণবর্গ নয় ।
• যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়।
• একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হলে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা ।
• আবার সংখ্যার ডানদিকে জোড়সংখ্যক শূন্য থাকলে ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ১০০, ৪৯০০ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা ।

১ এর বর্গ = ১^২ = ১
২ এর বর্গ = ২^২ = ৪
৩ এর বর্গ = ৩^২ = ৯
৪ এর বর্গ = ৪^২ = ১৬
৫ এর বর্গ = ৫^২ = ২৫
৬ এর বর্গ = ৬^২ = ৩৬

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার চারগুণের সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যার ৩ গুণ হতে ৬ বেশি হবে? 

সমাধান: 
মনেকরি 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে,
৪ক + ১ = ৩ক + ৬
৪ক - ৩ক = ৬ - ১
ক = ৫ 

x ও y সংখ্যা দুইটির বিয়োগফলের অর্ধেক 4। বড় সংখ্যাটির সাথে ছোট সংখ্যাটির তিনগুণ যোগ করলে যোগফল 20 হয়। যেখানে x > y । সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান : 
(x - y)/2 = 4
x - y = 8............(1)
x + 3y = 20...........(2)

(2) - (1)⇒
x + 3y - x +y = 20 - 8
4y = 12
y = 3

(1) নং সমীকরণে y এর মান  বসিয়ে পাই 
x - 3 = 8
x = 8 + 3
x = 11

নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (11,3)

প্রশ্ন: ৩ × ৭ × ৫ × ৭ × ৩^৩ কে কত দ্বারা গুণ করলে পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে?

সমাধান: 
৩ × ৭ × ৫ × ৭ × ৩^৩
= ৩ × ৭ × ৫ × ৭ × ৩ × ৩ × ৩ 
= ৩ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭ × ৭ × ৫
=(৩ × ৩) × (৩ × ৩) × (৭ × ৭) × ৫
৫ জোড়া বিহীন। 
৫ দ্বারা গুণ করলে পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে

প্রশ্ন: 2(a² - 9) + 9a = 0 সমীকরণে a এর মান কত?

সমাধান: 
2(a² - 9) + 9a = 0 
2a² - 18 + 9a =0
2a² + 9a - 18 = 0
2a² + 12a - 3a - 18 = 0
2a(a + 6) - 3(a + 6) = 0
(a + 6) (2a - 3) = 0
হয়                             অথবা 
a + 6 = 0                     2a - 3 = 0
a = - 6                           a = 3/2

প্রশ্ন: কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 8 হলে ভগ্নাংশটি = কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
x + y = 14...........(1)
y - x = 8 ..........(2)
(1) + (2) পাই 
2y = 22
y = 11

y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 11 =14
x = 14 - 11 
x = 3
ভগ্নাংশটি = x/y = 3/11

প্রশ্ন: নিচের কোন ক্রমজোড়টি সহমৌলিক?

সমাধান: 
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
৮  এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছেঃ ১, ২, ৪, ৮
১৫ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছেঃ ১, ৩, ৫, ১৫

প্রশ্ন: যদি y = 3x + 6 এবং 3x + 6 = 40 হয় তবে y এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে, 
3x + 6 = 40
3x = 40 - 6
3x = 34 
x = 34/3

আবার,
 y = 3x + 6
    = 3(34/3) + 6 
    = 34 + 6
    = 40

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 10 মিটার বেশি। আয়তকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা 140 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত? 

সমাধান:
মনে করি
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ x মিটার 
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য x + 10 মিটার 

প্রশ্নমতে,
2(x + x + 10) = 140
2(2x + 10) = 140
2x + 10 = 70
2x = 70 - 10
2x = 60
x = 30

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৯৯৯ থেকে যত ছোট ৭৯৭ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনেকরি 
সংখ্যাটি ক 
প্রশ্নমতে 
৯৯৯ - ক  = ক - ৭৯৭ 
ক + ক = ৯৯৯ + ৭৯৭ 
২ক = ১৭৯৬
ক = ১৭৯৬/২
ক = ৮৯৮

প্রশ্ন: একজন লোকের নিকট 5000 টাকা আছে । তিনি উক্ত টাকা দুই জনের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিলেন, যেন প্রথম জনের টাকা দ্বিতীয় জনের 4 গুণ হয়। প্রথম জনের টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান: 
 দ্বিতীয় জনে পাবে= x টাকা
 প্রথম জনে পাবে= 4x টাকা

প্রশ্নমতে,
4x + x = 5000
5x = 5000
x = 1000

 প্রথম জনে পাবে= 4 × 1000 টাকা
= 4000 টাকা

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের ১০গুণ, ভাজক ০.৬ হলে ভাজ্য কত? 

সমাধান: 
ভাজক  = ০.৬
ভাগফল = ০.৬ ÷ ১০ = ০.০৬
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল 
= ০.৬ × ০.০৬
= ০.০৩৬

প্রশ্ন:  x - 2y = 8, 3x - 2y = 4 সমীকরণ জোটের x এর মান কত?

সমাধান: 
x - 2y = 8.............(1)
3x - 2y = 4.............(2)

(2) - (1)⇒ 
3x - 2y - (x - 2y) = 4 - 8
3x - 2y - x + 2y = - 4
2x = - 4
x = - 2

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. ও অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অন্তর 3 সে.মি. ঐ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধরি
সমকোণী ত্রিভুজের এক বাহু = x
তাহলে অপর বাহু = x + 3

এখন 
(x + 3)² + x² = 15²
x² + 2.x.3 + 3² + x² = 225
x² + 6x + 9 + x² = 225 
2x² + 6x - 216 = 0 
x² + 3x - 108 = 0
x² + 12x - 9x - 108 = 0
x(x + 12) - 9(x + 12) = 0
(x + 12) (x - 9) = 0
x = 9, -12
দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না
অতএব x = 9 সে.মি
তাহলে অপর বাহু = 9 + 3 = 12 সে.মি

বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = (9 + 12) = 21 সে.মি

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৯ হলে ছোট সংখ্যাটি কত? 

মনেকরি 
সংখ্যা দুটি ক, (ক + ১)
প্রশ্নমতে,
(ক+১)^২ - ক^২ = ৩৯ 
বা, ক^২ + ২.ক.১ + ১^২ - ক^২ = ৩৯
বা, ২ক + ১ = ৩৯
বা, ২ক = ৩৯ - ১
বা, ২ক = ৩৮
∴, ক = ১৯

ছোট সংখ্যাটি = ১৯

প্রশ্ন; - 7a + 8b = 9, 5a - 4b = - 3 হলে ab = কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
- 7a + 8b = 9................... (1)
 5a - 4b = - 3 ...................(2)

(1) + (2) × 2 ⇒
-7a + 8b + 10a - 8b = 9 - 6 
3a = 3 
a = 1

- 7a + 8b = 9
(- 7)(1) + 8b = 9
- 7 +  8b = 9
8b = 9 + 7
8b = 16
b = 16/8
b = 2

ab = 1 × 2 = 2

প্রশ্ন: একটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের তিনগুণ থেকে সংখ্যাটির চারগুণ বিয়োগ করলে যা পাওয়া যায়, তা সংখ্যাটির চেয়ে ৫০ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি 
সংখ্যাটি = x 

 প্রশ্নমতে,
3x² - 4x = x + 50
3x² - 4x - x = 50
3x² - 5x - 50 = 0
3x² - 15x + 10x - 50 = 0
3x(x - 5) + 10(x - 5) = 0
(x - 5)(3x + 10) = 0

হয় 
x - 5 = 0
x = 5

অথবা 
3x + 10 = 0
3x = - 10
x = - 10/3

প্রশ্ন: m, n, o, p চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে কোনাে চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যােগ করলে যােগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 
m, n, o, p চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা।
m, n, o, p এর গুণফল = mnop 

mnop  গুণফলের সাথে 1 যােগ করলে যােগফল  =mnop  + 1
mnop  + 1 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 

প্রশ্ন: যদি কোনো সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ থেকে 50 বিয়োগ করা হয়, প্রাপ্ত ফলাফল উক্ত সংখ্যাটির  চার ভাগের এক ভাগ এবং 40 এর যোগফলের সমান, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনেকরি 
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে,
(2x/3) - 50 = (x/4) + 40
(2x/3) - (x/4) = 40 + 50
(8x - 3x)/12 = 90
5x/12 = 90
x = (90 × 12)/5
x = 216 

প্রশ্ন: 2x + 5y = 1, x + 3y = 2 হলে x + y এর মান কত? 

সমাধান: 
2x + 5y = 1..............(1)
x + 3y = 2..............(2)
(1) -  (2) × 2 ⇒
2x + 5y - (2x + 6y) = 1 - 4
2x + 5y - 2x - 6y = - 3
- y = - 3
y = 3

(1) নং থেকে পাই 
x + 3y = 2
x + 3 × 3 = 2
x = 2 - 9
x = - 7   

x + y = - 7 + 3 = - 4

প্রশ্ন: ৩৬ সংখ্যাটির মোট কতগুলো ভাজক রয়েছে? 

নিয়ম-১ঃ
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২^২ × ৩^২
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = (২ + ১) × (২ + ১) = ৯টি।

নিয়ম-২ঃ
৩৬ = ১ × ৩৬
      = ২ × ১৮
      = ৩ × ১২
      = ৪ × ৯
      = ৬ × ৬
  
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬,
                                 =৯ টি।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসালে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসালে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি,
শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা x জন
প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে বসালে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে, সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (x/4) +3
আবার, 
প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে বসালে 6 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়, ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (x - 6)/3
এখন 
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
(x + 12)/4 =(x - 6)/3 
4x - 24 = 3x + 36
4x - 3x = 36 + 24
x = 60

ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 60